1、8.6.1直線與直線垂直本資料分享自高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854 專注收集同步資源期待你的加入與分享聯(lián)系QQ309000116加入百度網(wǎng)盤群2500G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動更新，一勞永逸不同在 任何 一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。異面直線的定義:相交直線：有一個公共點 平行直線：無公共點異面直線：無公共點空間兩直線的位置關(guān)系基本事實：在空間平行于同一條直線的兩條直線互相平行空間中，如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行， 那么這兩個角相等或互補等角定理：復(fù)習(xí)引入異面直線的畫法baba注意：作圖時，需要一個或二個平面襯托異面直線所成的角 在平面內(nèi),兩條直線相交成四個角, 其中不

2、大于90度的角稱為它們的夾角, 用以刻畫兩直線的錯開程度, 如圖.在空間,如圖所示, 正方體ABCDEFGH中, 異面直線AB與HF的錯開程度可以怎樣來刻畫呢?ABGFHEDCO問題提出復(fù)習(xí)引入abb aO思想方法 : 平移轉(zhuǎn)化成相交直線所成的角,即化空間圖形問題為平面圖形問題思考 : 這個角的大小與O點的位置有關(guān)嗎 ? 即O點位置不同時, 這一角的大小是否改變?異面直線所成的角的范圍( 0 , 90 oo如果兩條異面直線 a , b 所成的角為直角，我們就稱這兩條直線互相垂直 , 記為a b注2a 學(xué)習(xí)新知異面直線所成角的定義: 如圖,已知兩條異面直線 a , b , 經(jīng)過空間任一點O作 直

3、線 則把 與 所成的銳角(或直角)叫做異面直線所成的角(或夾角).思考 : 這個角的大小與O點的位置有關(guān)嗎 ? 即O點位置不同時, 這一角的大小是否改變? aa , a a a a (基本事實4),解答： 如圖設(shè)a 與 b 相交所成的角為1, a 與 b 所成的角為2 ,同理 bb, 1 = 2 (等角定理)b aO1aab2 答 : 這個角的大小與O點的位置無關(guān).學(xué)習(xí)新知（1）異面直線所成角的大小只和兩條異面直線的位置有關(guān)，而和點O的位置無關(guān)（2）異面直線所成的角的范圍是：（090）（3）如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條直線互相垂直，兩條互相垂直的異面直線a，b，記作ab這

4、個很重要哦說明空間的垂直有相交垂直和異面垂直，區(qū)別在于一個是相交，一個是異面.學(xué)習(xí)新知求異面直線所成的角的步驟是: 一作(找)：作（或找）平行線 二證：證明所作的角為所求的異 面直線所成的角。 三計算：在一恰當(dāng)?shù)娜切沃星蟪鼋菍W(xué)習(xí)新知ABGFHEDC 如圖,正方體ABCD-EFGH中,O為側(cè)面ADHE的中心求 (1)BE與CG所成的角？ (2)FO與BD所成的角？ 解: (1)如圖: BFCG，EBF(或其補角)為異面直線 BE與CG所成的角，又 BEF中EBF =45 ， 所以BE與CG所成的角是45O連接HA、AF，依題意知O為AH中點 , HFO=30o(2)連接FH，所以FO與BD所成

5、的夾角是30o四邊形BFHD為平行四邊形，HFBDHFO(或其補角)為異面直線 FO與BD所成的角HD EA，EA FB HD FB=則AH=HF=FA AFH為等邊典型例題例1、如圖，已知正方體ABCDABCD中。（1）哪些棱所在的直線與直線AA垂直？（2）直線BA和CC所成的角是多少？（3）直線BA和AC所成的角是多少？例題選講解:(1)棱AB,BC,CD,DA, AB, BC, CD, DA, 所在直線分別與直線AA垂直（2）由 可知， （或其補角） 是異面直線 與 所成的角,所以異面直線 與 所成的角為450 。 例1、如圖，已知正方體ABCDABCD中。（1）哪些棱所在的直線與直線A

6、A垂直？（2）直線BA和CC所成的角是多少？（3）直線BA和AC所成的角是多少？例題選講 在求作異面直線所成的角時,O點 常選在其中的一條直線上 (如線段的端點,線段的中點等)注3學(xué)習(xí)新知 如圖,已知長方體ABCD-EFGH中, AB = , AD = , AE = 2 (1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度?解答：(1)GFBC EGF（或其補角）為所求.RtEFG中，求得EGF = 45o(2) BFAE FBG（或其補角）為所求,RtBFG中，求得FBG = 60oABGFHEDC2鞏固練習(xí)例2如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分

7、別是A1B1,B1C1的中點,求異面直線DB1與EF所成角的大小.分析先作出角,再證明角的兩邊分別與兩異面直線平行,最后在三角形中求角.法一如圖,連接A1C1,B1D1,并設(shè)它們相交于點O,取DD1的中點G,連接OG,則OGB1D,EFA1C1.GOA1(或其補角)為異面直線DB1與EF所成的角.GA1=GC1,O為A1C1的中點,GOA1C1.異面直線DB1與EF所成的角為90.OG例題選講例2如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是A1B1,B1C1的中點,求異面直線DB1與EF所成角的大小.例題選講H1.作出角;2;證明角(或其補角);3.求角.法二如圖,連接A1D,取A

8、1D的中點H,連接HE,則HEDB1,且HE= DB1.于是HEF(或其補角)為異面直線DB1與EF所成的角.HF2=EF2+HE2,HEF=90,異面直線DB1與EF所成的角為90.例2如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是A1B1,B1C1的中點,求異面直線DB1與EF所成角的大小.例題選講法三如圖,在原正方體的右側(cè)補上一個全等的正方體,連接B1Q,則B1QEF.于是DB1Q（或其補角）為異面直線DB1與EF所成的角.通過計算,不難得到:B1D2+B1Q2=DQ2,從而異面直線DB1與EF所成的角為90.求兩條異面直線所成的角是立體幾何中的重要題型之一,而求它的常用方法是

9、空間問題平面化.(1)具體地,求兩條異面直線所成角的一般步驟是:構(gòu)造:恰當(dāng)?shù)剡x擇一個點(線段的端點或中點),用平移法構(gòu)造異面直線所成的角;證明:證明中所作出的角或其補角就是所求異面直線所成的角;計算:通過解三角形等知識,求出中所構(gòu)造的角的大小;結(jié)論:假如所構(gòu)造的角的大小為,若090,則即為所求異面直線所成角的大小;若90180,則180-即為所求.總結(jié)方法(2)作出異面直線所成的角,可通過多種方法平移產(chǎn)生,主要有三種方法:直接平移法(可利用圖中已有的平行線);中位線平移法;補形平移法(在已知圖形中,補作一個相同的幾何體,以便找到平行線).【例3】空間四邊形ABCD中，AB=CD且AB與CD所成

10、的角為50，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則EF與AB所成角的大小為_.分析：先構(gòu)造出已知兩條異面直線所成角,尋求要求的角與已知角的關(guān)系.【解】取BD中點G,連接EG,FG,則由三角形中位線定理得EGCD，EG= CD，F(xiàn)GAB，F(xiàn)G= AB，所以EG=FG，EF與AB所成角為EFG，因為AB與CD所成的角為50，所以EGF=50或EGF=130，所以EF與AB所成角的大小為25或65.典型例題練.(2019南京高一檢測)在空間四邊形ABCD中，AD=2，BC=2 ，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，EF= ，則異面直線AD與BC所成角的大小為()A.150B.60 C.120 D.30取AC的中

11、點M，連接EM，F(xiàn)M.M則EMBC，F(xiàn)MAD，EM= FM=1，所以EMF或其補角即為異面直線AD與BC所成角.在MEF中，cosEMF= 所以EMF=150.所以異面直線AD與BC所成角的大小為30.鞏固練習(xí)D分析：要證明AO1BD，應(yīng)先構(gòu)造直線AO1與BD所成的角，若能證明這個角是直角，即得AO1BD.【證明】如圖，連接B1D1.ABCDA1B1C1D1是正方體，BB1/DD1,BB1=DD1.四邊形BB1D1D是平行四邊形B1D1BD.直線AO1與B1D1所成的角即為直線AO1與BD所成的角典型例題F鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)90度當(dāng)已知條件中含有異面直線所成角時，應(yīng)先作出該角，才能應(yīng)用此條件，但要注意作出的角不一定是已知異面直線所成角，也可能是已知角的補角，應(yīng)分情況討論.典型例題【練】(2019白城高一檢測)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)面都是矩形，底面四邊形ABCD是菱形，且AB=BC=2 ，ABC=120，若異面直線A1B和AD1所成的角是90，則AA1的長度是_.鞏固練習(xí)課堂小結(jié)1、異面直線所成角的定義: 如圖,已知兩條異面直線 a , b , 經(jīng)過空間任一點O作 直線 aa , b b 則把 a