1、第一節(jié) 常微分方程的基本概念第二節(jié) 建立微分方程 第三節(jié) 用MATLAB求解微分方程學習指導 本章簡要介紹常微分方程的基本概念以及如何建立簡單的微分方程，能夠使用軟件求解一階微分方程。可降階的二階微分方程，二階常系數(shù)線性微分方程等，了解微分方程的簡單應用。本章內容提要 引例1【人口問題】 英國學者馬爾薩斯（Malthus）認為人口的相對增長率為常數(shù)，即如果設 t 時刻人口數(shù)為x(t），則人口增長速度與人口總量x（t）成正比，從而建立了Malthus模型這是一個含有一階導數(shù)的模型。其中 0第一節(jié) 常微分方程的基本概念 引例2【貨輪制動】 貨輪在平靜的海面上以20m/s的速度行駛，當制動時，貨輪加

2、速度為-0.4m/s2，求制動后貨輪的運動規(guī)律。解 設貨輪開始制動后t秒內行使了s米，按題意，欲求出未知函數(shù)s=s（t）。已知加速度 這是一個含有二階導數(shù)的模型。 象這種含有未知函數(shù)的導數(shù)（或微分）的方程，稱為微分方程。 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程。 方程中未知函數(shù)導數(shù)的最高階數(shù)，稱為該微分方程的階。例如 ， 是一階微分方程 ， 是二階微分方程 。階微分方程的一般形式為： 二階及二階以上的微分方程稱為高階微分方程。 如果函數(shù)y=f (x)滿足一個微分方程，xD則稱它是該微分方程的解。 微分方程的解可以是顯函數(shù)，也可以是由關系式F(x,y)=0 確定的隱函數(shù).如果微分方程的解中

3、含有任意常數(shù)，且任意個不相關的常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同時，這樣的解稱為微分方程的通解。如 是 的通解。 是微分方程 的通解。 當自變量取某值時，要求未知函數(shù)及其導數(shù)取給定值，這種條件稱為初始條件。 滿足給定的初始條件的解，稱為微分方程滿足該初始條件的特解。 如 ，是 滿足初始條件y(0)=1的特解。 微分方程的特解計y=f (x)的幾何圖形，稱為該方程的一條積分曲線，而通解的圖形在幾何上則表示積分曲線族。 形如 的微分方程稱為可分離變量的微分方程。 例如 ， ， 等等都是可分離變量的微分方程。 形如 的微分方程稱為齊次微分方程。 例如 ， 為齊次微分方程。 形如 的方程稱為一階線性微分方

4、程。 “線性”是指在方程中含有未知函數(shù)y和它的導數(shù)y的項都是關于y,y的一次項. 而q(x)稱為自由項。當q(x)=0時， 稱為一階線性齊次微分方程，當時，稱為一階線性非齊次微分方程。 例如 為一階線性非齊次微分方程。 形如 的微分方程，當p、q是常數(shù)時，稱為二階線性常系數(shù)齊次微分方程。 形如 的二階微分方程，方程中未知函數(shù)y及其各階導數(shù)y， y“是以一次方形式出現(xiàn)，稱為二階線性微分方程。其中p(x),q(x),f(x) 都是自變量x的已知函數(shù)，當時 ，方程稱為二階線性齊次微分方程。當 時 ，稱為二階線性非齊次微分方程。 例如 為二階線性常系數(shù)非齊次微分方程。練習 指出下列微分方程的階數(shù)（1）

5、 （2） （3） （4） 2.驗證所給的函數(shù)是否為對應方程的解（1） （2） （3） （4） 3. 識別下列微分方程的類型（1） （2）（3） （4） 在生產和生活實際中，微分方程有著十分廣泛的應用。下面僅就幾個應用實例說明如何建立微分方程，并熟悉建立微分方程的基本方法和步驟。案例1【跳傘規(guī)律】 求高空跳傘者的速度隨時間的變化規(guī)律。（設阻力與降落速度成比）解 假設質量為m的物體在降落傘張開后降落時所受的空氣阻力與速度成正比，開始降落時速度為零。 當降落傘降落速度為 (t )時，降落傘所受重力mg的方向與 (t )的方向一致，并受阻力-k （k為比例系數(shù)，與降落傘的受風面積有關，且大于0），負號

6、表示阻力的第二節(jié) 建立微分方程 方向與 (t )的方向相反，所受的合外力為F=mg- k ，根據(jù)牛頓第二定律F=ma，及 （為加速度），得微分方程即 這是一個一階線性非齊次的微分方程。案例2 【R-L-C電路】 如圖所示的R-L-C電路。它包含電感L,電阻R，電容C及電源e(t)。設L,R,C均為常數(shù)，e(t)是時間t的已知函數(shù)。試求當開關K合上后，電路中電流強度I與時間t之間的關系。 解 電路的基爾霍夫（Kirchhoff）第二定律: 在閉合回路中，所有支路上的電壓的代數(shù)和為零。 設當開關K合上后，電路中在時刻t的電流強度為I(t)，則電流經(jīng)過電感L，電阻R和電容的電壓降分別為其中Q為電量，

7、于是由Kirchhoff第二定律，得到 因為于是得到 這就是電流強度I與時間t所滿足的數(shù)學關系式，它是一個二階線性常系數(shù)非齊次微分方程。案例3【衰變規(guī)律】 求放射性元素的質量衰變規(guī)律。解 放射性元素衰變的速度 正比于該元素的質量m，即 其中為衰變系數(shù)，負號表示質量衰減。 這是一個可分離變量的微分方程，解這個方程得到 其中mo是該放射性元素的初始質量，放射性元素衰減到初始質量的一半所花費的時間T稱為該元素的“半衰期”。根據(jù)這個定義，半衰期T應滿足即 每一種放射性元素的半衰期是一個固定的常數(shù)，式表明半衰期取決于衰變系數(shù)。目前人們已測得了許多放射性元素的半衰期，例如，鉛214的半衰期為26.8分鐘，

8、鐳226的半衰期為1600年，鈾238的半衰期為 4.5109 年。案例4【油井收入】 練習 4.設一初始溫度為o的物體放到恒溫介質中（溫度為r），假定物體的溫度是均勻冷卻，且介質溫度始終為r。求這物體的溫度 隨時間t變化的規(guī)律。 5.發(fā)生一起謀殺案,警察下午4:00到達現(xiàn)場。法醫(yī)測得尸體溫度為30度，室溫20度，已知尸體在最初2小時降低2度。謀殺是什么時間的? 微分方程是高等數(shù)學的重要組成部分，而解微分方程卻是一個繁難的工作，Matlab提供了非常強大的求解常微分方程的功能.其語句為dsolve（eq1，eq2，cond1，cond2,，v） 說明: 對給定的常微分方程(組)eq1，eq2,

9、中指定的符號自變量，與給定的邊界條件和初始條件cond1,cond2,求符號解(即解析解) 若沒有指定變量v,則缺省變量為t 在微分方程(組)的表達式eq中，大寫字母D表示對自變量t的微分算子:Dy=dy/dt，D2y= ，微分算子D后面的第三節(jié) 用MATLAB求解微分方程字母則表示為因變量,即待求解的未知函數(shù) 初始和邊界條件由字符串表示下面看幾個例子。例1 解微分方程 (2)解 (1) dsolve(D2y+y=2*cos(x) ans = sin(t)*C2+cos(t)*C1+2*cos(x) (2) dsolve(D2y=Dy+exp(x) ans = exp(t)*C1-exp(x)

10、*t+C2例2 求解微分方程 （1） ， 。 （2） 。解 (1) dsolve(D2y+4*y=3*x,y(0)=0,Dy(0)=1,x) ans = 1/8*sin(2*x)+3/4*x (2) dsolve(D2y-Dy+2*y=5,y(0)=1,Dy(0)=2,x) ans = 11/14*exp(1/2*x)*sin(1/2*7(1/2)*x)*7(1/2)-3/2*exp(1/2*x)*cos(1/2*7(1/2)*x)+5/2案例【放射性廢料的處理問題】 某核電站的廢料處理委員會以往處理濃縮的放射性廢料時，一直采用把它們裝入密封的圓桶里扔到水深約為91米海底的方法。對此，科學家們

11、表示擔心，怕圓桶下沉到海底時與海底碰撞發(fā)生破裂而造成核污染。廢料處理委員會分辯說不會發(fā)生這種情況。為此，工程師們進行了碰撞試驗，發(fā)現(xiàn)當圓桶下沉速度超過12.2米/秒與海底碰撞時，圓桶就可能發(fā)生破裂。這樣，為避免圓桶碰裂，需要計算一下圓桶下沉到海底時速度是多少。已知圓桶重量為239.456千克，體積為0.208立方米，海水浮力為1025.94千克/立方米。于是，如果圓桶下沉速度小于12.2米/秒，說明原處理放射性廢料的方法是安全可靠的，否則，應該禁用原方法處理放射性廢料。大量試驗表明圓桶下沉時的阻力與圓桶的方位大致無關，而與下沉的速度成正比，比例系數(shù)為0.12。你能判斷廢料處理委員會以往處理濃縮

12、的放射性廢料方法是否合理嗎？解 設w表示 圓桶重量，這里為239.456千克，V表示圓桶體積,這里為0.208立方米，B表示海水浮力，這里為1025.94V=213.396千克，k表示圓桶下沉時的阻力系數(shù)，這里為0.12，v表示圓桶下沉時的速度，D表示圓桶下沉時的阻力，這里為kv，t表示圓桶離開海平面下沉的時間，單位為秒，y(t)表示圓桶在t時刻下沉的深度，單位為米。 因為圓桶下沉滿足牛頓第二定律:運動物體受到的力等于該物體的質量與其運動加速度的乘積，既F=ma。在本問題中有 ，F(xiàn)=W-B-D=W-B-kv，y(0)=0，v(0)=0，于是可以得到如下微分方程模型：求解出函數(shù)y(t)后，求出圓

13、桶下落到水深為91米海底的時間，即求滿足y(t)=91的時間t1，然后求出在時間t1的速度即可以得到問題的解答。這里的速度關系由直接求函數(shù)y(t)對t的導數(shù)得到。 用數(shù)學軟件求解微分方程其中 b=1025.94*0.208 k=0.12 w=239.456 m=w/9.8p=vpa(dsolve(239.456/9.8*D2y+0.12*Dy+1025.94*0.208-239.456=0，Dy(0)=0,y(0)=0)，6) %解微分方程并保留解中的數(shù)值為6位 p=44220.1*exp(-.491113e-2*t)+217.171*t-44220.1 dp=vpa(diff(p),6) %

14、求導數(shù)（速度）并保留數(shù)值為6位 dp =-217.171*exp(-.491113e-2*t)+217.171 fplot(44220.1*exp(-.491113e-2*t)+217.171*t-44220.1- 91,0，0,100) %畫出函數(shù)圖形為找根 從圖形中發(fā)現(xiàn)根在0，20內，畫出其在0，20的局部圖形。fplot(44220.1*exp(-.491113e-2*t)+217.171*t-44220.1-91,0，0,20) p=inline(44220.1*exp(-.491113e-2*t)+217.171*t-44220.1-91); %建立內聯(lián)函數(shù) fsolve(p,14)

15、 %求解在初始值t0=14附近的根 ans = 13.2039 %t=13.2039落到海底dp=inline(-217.171*exp(-.491113e-2*t)+217.171) ；%建立導數(shù)的內聯(lián)函數(shù) dp(13.2039) %求t=13.2039時的速度（落到海底） ans = 13.6358 計算結果表明圓桶下沉到水深約為91米海底時的速度約為13.6358米/秒，這個速度大于12.2米/秒的速度，因此，計算結果說明該核電站的廢料處理委員會以往處理濃縮的放射性廢料方法是不安全的?！鹃喿x材料】數(shù)學建模 數(shù)學建模是指對現(xiàn)實世界的一特定對象，為了某特定目的，做出一些重要的簡化和假設，運用

16、適當?shù)臄?shù)學工具得到一個數(shù)學結構，用它來解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實性態(tài)，預測對象的未來狀況，提供處理對象的優(yōu)化決策和控制，設計滿足某種需要的產品等。一般來說數(shù)學建模過程可用如下框圖來表明。模型準備模型假設模型構成模型檢驗模型分析模型求解模型應用 數(shù)學是在實際應用的需求中產生的，要解決實際問題就必需建立數(shù)學模型，從此意義上講數(shù)學建模和數(shù)學一樣有古老歷史。例如，歐幾里德幾何就是一個古老的數(shù)學模型，牛頓萬有引力定律也是數(shù)學建模的一個光輝典范。今天，數(shù)學以空前的廣度和深度向其它科學技術領域滲透，過去很少應用數(shù)學的領域現(xiàn)在迅速走向定量化，數(shù)量化，需建立大量的數(shù)學模型。特別是新技術、新工藝蓬勃興起，計算機的普及和廣

17、泛應用，數(shù)學在許多高新技術上起著十分關鍵的作用。因此數(shù)學建模被時代賦予更為重要的意義。 在建立數(shù)學模型時，微分方程模型是最常見的一種。在自然科學以及工程、經(jīng)濟、醫(yī)學、體育、生物、社會等學科中的許多系統(tǒng)，有時很難找到該系統(tǒng)有關變量之間的直接關系函數(shù)表達式，但卻容易找到這些變量和它們的微小增量或變化率之間的關系式，這時往往采用微分關系式來。描述該系統(tǒng)即建立微分方程模型。我們以一個例子來說明建立微分方程模型的基本步驟。案例【體重規(guī)律】 某人的食量是10467(焦/天)，其中5038(焦/天)用于基本的新陳代謝(即自動消耗)。在健身訓練中，他所消耗的熱量大約是69(焦/公斤天)乘以他的體重(公斤).假

18、設以脂肪形式貯藏的熱量100%地有效，而1公斤脂肪含熱量41868(焦)。試研究此人的體重隨時間變化的規(guī)律。模型分析 在問題中并未出現(xiàn)“變化率”。“導數(shù)”這樣的關鍵詞，但要尋找的是體重(記為W )關于時間t的函數(shù)。如果我們把體重W看作是時間t的連續(xù)可微函數(shù)，我們就能找到一個含有 的微分方程。模型假設 1. 以W(t)表示t時刻某人的體重，并設一天開始時人的體重為W0。 2.體重的變化是一個漸變的過程，因此可認為W(t)是關于t連續(xù)而且充分光滑的。 3.體重的變化等于輸入與輸出之差，其中輸入是指扣除了基本新陳代謝之后的凈食量吸收；輸出就是進行健身訓練時的消耗。模型建立 問題中所涉及的時間僅僅是“每天”，由此，對于“每天”體重的變化=輸入-輸出由于考慮的是體重隨時間的變化情況，因此，可得體重的變化/天=輸入/天輸出/天代入具體的數(shù)值，得輸入/天 = 10467(焦/天)5038(焦/天)=5429(焦/天)輸出/天 = 69(焦