1、圓里的截長(zhǎng)補(bǔ)短天津石化一中 曹誠(chéng) 2003.09題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）ABCM分析：把已知條件及可得結(jié)論標(biāo)在圖上：60606060BAC=60，。.題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）ABCM分析：把已知條件及可得結(jié)論標(biāo)在圖上：60606060BAC=60，。.把能表示的60角用圓弧表示：題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）ABCM分析：把已知條件及可得結(jié)論標(biāo)在圖上：606060BAC=60，。.把能表示的60角用圓弧表示：）題目：如圖，M是等邊ABC的外

2、接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）ABCM分析：把已知條件及可得結(jié)論標(biāo)在圖上：6060BAC=60，。.把能表示的60角用圓弧表示：）題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）ABCM分析：把已知條件及可得結(jié)論標(biāo)在圖上：BAC=60，。.把能表示的60角用圓弧表示：）60題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）ABCM分析：把已知條件及可得結(jié)論標(biāo)在圖上：BAC=60，。.把能表示的60角用圓弧表示：）題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）ABCMBAC=60，。.）分

3、析1：補(bǔ)短法延長(zhǎng)BM到N，使MN=CM，NCMN=BAC=60，）連結(jié)CN.MA=NB，MA？NB？MACNBC，AC=BC，MAC=NBC，AMC=BNC，AMC=60，BNC=60，CMN是等邊三角形，CMN是等邊三角形，題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）ABCM。.）證法1：延長(zhǎng)BM到N，使MN=CM，N）連結(jié)CN.MA=NB，MACNBC，AC=BC，MA=MB+MC.AB=BC=CA，BAC=ABC=60.CMN=BAC=60，CMN是等邊三角形，BNC=60.AMC=ABC=60，AMC=BNC.MAC=NBC，題目：如圖，M是等邊ABC

4、的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）ABCMBAC=60，。.）分析2：補(bǔ)短法延長(zhǎng)MB到S，使BS=MC，SACM=ABS，連結(jié)AS.MA=MS，MA？SA？AC=AB，ABS=ACM，MC=SB，MACSAB，AMB=60，MA=MS=AS，MA=AS，ABCM。.）證法2：延長(zhǎng)MB到S，使BS=MC，S連結(jié)AS.AC=AB=BC，則ABS=ACM.MACSAB，AMB=ACB=60，MA=MS=AS，MA=SA.MA=MB+MC.題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）ACB=60，題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：

5、MA = MB+MC.）ABCM。.）分析3：補(bǔ)短法延長(zhǎng)MC到T，使CT=BM，TABM=ACT，連結(jié)AT.MA=MT，MA？TA？AB=AC，ACT=ABM，BM=CT，MABTAC，AMC=60，MA=MT=AT，MA=AT，ABCM。.）證法3：延長(zhǎng)MC到T，使CT=BM，T連結(jié)AT.則ACT=ABM，AC=AB=BC，MABTAC， AMC=ABC=60，MA=MT=AT，MA=TA.MA=MB+MC.題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）ABC=60，題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）ABCM。.）分

6、析4：補(bǔ)短法延長(zhǎng)CM到F，使MF=BM，F(xiàn)ABM=CBF，連結(jié)BF.MA=FC，MA？FC？AB=CB，BM=BF，MABFCB，BAC=60，BMF=BAC=60，）BFM是等邊三角形，BFM是等邊三角形，）ABCM。.）證法4：延長(zhǎng)CM到F，使MF=BM，F(xiàn)FMB=FBM=60，連結(jié)BF，MA=FC， AB=AC=CB，BAC=ABC=60.BM=BF，MABFCB，則BMF=BAC=60，）則BFM是等邊三角形，）ABM=CBF，MA=MB+MC.題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA =

7、MB+MC.）ABCM。）分析5：截長(zhǎng)法在AM上截取AE=MC，EBCM=BAM，連結(jié)BE.ME=MB，MB？EB？BC=BA，CM=AE，MBCEBA，AMB=60，ME=MB=BE，MB=EB，ABCM。）證法5：在AM上截取AE=MC，EBCM=BAE， CM=AE，ME=MB；BC=BA=AC，ACB=60.MBCEBA，AMB=ACB=60，ME=MB=BE，MA=ME+AE=MB+MC.連結(jié)BE.題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）ABCM分析6：截長(zhǎng)法在MA上截

8、取MK=MC，KKAC=MBC，連結(jié)KC.AK=MB，AK？BM？AC=BC，AKC=BMC，AKCBMC，KCM是等邊三角形，BMC=120，.）AKC=120，KCM是等邊三角形.）ABCM證法6：在MA上截取MK=MC，KKAC=MBC，連結(jié)KC.AK=MB，AC=BC=AB，ABC=ACB=60，AMC=ABC=60， AMB=ACB=60，BMC=120，AKCBMC，KCM是等邊三角形，.）AKC=120=BMC，）MA=AK+MK=MB+MC.題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA

9、= MB+MC.）ABCM分析7：截長(zhǎng)法在AM上截取AD=MB，DMBC=DAC，連結(jié)DC.MD=MC，MC？DC？CB=CA，BM=AD，MCBDCA，DMC=60，.）MD=MC=DC，）MC=DC，ABCM證法7：在AM上截取AD=MB，DMBC=DAC，連結(jié)DC.CB=CA=AB，ABC=60.BM=AD，MCBDCA，DMC=ABC=60，.）MD=MC=DC，）MC=DC.MA=AD+MD=MB+MC.題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）ABCM。）分析8：截長(zhǎng)法

10、在MA上截取MH=MB，HBAH=BCM，連結(jié)BH.AH=MC，AH？CM？AB=CB，ABH=CBM，AHBCMB，ABC=60，HBM=60，HBM是等邊三角形.HBM是等邊三角形.ABCM。）證法8：在MA上截取MH=MB，HBAH=BCM，AHBCMB， AH=MC，連結(jié)BH.AB=CB=BC，ACB=ABC=60.AMB=ACB=60，HBM是等邊三角形，HBM=60=ABC，ABH=CBM.MA=MH+AH=MB+MC.題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.） “截長(zhǎng)補(bǔ)短”是初中平面幾何中化難為易的一種常用解題思想。 本題是一道典型例題。 這里

11、表現(xiàn) 8 種證法，是要說(shuō)明實(shí)際解題時(shí)怎么補(bǔ)、怎么截。在作好輔助線后要及時(shí)看到所產(chǎn)生的輔助條件，結(jié)合已知條件打通思路。 本題的其它證法附于后面。ABCM證法9：BC=AC=AB，由托勒密定理得BCMA =ACMB+ABMC.MA=MB+MC.題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）ABCM。）證法10：記MA交BC于點(diǎn)P.AMC=AMB .BCM=BAM ，MCP MAB ，MA=MB+MC.題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）P = ；MC CPMA AB同理， = .MB BPMA AC + = + =1，MB

12、MC BP CPMA MA AC ABAC=AB，AC(=AB，BC=AC=AB，.一、我們因夢(mèng)想而偉大，所有的成功者都是大夢(mèng)想家：在冬夜的火堆旁，在陰天的雨霧中，夢(mèng)想著未來(lái)。有些人讓夢(mèng)想悄然絕滅，有些人則細(xì)心培育維護(hù)，直到它安然度過(guò)困境，迎來(lái)光明和希望，而光明和希望總是降臨在那些真心相信夢(mèng)想一定會(huì)成真的人身上。威爾遜二、夢(mèng)想無(wú)論怎樣模糊，總潛伏在我們心底，使我們的心境永遠(yuǎn)得不到寧?kù)o，直到這些夢(mèng)想成為事實(shí)才止；像種子在地下一樣，一定要萌芽滋長(zhǎng)，伸出地面來(lái)，尋找陽(yáng)光。林語(yǔ)堂三、多少事，從來(lái)急；天地轉(zhuǎn)，光陰迫。一萬(wàn)年太久，只爭(zhēng)朝夕。毛澤東四、擁有夢(mèng)想的人是值得尊敬的，也讓人羨慕。當(dāng)大多數(shù)人碌碌而為

13、為現(xiàn)實(shí)奔忙的時(shí)候，堅(jiān)持下去，不用害怕與眾不同，你該有怎么樣的人生，是該你親自去撰寫的。加油！讓我們一起捍衛(wèi)最初的夢(mèng)想。柳巖五、一個(gè)人要實(shí)現(xiàn)自己的夢(mèng)想，最重要的是要具備以下兩個(gè)條件：勇氣和行動(dòng)。俞敏洪六、將相本無(wú)主，男兒當(dāng)自強(qiáng)。汪洙七、我們活著不能與草木同腐，不能醉生夢(mèng)死，枉度人生，要有所作為。方志敏八、當(dāng)我真心在追尋著我的夢(mèng)想時(shí)，每一天都是繽紛的，因?yàn)槲抑烂恳粋€(gè)小時(shí)都是在實(shí)現(xiàn)夢(mèng)想的一部分。佚名九、很多時(shí)候，我們富了口袋，但窮了腦袋；我們有夢(mèng)想，但缺少了思想。佚名十、你想成為幸福的人嗎？但愿你首先學(xué)會(huì)吃得起苦。屠格涅夫十一、一個(gè)人的理想越崇高，生活越純潔。伏尼契十二、世之初應(yīng)該立即抓住第一次的

14、戰(zhàn)斗機(jī)會(huì)。司湯達(dá)十三、哪里有天才，我是把別人喝咖啡的工夫都用在工作上的。魯迅十四、信仰，是人們所必須的。什麼也不信的人不會(huì)有幸福。雨果十五、對(duì)一個(gè)有毅力的人來(lái)說(shuō)，無(wú)事不可為。海伍德十六、有夢(mèng)者事竟成。沃特十七、夢(mèng)想只要能持久，就能成為現(xiàn)實(shí)。我們不就是生活在夢(mèng)想中的嗎？丁尼生十八、夢(mèng)想無(wú)論怎樣模糊，總潛伏在我們心底，使我們的心境永遠(yuǎn)得不到寧?kù)o，直到這些夢(mèng)想成為事實(shí)。林語(yǔ)堂十九、要想成就偉業(yè)，除了夢(mèng)想，必須行動(dòng)。佚名二十、忘掉今天的人將被明天忘掉。歌德二十一、夢(mèng)境總是現(xiàn)實(shí)的反面。偉格利二十二、世界上最快樂(lè)的事，莫過(guò)于為理想而奮斗。蘇格拉底二十三、“夢(mèng)想”是一個(gè)多么“虛無(wú)縹緲不切實(shí)際”的詞啊。在很多

15、人的眼里，夢(mèng)想只是白日做夢(mèng)，可是，如果你不曾真切的擁有過(guò)夢(mèng)想，你就不會(huì)理解夢(mèng)想的珍貴。柳巖二十四、生命是以時(shí)間為單位的，浪費(fèi)別人的時(shí)間等于謀財(cái)害命，浪費(fèi)自己的時(shí)間，等于慢性自殺。魯迅二十五、夢(mèng)是心靈的思想，是我們的秘密真情。杜魯門卡波特二十六、堅(jiān)強(qiáng)的信念能贏得強(qiáng)者的心，并使他們變得更堅(jiān)強(qiáng)。白哲特二十七、既然我已經(jīng)踏上這條道路，那么，任何東西都不應(yīng)妨礙我沿著這條路走下去。康德二十八、青少年是一個(gè)美好而又是一去不可再得的時(shí)期，是將來(lái)一切光明和幸福的開端。加里寧二十九、夢(mèng)想家命長(zhǎng)，實(shí)干家壽短。約奧賴?yán)?、青年時(shí)準(zhǔn)備好材料，想造一座通向月亮的橋，或者在地上造二所宮殿或廟宇?；畹街心?，終于決定搭一個(gè)棚

16、。佚名三十一、在這個(gè)并非盡善盡美的世界上，勤奮會(huì)得到報(bào)償，而游手好閑則要受到懲罰。毛姆三十二、在科學(xué)上沒(méi)有平坦的大道，只有不畏勞苦，沿著陡峭山路攀登的人，才有希望達(dá)到光輝的頂點(diǎn)。馬克思三十三、在勞力上勞心，是一切發(fā)明之母。事事在勞力上勞心，變可得事物之真理。陶行知三十四、一年之計(jì)在于春，一日之計(jì)在于晨。蕭絳三十五、沒(méi)有一顆心會(huì)因?yàn)樽非髩?mèng)想而受傷，當(dāng)你真心想要某樣?xùn)|西時(shí)，整個(gè)宇宙都會(huì)聯(lián)合起來(lái)幫你完成。佚名三十六、夢(mèng)想不拋棄苦心追求的人，只要不停止追求，你們會(huì)沐浴在夢(mèng)想的光輝之中。佚名三十七、一塊磚沒(méi)有什么用，一堆磚也沒(méi)有什么用，如果你心中沒(méi)有一個(gè)造房子的夢(mèng)想，擁有天下所有的磚頭也是一堆廢物；但如

17、果只有造房子的夢(mèng)想，而沒(méi)有磚頭，夢(mèng)想也沒(méi)法實(shí)現(xiàn)。俞敏洪三十八、如意算盤，不一定符合事實(shí)。奧地利三十九、志向不過(guò)是記憶的奴隸，生氣勃勃地降生，但卻很難成長(zhǎng)。莎士比亞四十、如果失去夢(mèng)想，人類將會(huì)怎樣？熱豆腐四十一、無(wú)論哪個(gè)時(shí)代，青年的特點(diǎn)總是懷抱著各種理想和幻想。這并不是什么毛病，而是一種寶貴的品質(zhì)。佚名四十二、夢(mèng)想絕不是夢(mèng)，兩者之間的差別通常都有一段非常值得人們深思的距離。古龍四十三、夢(mèng)想家的缺點(diǎn)是害怕命運(yùn)。斯菲利普斯四十四、從工作里愛(ài)了生命，就是通徹了生命最深的秘密。紀(jì)伯倫四十五、窮人并不是指身無(wú)分文的人，而是指沒(méi)有夢(mèng)想的人。佚名四十六、不要懷有渺小的夢(mèng)想，它們無(wú)法打動(dòng)人心。歌德四十七、人生最

18、苦痛的是夢(mèng)醒了無(wú)路可走。做夢(mèng)的人是幸福的；倘沒(méi)有看出可以走的路，最要緊的是不要去驚醒他。魯迅四十八、浪費(fèi)別人的時(shí)間是謀財(cái)害命，浪費(fèi)自己的時(shí)間是慢性自殺。列寧四十九、意志薄弱的人不可能真誠(chéng)。拉羅什科五十、夢(mèng)想絕不是夢(mèng)，兩者之間的差別通常都有一段非常值得人們深思的距離。古龍五十一、得其志，雖死猶生，不得其志，雖生猶死。無(wú)名氏五十二、所慮時(shí)光疾，常懷緊迫情，蹣跚行步慢，落后最宜鞭。董必武五十三、夢(mèng)想只要能持久，就能成為現(xiàn)實(shí)。我們不就是生活在夢(mèng)想中的嗎？丁尼生五十四、很難說(shuō)什么是辦不到的事情，因?yàn)樽蛱斓膲?mèng)想，可以是今天的希望，并且還可以成為明天的現(xiàn)實(shí)。佚名五十五、要用你的夢(mèng)想引領(lǐng)你的一生，要用感恩真誠(chéng)

19、助人圓夢(mèng)的心態(tài)引領(lǐng)你的一生，要用執(zhí)著無(wú)懼樂(lè)觀的態(tài)度來(lái)引領(lǐng)你的人生。李開復(fù)五十六、人類也需要夢(mèng)想者，這種人醉心于一種事業(yè)的大公無(wú)私的發(fā)展，因而不能注意自身的物質(zhì)利益。居里夫人五十七、一個(gè)人的理想越崇高，生活越純潔。伏尼契五十八、夢(mèng)想一旦被付諸行動(dòng)，就會(huì)變得神圣。阿安普羅克特五十九、一個(gè)人追求的目標(biāo)越高，他的才力就發(fā)展得越快，對(duì)社會(huì)就越有益。高爾基六十、青春是人生最快樂(lè)的時(shí)光，但這種快樂(lè)往往完全是因?yàn)樗錆M著希望，而不是因?yàn)榈玫搅耸裁椿蛱颖芰耸裁?。佚名六十一、生命里最重要的事情是要有個(gè)遠(yuǎn)大的目標(biāo)，并借助才能與堅(jiān)毅來(lái)完成它。歌德六十二、沒(méi)有大膽的猜測(cè)就作不出偉大的發(fā)現(xiàn)。牛頓六十三、夢(mèng)想，是一個(gè)目標(biāo)，

20、是讓自己活下去的原動(dòng)力，是讓自己開心的原因。佚名六十四、人生太短，要干的事太多，我要爭(zhēng)分奪秒。愛(ài)迪生六十五、一路上我都會(huì)發(fā)現(xiàn)從未想像過(guò)的東西，如果當(dāng)初我沒(méi)有勇氣去嘗試看來(lái)幾乎不可能的事，如今我就還只是個(gè)牧羊人而已。牧羊少年的奇幻之旅六十六、一個(gè)人越敢于擔(dān)當(dāng)大任，他的意氣就是越風(fēng)發(fā)。班生六十七、貧窮是一切藝術(shù)職業(yè)的母親。托里安諾六十八、莫道桑榆晚，為霞尚滿天。劉禹錫六十九、一切活動(dòng)家都是夢(mèng)想家。詹哈尼克七十、如果一個(gè)人不知道他要駛向哪個(gè)碼頭，那么任何風(fēng)都不會(huì)是順風(fēng)。小塞涅卡七十一、人性最可憐的就是：我們總是夢(mèng)想著天邊的一座奇妙的玫瑰園，而不去欣賞今天就開在我們窗口的玫瑰。佚名七十二、一個(gè)人如果已

21、經(jīng)把自己完全投入于權(quán)力和仇恨中，你怎么能期望他還有夢(mèng)？古龍七十三、一個(gè)人有錢沒(méi)錢不一定，但如果這個(gè)人沒(méi)有了夢(mèng)想，這個(gè)人窮定了。佚名七十四、平凡樸實(shí)的夢(mèng)想，我們用那唯一的堅(jiān)持信念去支撐那夢(mèng)想。佚名七十五、最初所擁有的只是夢(mèng)想，以及毫無(wú)根據(jù)的自信而已。但是，所有的一切就從這里出發(fā)。孫正義七十六、看見(jiàn)一個(gè)年輕人喪失了美好的希望和理想，看見(jiàn)那塊他透過(guò)它來(lái)觀察人們行為和感情的粉紅色輕紗在他面前撕掉，那真是傷心啊！萊蒙托夫七十七、努力向上吧，星星就躲藏在你的靈魂深處；做一個(gè)悠遠(yuǎn)的夢(mèng)吧，每個(gè)夢(mèng)想都會(huì)超越你的目標(biāo)。佚名七十八、正如心愿能夠激發(fā)夢(mèng)想，夢(mèng)想也能夠激發(fā)心愿。佚名七十九、夢(mèng)想一旦被付諸行動(dòng)，就會(huì)變得神圣。阿安普羅克特八十、對(duì)于學(xué)者獲得的成就，是恭維還是挑戰(zhàn)？我需要的是后者，因?yàn)榍罢咧荒苁谷颂兆矶笳邊s是鞭策。巴斯德八十一、冬天已經(jīng)到來(lái)，春天還會(huì)遠(yuǎn)嗎？雪萊八十二、一個(gè)人想要成功，想要改變命運(yùn)，有夢(mèng)想是重要的。我覺(jué)得每個(gè)人都應(yīng)該心中有夢(mèng)，有胸懷祖國(guó)的大志向，找到自己的夢(mèng)想，認(rèn)準(zhǔn)了就去做，不跟風(fēng)不動(dòng)搖。同時(shí)，我們不僅僅要自己有夢(mèng)想，你還應(yīng)該用自己的夢(mèng)想去感染和影響別人，因?yàn)槌晒φ咭欢ㄊ怯米约旱膲?mèng)想去點(diǎn)燃別人的夢(mèng)想，是時(shí)刻播種夢(mèng)想的人。李彥宏八十三、夢(mèng)想是人們與生俱來(lái)的重要寶物之一，它等待你的珍視和實(shí)踐。鄒金宏八十四、心存希望，幸福就會(huì)降臨你；心存夢(mèng)想，機(jī)遇就會(huì)籠罩你。佚名八十五、第一，有夢(mèng)