1、目 錄 4.1 外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性.2 李亞普諾夫意義下運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定 性的 一些基本概念4.3 李亞普諾夫第二方法的主要 定理4.4 線性系統(tǒng)的狀態(tài)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性 的判據(jù)一 外部穩(wěn)定性 1. 定義：一個(gè)線性因果系統(tǒng)，如果對(duì)應(yīng)于一個(gè)有界的輸入 u(t) , 即滿足條件 注意：討論外部穩(wěn)定，必須假定系統(tǒng)初始條件為零。 2 結(jié)論1：時(shí)變系統(tǒng) 對(duì)于零初始條件的線性時(shí)變系統(tǒng)， 為其脈沖響應(yīng)矩陣，則系統(tǒng)4.1 外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性 為BIBO 穩(wěn)定的充分必要條件是，存在一個(gè)有限常數(shù) k ,使對(duì)于一切 的每一個(gè)元 均滿足 關(guān)系式必要性：利用反讓法。再考慮多輸入多輸出情況 有界個(gè)有界函數(shù)之和仍為有界，利用單輸入

2、單輸出情況的結(jié)論，可證得此 結(jié)論。3 結(jié)論2： （定常情況） 對(duì)于零初始條件的線性定常系統(tǒng)，表初始時(shí)刻 為其脈沖響應(yīng) 矩陣， 為其傳遞函數(shù)矩陣，則系統(tǒng)為BIBO穩(wěn)定的充分必要條件是， 存在一個(gè)有限常數(shù) 的每一個(gè)元 均滿足關(guān)系式： 二 內(nèi)部穩(wěn)定性1 定義：對(duì)于線性定常系統(tǒng)三 內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性間的關(guān)系結(jié)論：設(shè)線性定常系統(tǒng)（）是內(nèi)部穩(wěn)定的，則必是BIBO穩(wěn)定的。結(jié)論：設(shè)線性定常系統(tǒng)（）是BIBO穩(wěn)定的，則不能保證系統(tǒng)必 是漸近穩(wěn)定的。結(jié)論：如果線性定常系統(tǒng)（）為能控和能觀測(cè)的，則其內(nèi)部穩(wěn)定 性與外部穩(wěn)定性必是等價(jià)的。 一 自治系統(tǒng)、受擾運(yùn)動(dòng)和平衡狀態(tài)自治系統(tǒng)：不受外部影響即沒(méi)有輸入作用的一類(lèi)動(dòng)

3、態(tài)系統(tǒng) 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為.2 李亞普諾夫意義下運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的 一些基本概念 系統(tǒng)平衡狀態(tài)可以為零（ ），也可不為零（ ），但對(duì)任意 總可引入一個(gè)新?tīng)顟B(tài)，經(jīng)一定的坐標(biāo)變換，把它化到坐標(biāo)原點(diǎn)（即零狀態(tài)）。 對(duì)線性定常系統(tǒng)，有對(duì)平衡狀態(tài)的幾點(diǎn)說(shuō)明:1)平衡狀態(tài)直觀含義,平衡狀態(tài)xe直觀上為系統(tǒng)處于平衡時(shí)可能具有的一類(lèi)狀態(tài),系統(tǒng)平衡的基本特征為 .2)平衡狀態(tài)的形式平衡狀態(tài)可由求解方程定出它的形式包括狀態(tài)空間中的點(diǎn)和線段）不唯一性，自治系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe一般為不唯一定常系統(tǒng)平衡狀態(tài)xe為方程xe的解，若矩陣非奇異則有唯一解xe，為奇異有無(wú)窮多個(gè)解）零平衡狀態(tài)對(duì)自治系統(tǒng)，在大多數(shù)情況下，xe必為系統(tǒng)的一

4、個(gè)平衡狀態(tài)）孤立平衡狀態(tài)：如果多個(gè)平衡狀態(tài)彼此是孤立的，則稱(chēng)這樣的狀態(tài)為孤立平衡狀態(tài)，單個(gè)平衡狀態(tài)也是孤立平衡狀態(tài)。）對(duì)平衡狀態(tài)的約定在李亞普諾夫直接法中，對(duì)穩(wěn)定性的分析主要針對(duì)孤立平衡狀態(tài)在隨后的穩(wěn)定性分析中，總是把平衡狀態(tài)設(shè)為狀態(tài)空間原點(diǎn)3.受擾運(yùn)動(dòng)：定義為其自治系統(tǒng)由初始狀態(tài)擾動(dòng)x0引起的一類(lèi)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)實(shí)質(zhì)上，受擾運(yùn)動(dòng)就是系統(tǒng)的狀態(tài)零輸入響應(yīng)，所以稱(chēng)之為受擾運(yùn)動(dòng)，起因于穩(wěn)定性分析中將非零初始狀態(tài)x0看成為相對(duì)于零平衡狀態(tài)即xr=0的一個(gè)狀態(tài)擾動(dòng)穩(wěn)定性問(wèn)題： 是指系統(tǒng)的狀態(tài)解（常稱(chēng)“運(yùn)動(dòng)”）是否能趨于平衡狀態(tài)解的問(wèn)題。若系統(tǒng)的 狀態(tài)解能回復(fù)到平衡狀態(tài)，則稱(chēng)此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果系統(tǒng)的狀態(tài)解雖然

5、不 能最終回復(fù)到平衡狀態(tài)，而是在平衡狀態(tài)的某一鄰域內(nèi)呈現(xiàn)自激振蕩，而這 種振蕩又為實(shí)際系統(tǒng)所允許，那么也應(yīng)把這種系統(tǒng)稱(chēng)之為穩(wěn)定的。反之稱(chēng)為 不穩(wěn)定的。二 穩(wěn)定性的基本定義1 穩(wěn)定（李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定） 1）定義：對(duì)于系統(tǒng)（2），如果給定任何一實(shí)數(shù) ，都相應(yīng)地存在另一實(shí)數(shù) ，使由滿足不等式 2）幾何意義2 漸近穩(wěn)定 1）定義:對(duì)于系統(tǒng)(2),如果給定任意兩個(gè)實(shí)數(shù) 和 ，都有相應(yīng)地存在另 兩個(gè)實(shí)數(shù) 和 ，使由滿足不等式： 2）幾何意義 3）討論： a) 如果 和T均與 無(wú)關(guān)，則稱(chēng)此平衡狀態(tài) 是一致漸近穩(wěn)定的。 b) 漸近穩(wěn)定的最大區(qū)域稱(chēng)為引力域。3 大范圍漸近穩(wěn)定 1）定義：如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài)

6、 是漸近穩(wěn)定的，且其引力域包括整個(gè)狀態(tài)空間， 即有： 則稱(chēng)系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 為大范圍漸近穩(wěn)定的。 2) 討論： a) 大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的必要條件是整個(gè)狀態(tài)空間中只存在一個(gè)平衡狀態(tài)。 b) 對(duì)于線性系統(tǒng)，如果其平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，那么它也一定是大范圍 漸近穩(wěn)定的。4 不穩(wěn)定 1）定義： 如果給定任意實(shí)數(shù) 且無(wú)論它們?nèi)〉枚嗝葱?，在由不等?所確定的球域 內(nèi)，至少存在一個(gè)初態(tài) ，由 出發(fā)的， 時(shí)的狀態(tài)x 不滿足下列不等式 則稱(chēng)狀態(tài) 是不穩(wěn)定的。 2）幾何意義 李亞普諾夫第二方法是建立在這樣一個(gè)直觀的物理事實(shí)上的，任何一個(gè)系統(tǒng)或物體之所以有運(yùn)動(dòng)，無(wú)非是因?yàn)樗哂心芰康木壒?。如果系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其內(nèi)部

7、貯存的能量隨著時(shí)間的增加而逐漸減小，一直到運(yùn)動(dòng)平衡狀態(tài)處，系統(tǒng)的能量耗盡或變得最小，那么系統(tǒng)自然將在此平衡狀態(tài)處漸近穩(wěn)定。即有 。 由于實(shí)際系統(tǒng)很難找到一個(gè)統(tǒng)一的、簡(jiǎn)便的用于完全描述上述過(guò)程的所謂能量函數(shù)，李氏認(rèn)為在判斷一個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定時(shí)，不一定非要找到系統(tǒng)的真正能量函數(shù)，可以根據(jù)不同的系統(tǒng)虛構(gòu)一個(gè)廣義的能量函數(shù)，稱(chēng)為李亞普諾夫函數(shù)（李氏函數(shù)）。李氏函數(shù)能滿足一定的條件，也就可根據(jù)它來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性了。李氏函數(shù)一般是狀態(tài)分量 和時(shí)間 t 的標(biāo)量函數(shù)，用 表示。若 與 t 無(wú)關(guān)，可用 表示。4.3 李亞普諾夫第二方法的主要定理定理1 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為在多數(shù)情況下， 常取二次型函數(shù)作為李氏函數(shù)。

8、定理2：系統(tǒng)如（3）所示，如果它在原點(diǎn)的某鄰域 內(nèi)，存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù) 對(duì)t具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)存在，對(duì) 具有連續(xù)的一階 偏導(dǎo)數(shù)存在，且滿足如下條件 定理3：系統(tǒng)如（3）所示，如果它在原點(diǎn)的某鄰域 內(nèi)，存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù) 對(duì)t具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)存在，對(duì) 具有連續(xù)的一 階偏導(dǎo)數(shù)存在，且滿足如下條件 定理4：系統(tǒng)如（3）所示，如果它在原點(diǎn)的某鄰域 內(nèi)，存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù) 對(duì)t具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)存在，對(duì) 具有連續(xù)的一 階偏導(dǎo)數(shù)存在，且滿足如下條件例子：系統(tǒng)方程為 試用李亞普諾夫第二法判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例子：系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 試用李亞普諾夫第二法判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 一 線性定常系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性判據(jù) 考察

9、線性定常自治系統(tǒng) 是它的一個(gè)平衡狀態(tài)。判據(jù)1：（特征值判別據(jù)） 對(duì)于線性定常系統(tǒng)（4），有 （1）系統(tǒng)的每一平衡狀態(tài)是在李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定的充分必要條件為， A的所有特征值均具有非正（負(fù)或零）實(shí)部，且具有零實(shí)部的特征值為 A的最小多項(xiàng)式的單根。 （2） 系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài) 是漸近穩(wěn)定的充分必要條件為，A的所有 特征值均具有負(fù)實(shí)部。 4.4 線性系統(tǒng)的狀態(tài)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的判據(jù)例 給定線性定常自治系統(tǒng) 判據(jù)2：（李亞普諾夫判據(jù)） 線性定常系統(tǒng)（4）的零平衡狀態(tài) 為漸近穩(wěn)定的充分必要條件，是 對(duì)任意給定的一個(gè)正定對(duì)稱(chēng)矩陣Q，如下形式的李亞普諾夫矩陣方程 有唯一正定對(duì)稱(chēng)矩陣解P。對(duì)判據(jù)（2）作幾點(diǎn)說(shuō)明

10、： （1）對(duì)（5）式，Q只要是正定對(duì)稱(chēng)矩陣就行，其形式可任意給定。且最終 的判斷與 Q 的不同選取無(wú)關(guān)。 （2）為方便起見(jiàn)，通常選取 Q=I（單位陣），這樣可將判據(jù)（2）改述為： 線性定常系統(tǒng) 的平衡狀態(tài) X=0 為漸近穩(wěn)定的充分必要條 件為存在一個(gè)正定矩陣P ，使?jié)M足矩陣方程 （3）當(dāng)系統(tǒng)矩陣A 給定后，可用（6）式確定 P 。P 正定，平衡狀態(tài) 為漸近穩(wěn)定。例：已知線性系統(tǒng) 試用李亞普諾夫第二法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)平衡狀態(tài)： 令由（6）式可得：由此可導(dǎo)出：解得：判斷 P 的正定性故可知 P 是正定的，系統(tǒng)平衡狀態(tài) 是漸近穩(wěn)定的。構(gòu)造李氏函數(shù)故根據(jù)定理（2）可知系統(tǒng)平衡狀態(tài) 是漸近穩(wěn)定

11、的。由此可見(jiàn)，上述兩種判斷結(jié)果是一致的。對(duì)于線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的也是大范圍漸近穩(wěn)定的。二、線性時(shí)變系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性判據(jù) 線性時(shí)變自治系統(tǒng)其平衡狀態(tài) 滿足 。結(jié)論1： （狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣判據(jù)） 對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)（7），有 （1）系統(tǒng)的每個(gè)平衡狀態(tài)在 t0 時(shí)刻是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的充分必要 條件是存在一個(gè)依賴(lài)于 t0 的常數(shù) k(t0),使成立其中 為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。進(jìn)一步，若對(duì)一切 t0 存在不依賴(lài)于t0 的常數(shù) k ，使上式成立，則系統(tǒng)的每一個(gè)平衡狀態(tài)是李亞普諾夫意義下一致穩(wěn)定的。（2）系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài) 在 t0 時(shí)刻是漸近穩(wěn)定的充分必要條件是成立。 在區(qū)間 上為一致漸近穩(wěn)定的充分必要條件，是存在不依賴(lài)于 t0 的正數(shù) k1和 k2 ，使對(duì)任意 和所有