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1、第四節(jié) 正定二次型及正定矩陣第六章 二次型1一、正(負(fù))定二次型的概念定義6.6 具有實對稱矩陣A的n元二次型為如果對于任意的非零向量 ，都有 （或0）成立，那么稱二次型為正定（負(fù)定）二次型，A為正定（負(fù)定）矩陣。 2如果對于任意非零向量 ，都有 （或 ）成立，并且存在某向量X0,使得 那么稱二次型為半正定（半負(fù)定）二次型，A為半正定（半負(fù)定）矩陣。 3）如果對某向量 ，有 ，而對另一向量 ，有 ，則稱該二次型為不定二次型。矩陣A稱為不定矩陣。3例如4準(zhǔn)則1 對稱矩陣A為正定的充分必要條件是： A的特征值全為正 二、正(負(fù))定二次型的判別證明 必要性5充分性推論1 n元實二次型正定的充要條件是

2、其正慣性指數(shù)為n. 6對負(fù)定矩陣也有類似結(jié)論：7準(zhǔn)則二 實對稱矩陣A正定的充分必要條件為A合同于單位陣E.證明: 若二次型正定,則A的特征值全部為正8推論1 對稱矩陣為正定矩陣的充要條件是其存在可逆矩陣C 使得A=CTC.若A與單位陣合同，則存在可逆矩陣C,使A= CTEC= CTC，則對于非零向量x推論2 對稱矩陣為正定矩陣，則A的對角線上的元素均大于零。9準(zhǔn)則3 對稱矩陣 為正定的充分必要條件是：的各階主子式為正，即對稱矩陣 為負(fù)定的充分必要條件是：奇數(shù)階主子式為負(fù)，而偶數(shù)階主子式為正，即10例1 判別二次型是否正定.解它的順序主子式故上述二次型是正定的.11例2 判別二次型是否正定.解二次型的矩陣為用特征值判別法.故此二次型為正定二次型.即知 是正定矩陣，12例3 判別二次型的正定性.解13例4 當(dāng) 取何值時，實二次型是正定二次型 解 實二次型的矩陣為為了使 為正定二次型， 式都應(yīng)大于零，即 的各階順序主子14由 可得 ， 于是當(dāng) 時， 二次型 為正定15例5設(shè)為可逆矩陣,證明是正定二次型.證顯然即令則對任意因可逆,所以故即是正定二次型.16正定矩陣具有以下一些簡單性質(zhì)172.正定二次型（正定矩陣）的判別方法：(1)定義法；(3)順次主子式判別法；(2)特征值判別法.1.正定二次型的概念，正定二次型與正定矩陣的區(qū)別與聯(lián)系3.根據(jù)正定二次型的判別方法，可以

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