1、用空間向量證(解)立體幾何題之 (五) -證明線面平行 用空間向量證(解)立體幾何題是現(xiàn)階段的熱門話題 。它可以把一些復(fù)雜的證明或計(jì)算題用“程序化”的計(jì)算來(lái)給出解答。 前段時(shí)間我們研究了用空間向量求角(包括線線角、線面角和面面角)、求距離(包括線線距離、點(diǎn)面距離、線面距離和面面距離)和證明垂直(包括線線垂直、線面垂直和面面垂直)。 用空間向量證明“平行”， 包括線面平行和面面平行。GAEDCBFHMN例1.如圖：ABCD與ABEF是正方形，CB平面ABEF，H、G分別是AC、BF上的點(diǎn)，且AH=GF. 求證： HG平面CBE.MHAB,NG AB MHNGAH=FG CH=BG CH:CA=B

2、G:BF MH=NGGAEDCBFHPPHCB,PGBE 平面HPG平面CBE HG平面CBE GAEDCBFHozy證明：由已知得：AB、BC、BE兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o-xyz.x設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1, AH=FG=a, 則H(0,1- a , a)、 G(1- a , 1- a,0),故 ,而平面CBE的法向量為 (0,1,0), 故 ,而 平面CBE 故 HG平面CBE RDBCAA1QPNMD1C1B1例2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分別是A1B1和BC上的動(dòng)點(diǎn)，且A1P=BQ，M是AB1的中點(diǎn)，N是PQ的中點(diǎn). 求證： MN平面AC.M是中點(diǎn)，N

3、是中點(diǎn) MNRQ MN平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1作PP1AB于P1，作MM1 AB于M1，連結(jié)QP1， 作NN1 QP1于N1，連結(jié)M1N1N1M1P1NN1PP1 MM1AA1又NN1、MM1均等于邊長(zhǎng)的一半故MM1N1N是平行四邊形，故MNM1N1MN平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1zyxo證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o-xyz設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，又設(shè)A1P=BQ=2x則P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0) 故N(2-x, 1+x, 1),而M(2, 1, 1)所以向量 (-x, x, 0)，又平面AC的法向量為 (0, 0, 1)， 又M不在平面AC 內(nèi)，

4、所以MN平面ACDCBAD1C1B1A1例3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證： 平面A1BD平面CB1D1平行四邊形A1BCD1 A1BD1C平行四邊形DBB1D1 B1D1BD于是平面A1BD平面CB1D1DCBAD1C1B1A1ozyx證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o-xyz設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，則向量設(shè)平面BDA1的法向量為則有x+z=0 x+y=0令x=1,則得方程組的解為x=1 y=-1 z=-1故平面BDA1的法向量為同理可得平面CB1D1的法向量為則顯然有即得兩平面BDA1和CB1D1的法向量平行所以 平面BDA1CB1D1 通過(guò)本例的練習(xí)，同學(xué)們要進(jìn)一步掌握平面法向

5、量的求法：即用平面內(nèi)的兩個(gè)相交向量與假設(shè)的法向量求數(shù)量積等于0，利用解方程組的方法求出平面法向量(在解的過(guò)程中可令其中一個(gè)未知數(shù)為某個(gè)數(shù))。例1、2與例3在利用法向量時(shí)有何不同？DCBAD1C1B1A1FGHE例4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中點(diǎn). 求證： 平面AEH平面BDGFADGF，AD=GF又EHB1D1，GFB1D1 EHGF平行四邊形ADGE AEDG 故得平面AEH平面BDGFDCBAD1C1B1A1HGFEozyx略證：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o-xyz則求得平面AEF的法向量為求得平面BDGH的法向量

6、為顯然有故 平面AEH平面BDGF小結(jié)： 利用向量的有關(guān)知識(shí)解決一些立體幾何的問(wèn)題，是近年來(lái)很“時(shí)髦”的話題，其原因是它把有關(guān)的“證明”轉(zhuǎn)化為“程序化的計(jì)算” 。本課時(shí)講的內(nèi)容是立體幾何中的證明“線面平行”的一些例子，結(jié)合我們以前講述立體幾何的其他問(wèn)題(如：證明垂直、求角、求距離等)，大家從中可以進(jìn)一步看出基中一些解題的“套路”。 利用向量解題 的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系及寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)。DCBAD1C1B1A1PFE作業(yè)： 1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是A1D1 、 BB1的中點(diǎn)，問(wèn):在邊CC1上是否存在一點(diǎn)P，使AC平面EFP？若存在，求出P的位置；若不存在

7、，請(qǐng)說(shuō)明理由。NMPDCBA2.在四棱錐P-ABCD中，底ABCD是正方形， 且PA=PB=PC= PD=AB=BC= CD =DA, M、N分別 是PA、BD上的 動(dòng)點(diǎn)， 且PM:MA=BN:ND。問(wèn)：直線MN與平面PBC有什么關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論.再見46凡事不要說(shuō)我不會(huì)或不可能，因?yàn)槟愀具€沒(méi)有去做！47成功不是靠夢(mèng)想和希望，而是靠努力和實(shí)踐48只有在天空最暗的時(shí)候，才可以看到天上的星星49上帝說(shuō)：你要什么便取什么，但是要付出相當(dāng)?shù)拇鷥r(jià)50現(xiàn)在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移動(dòng)。51寧可辛苦一陣子，不要苦一輩子52為成功找方法，不為失敗找借口53不斷反思自己的弱點(diǎn)，是讓自己獲得

8、更好成功的優(yōu)良習(xí)慣。54垃圾桶哲學(xué)：別人不要做的事，我揀來(lái)做！55不一定要做最大的，但要做最好的56死的方式由上帝決定，活的方式由自己決定！57成功是動(dòng)詞，不是名詞！28、年輕是我們拼搏的籌碼，不是供我們揮霍的資本。59、世界上最不能等待的事情就是孝敬父母。60、身體發(fā)膚，受之父母，不敢毀傷，孝之始也； 立身行道，揚(yáng)名於后世，以顯父母，孝之終也。孝經(jīng)61、不積跬步，無(wú)以致千里；不積小流，無(wú)以成江海。荀子勸學(xué)篇62、孩子：請(qǐng)高看自己一眼，你是最棒的！63、路雖遠(yuǎn)行則將至，事雖難做則必成！64、活魚會(huì)逆水而上，死魚才會(huì)隨波逐流。65、怕苦的人苦一輩子，不怕苦的人苦一陣子。66、有價(jià)值的人不是看你能

9、擺平多少人，而是看你能幫助多少人。67、不可能的事是想出來(lái)的，可能的事是做出來(lái)的。68、找不到路不是沒(méi)有路，路在腳下。69、幸福源自積德，福報(bào)來(lái)自行善。70、盲目的戀愛以微笑開始，以淚滴告終。71、真正值錢的是分文不用的甜甜的微笑。72、前面是堵墻，用微笑面對(duì)，就變成一座橋。73、自尊，偉大的人格力量；自愛，維護(hù)名譽(yù)的金盾。74、今天學(xué)習(xí)不努力，明天努力找工作。75、懂得回報(bào)愛，是邁向成熟的第一步。76、讀懂責(zé)任，讀懂使命，讀懂感恩方為懂事。77、不要只會(huì)吃奶，要學(xué)會(huì)吃干糧，尤其是粗茶淡飯。78、技藝創(chuàng)造價(jià)值，本領(lǐng)改變命運(yùn)。79、憑本領(lǐng)瀟灑就業(yè)，靠技藝穩(wěn)拿高薪。80、為尋找出路走進(jìn)校門，為創(chuàng)造生活奔向社會(huì)。81、我不是來(lái)龍飛享福的，但，我是為幸福而來(lái)龍飛的！82、校興我榮，校衰我恥。83、今天我以學(xué)校為榮，明天學(xué)校以我為榮。84、不想