1、課時過關(guān)檢測(五十六) 圓錐曲線中的證明、探索性問題1已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦點，焦距為2，過F2作斜率存在且不為零的直線l交C于A，B兩點，且F1AB的周長為8(1)求橢圓C的方程；(2)已知弦AB的垂直平分線l交x軸于點P，求證：|AB|4|PF2|解：(1)由焦距為2，即2c2，得c1，結(jié)合橢圓的定義知：F1AB的周長4a8，得a2，b2a2c23，即橢圓C的方程為eq f(x2,4)eq f(y2,3)1(2)證明：設(shè)直線l的方程為xmy1，m0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立eq blcrc (avs4a

2、lco1(xmy1，,f(x2,4)f(y2,3)1，)得(3m24)y26my90，0恒成立，y1y2eq f(6m,3m24)，y1y2eq f(9,3m24)，則x1x2m(y1y2)2eq f(8,3m24)，AB的中點為eq blc(rc)(avs4alco1(f(x1x2,2)，f(y1y2,2)，即eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3m24)，f(3m,3m24)，線段BA的垂直平分線l的方程為ymeq blc(rc)(avs4alco1(xf(4,3m24)eq f(3m,3m24)，即ymxeq f(m,3m24)，令y0，得xeq f(1,3m24)，xPe

3、q f(1,3m24)，|PF2|1xP|eq f(3m23,3m24)eq f(3m21,3m24)，而|AB|eq r(1m2)|y1y2|eq r(1m2)eq r(y1y224y1y2)eq f(r(1m2)12r(1m2),3m24)eq f(121m2,3m24)，eq f(|AB|,|PF2|)eq f(f(12m21,3m24),f(31m2,3m24)eq f(12,3)4，即|AB|4|PF2|2設(shè)動點P與定點F(eq r(3)，0)的距離和P到定直線l：xeq f(4r(3),3)的距離的比是eq f(r(3),2)(1)求動點P的軌跡方程；(2)設(shè)動點P的軌跡為曲線N，

4、不過原點O且斜率為eq f(1,2)的直線l與曲線N交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為M，直線OM與曲線N交于C，D兩點，證明：A，B，C，D四點共圓解：(1)設(shè)P(x，y)，因為動點P與定點F(eq r(3)，0)的距離和P到定直線l：xeq f(4r(3),3)的距離的比是eq f(r(3),2)，所以eq f(r(xr(3)2y2),avs4al(blc|rc|(avs4alco1(xf(4r(3),3)eq f(r(3),2)，整理化簡得eq f(x2,4)y21所以動點P的軌跡方程為eq f(x2,4)y21(2)證明：設(shè)直線l的方程為yeq f(1,2)xm(m0)，A(x1，

5、y1)，B(x2，y2)，由方程組eq blcrc (avs4alco1(f(x2,4)y21，,yf(1,2)xm，)得x22mx2m220，方程的判別式為4(2m2)，由0，即2m20，解得eq r(2)meq r(2)由得x1x22m，x1x22m22所以M點坐標為eq blc(rc)(avs4alco1(m，f(m,2)，直線OM方程為yeq f(1,2)x，假設(shè)點C在第二象限，由方程組eq blcrc (avs4alco1(f(x2,4)y21，,yf(1,2)x，)解得Ceq blc(rc)(avs4alco1(r(2)，f(r(2),2)，Deq blc(rc)(avs4alco

6、1(r(2)，f(r(2),2)所以|MC|MD|eq f(r(5),2)(meq r(2)eq f(r(5),2)(eq r(2)m)eq f(5,4)(2m2)又|MA|MB|eq f(1,4)|AB|2eq f(1,4)(x1x2)2(y1y2)2eq f(5,16)(x1x2)24x1x2eq f(5,16)4m24(2m22)eq f(5,4)(2m2)所以|MA|MB|MC|MD|所以A，B，C，D四點共圓3已知雙曲線方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線的左、右焦點，離心率為2，點P為雙曲線在第一象限上的一點，且滿足eq o(PF1,sup7()

7、eq o(PF2,sup7()0，|PF1|PF2|6(1)求雙曲線的標準方程；(2)過點F2作直線l交雙曲線于A，B兩點，則在x軸上是否存在定點Q(m,0)，使得eq o(QA,sup7()eq o(QB,sup7()為定值，若存在，請求出m的值和該定值，若不存在，請說明理由解：(1)由eeq f(c,a)2得c2a，beq r(c2a2)eq r(3)a，eq o(PF1,sup7()eq o(PF2,sup7()0，PF1PF2，在RtF1PF2中，由|PF1|PF2|2a得：|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4a2，代入|PF1|2|PF2|24c2，|PF1|PF2|6得：

8、4c2124a2，解得b23，a21，雙曲線方程為x2eq f(y2,3)1(2)當l斜率為0時，l：y0，此時A(1,0)，B(1,0)，由Q(m,0)得eq o(QA,sup7()eq o(QB,sup7()m21；當l斜率不為0時，設(shè)l：xty2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立eq blcrc (avs4alco1(xty2，,3x2y23，)得(3t21)y212ty90，則36t2360，y1y2eq f(12t,3t21)，y1y2eq f(9,3t21)，eq o(QA,sup7()eq o(QB,sup7()(x1m，y1)(x2m，y2)(x1m)(x2m)y1y2

9、(ty12m)(ty22m)y1y2(t21)y1y2(2m)t(y1y2)(2m)2(t21)eq f(9,3t21)(2m)teq f(12t,3t21)(2m)2，令eq o(QA,sup7()eq o(QB,sup7()m21，即9(t21)12t2(2m)(4m5)(3t21)，化簡得m10，解得m1，則Q(1,0)，此時eq o(QA,sup7()eq o(QB,sup7()0綜上所述，存在m1，使得eq o(QA,sup7()eq o(QB,sup7()04已知拋物線D的頂點是橢圓eq f(x2,4)eq f(y2,3)1的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合(1)求拋物線D的方程；(

10、2)已知動直線l過點P(4,0)，交拋物線D于A，B兩點，是否存在垂直于x軸的直線m被以AP為直徑的圓所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說明理由解：(1)由題意，設(shè)拋物線方程為y22px(p0)，由橢圓eq f(x2,4)eq f(y2,3)1知，c2a2b2431，所以c1，拋物線的焦點為(1,0)，eq f(p,2)1，即p2，拋物線D的方程為y24x(2)設(shè)存在直線m：xa滿足題意，A(x1，y1)，則圓心Meq blc(rc)(avs4alco1(f(x14,2)，f(y1,2)，過M作直線xa的垂線，垂足為E，設(shè)直線m與圓M的一個交點為G，可得|EG|2|MG|2|ME|2, 即|EG|2|MA|2|ME|2eq f(x142yoal(2,1),4)e