1、一、什么是黎曼猜想黎曼猜想一一最重要的數(shù)學(xué)猜想早在1737年，大數(shù)學(xué)家歐拉就發(fā)現(xiàn)了質(zhì)數(shù)分布問(wèn)題與Zeta函數(shù)的聯(lián)系，給出并證明了歐拉乘積公式，使得 Zeta函數(shù)成為研究質(zhì)數(shù)問(wèn)題的經(jīng)典方法。np歐拉乘積公式，其中 p為質(zhì)數(shù)，n為自然數(shù)黎曼猜想(Riemann Hypothesis)由大數(shù)學(xué)家黎曼在 1859年首次提出，討論黎曼 Zeta函 數(shù)的非平凡解問(wèn)題。黎曼猜想是眾多尚未解決的最重要的數(shù)學(xué)問(wèn)題之一，被克雷數(shù)學(xué)研究所列為待解決的七大千禧問(wèn)題，懸賞百萬(wàn)美金證明或者證偽。一百年前希爾伯特就曾被問(wèn)過(guò)一個(gè)問(wèn)題 “假定你 能死而復(fù)生，你會(huì)做什么？” ，他的回答是，“我會(huì)問(wèn)黎曼猜想是否已經(jīng)解決” ?？梢娎?/p>

2、曼猜 想多么吸引人黎曼猜想是關(guān)于黎曼 Zeta函數(shù)的零點(diǎn)分布的猜想。黎曼Zeta函數(shù)長(zhǎng)這個(gè)樣子:11+ + +,.2535黎曼Zeta函數(shù)有兩種零點(diǎn)，一種是位于實(shí)數(shù)軸線上的零點(diǎn)，被稱為平凡零點(diǎn)，另一種是位于其他復(fù)平面區(qū)域上的零點(diǎn)，被稱為非平凡零點(diǎn)，目前數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明這些非平凡零點(diǎn) 全部位于實(shí)部區(qū)間為 0到1的復(fù)平面內(nèi)，而黎曼則大膽猜想， 這些非平凡零點(diǎn)全部位于實(shí)部 為1/2的一條直線上?！八蟹瞧椒擦泓c(diǎn)都位于實(shí)部為1/2的直線上”是一個(gè)尚未得到嚴(yán)格證明的猜想，但數(shù)學(xué)家們至今找到的上萬(wàn)億個(gè)非平凡零點(diǎn)的確都位于這條直線上，無(wú)一例外。黎曼猜想還跟嘉律分布有關(guān)。我們都知道哥律分布是指p(x) cxa其

3、中x如果只能取1,2,3,n的整數(shù)，c為歸一化常數(shù)，滿足：/?(1+p(2)十十M九)=廠=1而這里面的*數(shù)值。就是Zeta函數(shù)，黎曼猜想就是關(guān)于這個(gè)函數(shù)的，但是a可以取復(fù)黎曼猜想真的會(huì)被證明嗎？質(zhì)數(shù)分布沒有簡(jiǎn)單規(guī)律，但質(zhì)數(shù)出現(xiàn)的頻率跟黎曼Zeta函數(shù)緊密相關(guān)。有數(shù)學(xué)家甚至認(rèn)為黎曼猜想與強(qiáng)條件下的質(zhì)數(shù)定理是等價(jià)的。目前已經(jīng)驗(yàn)證了前1,500,000,000個(gè)質(zhì)數(shù)對(duì)這個(gè)定理都成立，但至今沒有完全證明。黎曼猜想得證，對(duì)質(zhì)數(shù)研究、數(shù)論研究意義重大。黎曼猜想對(duì)許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域都意義重大，質(zhì)數(shù)分布只是其中一個(gè)。有上千個(gè)數(shù)學(xué)命題都建立在黎曼猜想為真的基礎(chǔ)上。多數(shù)數(shù)學(xué)家認(rèn)為這個(gè)猜想是正確的，如果黎曼猜想被證偽，

4、數(shù)學(xué)體系將失去重要根基。二、黎曼猜想被證明了嗎？如果這是真的，Atiyah爵士將不僅獲得由克雷數(shù)學(xué)研究所懸賞的一百萬(wàn)美金獎(jiǎng)勵(lì)，更 是他個(gè)人的至高榮譽(yù)和整個(gè)數(shù)學(xué)界的狂歡。然而，根據(jù)我們目前的了解，Atiyah爵士極有可能是在自?shī)首詷?lè)逗大家玩黎曼函數(shù)和黎曼猜想簡(jiǎn)介大家這幾天應(yīng)該被動(dòng)惡補(bǔ)了不少黎曼函數(shù)和黎曼猜想的介紹了，這里還是不厭其煩地再簡(jiǎn)單說(shuō)下。首先有無(wú)窮級(jí)數(shù) t (s):(Re(s) n- 1當(dāng)s取1時(shí)，它就是調(diào)和級(jí)數(shù) 1+1/2+1/3+1/4+.,算數(shù)意義上不收斂。 s=2時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于 兀2/6。等等。當(dāng)s的取值為復(fù)數(shù)s=x+iy時(shí)，它會(huì)把復(fù)平面上的點(diǎn) s(x,iy)映射到另一點(diǎn)s(x,

5、iy)。我們注意到這個(gè)級(jí)數(shù)要求s的實(shí)部大于1 (x1),否則這個(gè)級(jí)數(shù)不收斂，也就沒有我們熟悉的數(shù)值和結(jié)果。I在復(fù)平面上白圖像， Re(s)1,此時(shí)圖像全部分布在Re(p )=1/2線的右側(cè)。圖源3blue1brown黎曼函數(shù)是t (s)在整個(gè)復(fù)平面的解析延拓，將s的定義域擴(kuò)展到整個(gè)復(fù)平面。(值得說(shuō)明的是，解析延拓是一種非常強(qiáng)的約束。如果一個(gè)函數(shù)存在解析延拓，那么解析延拓的結(jié)果是唯一的。在這里I的解析延拓剛好展現(xiàn)出了仿佛對(duì)稱的樣式，而不是先做了一個(gè)對(duì)稱然后把它稱 為解析延拓)黎曼函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上的圖像。圖源 3blue1brown黎曼在提出黎曼函數(shù)時(shí)輕松地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)s取負(fù)偶數(shù)整數(shù)時(shí)，函數(shù)值為零，

6、那么 s=-2n (n為自然數(shù))就被稱為黎曼函數(shù)的平凡零點(diǎn)(平凡表示沒什么難度的、很容易理解的)。同時(shí)，在解析延拓后的方程中帶入s=-1 ,得到 1+2+3+4+.=-1/12 ;帶入 s=-3,得到1+23+33+43+.=1/120。這樣的結(jié)果并不是我們熟悉的1 + 1=2那樣的算數(shù)和，它只是揭示了等號(hào)左邊和右邊的式子有某種我們還不完全理解聯(lián)系。 另一些零點(diǎn)就沒那么普通了(非平凡零點(diǎn)) ，它們是復(fù)數(shù)，而且有耐人尋味的分布規(guī)律。黎 曼在1859年論小于給定數(shù)值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)論文中提出了三個(gè)命題： 命題一，認(rèn)為非平凡零點(diǎn)都位于Re(p )=0到Re(p )=1的條狀區(qū)間內(nèi)命題二，認(rèn)為幾乎所有非平凡

7、零點(diǎn)都位于Re(p )=1/2的直線上，這條線也被稱為臨界線命題三，黎曼謹(jǐn)慎地猜測(cè)有可能所有非平凡零點(diǎn)都位于Re(p )=1/2的直線上Re(p )=1/2經(jīng)黎曼函數(shù)變換后的曲線的一部分。它彎彎曲曲無(wú)數(shù)次穿過(guò)了函數(shù)值為0的點(diǎn)一通過(guò)圖像我們也可以直觀猜測(cè)黎曼函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)非平凡零點(diǎn)在Re（p ）=1/2的直線上。圖源 3blue1brown大家應(yīng)該還聽說(shuō)過(guò)黎曼函數(shù)揭示了素?cái)?shù)的精細(xì)分布規(guī)律，限于本文作者學(xué)識(shí)有限這里 TOC o 1-5 h z 暫不介紹，有興趣的同學(xué)歡迎自行百度盧昌海的黎曼猜想漫談。黎曼猜想證明的進(jìn)度黎曼的這篇論文發(fā)表于 1859年。當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家不怎么喜歡發(fā)論文，他們發(fā)表的成果只

8、是自己所有研究中的經(jīng)過(guò)深思熟慮、有充足的論據(jù)支撐的一小部分。黎曼在當(dāng)時(shí)也是領(lǐng)先于時(shí)代的數(shù)學(xué)家，以致于他的論文發(fā)表后， 當(dāng)時(shí)的許多數(shù)學(xué)家連他提出的命題一和二都認(rèn)為只 是黎曼的單方面幻想（黎曼在文中則是由非?？隙ǖ恼Z(yǔ)氣提出的）。由于黎曼猜想的難度之高，數(shù)學(xué)界做出進(jìn)展的速度極為遲緩，甚至有觀點(diǎn)認(rèn)為“如果黎 曼是錯(cuò)的，我們的日子反倒會(huì)好過(guò)一些”。論文發(fā)表46年后，數(shù)學(xué)界終于證明了命題一；73年后，另一位德國(guó)數(shù)學(xué)家Siegel整理黎曼僅存的手稿，讓黎曼當(dāng)時(shí)演算零點(diǎn)所用的公式重見天日（并命名為Riemann-Siegel公式），同時(shí)震驚了整個(gè)數(shù)學(xué)界，因?yàn)檫@一公式比73年后數(shù)學(xué)家們所用的公式還要先進(jìn)；數(shù)學(xué)界

9、也更加為黎曼的思想以及猜想的前瞻性所折服。借著這一公式，后來(lái)的數(shù)學(xué)家與計(jì)算機(jī)科學(xué)家們用計(jì)算的方法加以驗(yàn)證，已經(jīng)驗(yàn)證了超過(guò)前200億個(gè)非平凡零點(diǎn)都在臨界線上一一但數(shù)學(xué)畢竟不是經(jīng)驗(yàn)科學(xué)，這并不能證明第三個(gè)命題正確。第二個(gè)命題（幾乎都位于臨界線上）的證明則推進(jìn)到“至少有40%的非平凡零點(diǎn)在臨界線上”，就再也沒有新的進(jìn)展了。黎曼猜想，尤其是命題三，仍未得到證明。零點(diǎn)序號(hào)現(xiàn)代計(jì)算值保留到小數(shù)點(diǎn)后7位）,11/2 + 14.1347251 i11/2 + 21.0220396 131/2 + 25-0108575 i41/2 + 30,4248761 i511;2 十 32.9350615 i61/2 +

10、 37.5861781 i71/2 ,+ 40.9187190 i81/2 + 43.3270732 i91/2 -+ 48.0051508 i101/2 平 49.7738324 i:111/2 + 52.9703214 i121/2 4 56.4462476 i131/245934704401141/2 -+ 60.8317785 i151/2 + 65.1125440 i一窺前15個(gè)非平凡零點(diǎn)回過(guò)頭來(lái)想想黎曼給出三個(gè)命題時(shí)的態(tài)度，對(duì)命題一、二，是十分肯定的預(yù)期；而命題 三，他也只敢謹(jǐn)慎地猜測(cè)。160年過(guò)去了，數(shù)學(xué)家們幾乎都相信黎曼猜想是正確的，但還沒有人拿出嚴(yán)格的證明。對(duì)于黎曼猜想，數(shù)學(xué)

11、界有兩句調(diào)侃：“如果魔鬼與一位數(shù)學(xué)家做交易，允許他用靈魂交換一個(gè)命題的證明，那他大概率會(huì)選擇黎曼猜想的證明”，以及“如果500年后黎曼活過(guò)來(lái)了，他要問(wèn)的第一件事就是黎曼猜想證明了嗎？”足見黎曼猜想的崇高地位。實(shí)際上，數(shù)學(xué)界已經(jīng)有許多新的理論和公式是建立在假設(shè)黎曼猜想正確的基礎(chǔ)上的，黎曼猜想一旦證明也是對(duì)他們的莫大的鼓舞。當(dāng)今的數(shù)學(xué)家們直覺上就不相信Atiyah爵士經(jīng)過(guò)剛才的背景介紹，大家想必對(duì)黎曼猜想證明的難度已經(jīng)有所感受。簡(jiǎn)單明了的證 明方法如果存在，之前一百多年中的數(shù)學(xué)家，包括極具遠(yuǎn)見的黎曼本人都有極大的可能直接 發(fā)現(xiàn)它。以近幾十年來(lái)證明的重要數(shù)學(xué)猜想而言，Perelman證明Poinca

12、re猜想，三篇論文用了將近70頁(yè)，而張益唐在給出攣生質(zhì)數(shù)猜想的估計(jì)時(shí)也寫了將近60頁(yè)。而Atiyah爵士展現(xiàn)出來(lái)的是：一篇長(zhǎng)度為5頁(yè)的論文預(yù)印本，其中引用的介紹 Todd函數(shù)的論文也只有17頁(yè)。以及，介紹自己證明過(guò)程的演講中，關(guān)于證明過(guò)程本身的 PPT只有一頁(yè)。HOW DOSE T(s) HELP TO PROVE RH?Proof by contradiction: assume b acuticjhhipzero of g. in the critical 貳rip but not on the critical Jine- & deriveVJ _contradiction. Defin

13、e:F) =+協(xié))-1 F(b) - Dtnlical lineAnalyticity of F($) at 0 them implies F(s) identically zeroThis implies &is identically zero, the required comradicTianAtiyah爵士演講中用到的一頁(yè) PPT只憑證明長(zhǎng)度，Atiyah爵士就收獲了大多數(shù)數(shù)學(xué)家的質(zhì)疑。另一點(diǎn)也引起了直覺上的質(zhì)疑的是，出生于 1929年的Atiyah爵士如今已經(jīng)89歲高齡。 縱觀整個(gè)數(shù)學(xué)史，尚無(wú)一位數(shù)學(xué)家在如此高齡做出這種級(jí)別的成果。Atiyah爵士雖然證明了 Atiyah-Sing

14、er指標(biāo)定理（被譽(yù)為上個(gè)世紀(jì)微分幾何中最重要的定 理）并獲得了菲爾茲獎(jiǎng)與阿貝爾獎(jiǎng)，但一方面他是研究幾何/解析幾何的，黎曼猜想則屬于復(fù)分析與數(shù)論，處于不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。另一方面，據(jù)數(shù)學(xué)博士、前浙大物理學(xué)博士后回憶，“老頭在幾年前嚷嚷著自己證明了6維球面上沒有復(fù)結(jié)構(gòu)最后卻不了了之”，他認(rèn)為這次宣告的大新聞可能仍然是鬧笑話。宣告大新聞在如今的數(shù)學(xué)界也不是稀罕事，前幾日尼日利亞一位數(shù)學(xué)教授也宣布證明 了黎曼猜想，浙江大學(xué)一位 YinYueSha發(fā)布了一份一頁(yè)長(zhǎng)度的黎曼猜想證明，而日本數(shù)學(xué)教 授望月新一宣告證明 ABC猜想直到現(xiàn)在也尚未令人信服。這不是一份嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明除了直覺上對(duì)“ Atiyah爵士證明了黎

15、曼猜想”的質(zhì)疑，針對(duì)證明過(guò)程本身合理性的質(zhì) 疑也已經(jīng)出現(xiàn)一一這才是真正致命的。閱讀5頁(yè)的預(yù)印本以及17頁(yè)的介紹Todd函數(shù)的引用論文后，他表示：事實(shí)上，老頭證明的關(guān)鍵就是在于使用了一個(gè)他稱之為弱解析函數(shù)的Todd函數(shù)。我們follow 了他參考文獻(xiàn)中的第二篇論文：THE FINE STRUCTURE CONSTANT粗讀完論文之后，我感覺： 這 哪兒是論文啊，這就是一部數(shù)學(xué)史啊！在整個(gè)17頁(yè)的論文中，涉及到Todd映射的核心內(nèi)容在 3.4。從Todd映射的構(gòu)造來(lái)看， 這是一個(gè)從復(fù)數(shù)到復(fù)數(shù)的映射，并且是個(gè)高度的非線性映射。他給出了一個(gè)希爾伯特空間上的Clifford代數(shù)的無(wú)限張量積的弱閉包，這個(gè)

16、弱閉包取自兩個(gè)希爾伯特空間的張量積。這個(gè)希爾伯特空間上的 Clifford代數(shù)的跡誘導(dǎo)出了閉包上的跡， 這個(gè)閉包的中心通過(guò)兩個(gè)同構(gòu)映射的復(fù)合能和復(fù)數(shù)域同構(gòu)，這樣就完成了 Todd映射的構(gòu)造。后面又介紹了 Todd多項(xiàng)式的構(gòu)造。但是怎么利用Todd映射和Todd多項(xiàng)式呢？反正我是沒找到。看到前面這一堆術(shù)語(yǔ)，估計(jì)已經(jīng)有人想打我了，我就打個(gè)比方吧。 說(shuō)：理論上青銅能做工藝品，你給我做個(gè)后母戊方鼎。工具？略怎么做？略 老頭大概就是玩了這么個(gè)把戲。他把為什么Todd映射能夠用于黎曼猜想的證明給。略了，我只能表示哭笑不得。數(shù)學(xué)是一門及其注重嚴(yán)謹(jǐn)性的學(xué)科，推理過(guò)程的每一步都要給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，尤其不能越重要的

17、地方越略過(guò)。在賊叉看來(lái)，這個(gè)證明九成九是不行的另一位科學(xué)松鼠會(huì)的 科普君XueShu （新浪微博）也給出了自己的意見。根據(jù)他的解 讀，Atiyah爵士假定他提出的這個(gè)弱解析函數(shù)Todd函數(shù)的某種極限等同于物理學(xué)中精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)”的倒數(shù)，相當(dāng)于嘗試用這一描述光速、單個(gè)電子攜帶電荷數(shù)量、普朗克常數(shù)之間 關(guān)系的物理學(xué)常數(shù)的取值解釋復(fù)解析函數(shù)的非平凡零點(diǎn)的存在規(guī)律。雖然精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)“確實(shí)有奇妙的性質(zhì)，比如它的取值不依賴基本單位大小的選取，而且目前也沒有找到對(duì)它的取值1/137.03599913的好的理論解釋，另一方面之前也在其他問(wèn)題中存在物理學(xué)方法和純數(shù)學(xué)方法存在聯(lián)系的例子，但這種跨領(lǐng)域的強(qiáng)加聯(lián)系，未免

18、帶來(lái)一種“用量子糾纏得出小孩感冒了可以針灸扎他媽媽”的民科感。還補(bǔ)充道：“（精細(xì)物理常數(shù)）上個(gè)世紀(jì)剛發(fā)現(xiàn)的時(shí)候，很多物理學(xué)家都想從數(shù)學(xué)角度給出一個(gè)解 釋和推導(dǎo)，但后來(lái)種種證據(jù)表明這個(gè)想法完全不靠譜，早已經(jīng)被扔進(jìn)了歷史的垃圾堆，雖然目前依然是民科們放飛自我的重災(zāi)區(qū)。沒想到這次又被 Atiyah給翻出來(lái)了，還作為一個(gè)著名數(shù)學(xué)猜想證明的重要基礎(chǔ)。其實(shí)這也倒不奇怪，因?yàn)?Atiyah本人是晚年才開始正式學(xué)習(xí)物理的，他的物理直覺是臭名 昭著得差。他經(jīng)常突發(fā)奇想自以為發(fā)現(xiàn)了解決某個(gè)物理學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵，從物理學(xué)家的角度看，跟網(wǎng)上常見的民科言論基本沒什么差別。但凡有點(diǎn)物理學(xué)素養(yǎng)的人都能看出其中的荒謬。不過(guò)作為他的學(xué)生的著名理論物理學(xué)家兼數(shù)學(xué)家愛德華威騰倒是每次都細(xì)心地列出一堆理由 告訴他為什么這些想法行不通。每條理由都直擊要害，奈何 Atiyah至今仍執(zhí)迷不悟?！薄皵?shù)學(xué)大帝”丘成桐今天也在“數(shù)理人文”公眾號(hào)發(fā)表原創(chuàng)文章表示：“我問(wèn)過(guò)一批專家，大家都說(shuō)這篇文章沒有提供一般數(shù)學(xué)家要求的嚴(yán)格性的定理證明阿蒂亞教授的論點(diǎn) 極為牽強(qiáng)，看不到它的物理或數(shù)學(xué)上