1、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)技術(shù)應(yīng)用介紹以及領(lǐng)域應(yīng)用提 綱 數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模過程 科學(xué)計算與數(shù)學(xué)模型求解 科學(xué)計算與數(shù)學(xué)軟件系統(tǒng)的使用 數(shù)學(xué)技術(shù)的應(yīng)用差分方法建模 掌握數(shù)學(xué)技術(shù)迎接時代發(fā)展的挑戰(zhàn) 我們團隊的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究之路Mathematical Model & Mathematical Modeling模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物,它集中反映了原型中人們需要的那一部分特征。數(shù)學(xué)模型是對客觀事物的部分、方面或特性，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化、假設(shè)，運用數(shù)學(xué)符號、語言等數(shù)學(xué)工具描述的作為原型替代物的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模是建立數(shù)學(xué)模型的全過程，包括對客觀事

2、物進行分析、簡化、假設(shè)、運用適合數(shù)學(xué)工具表述、求解、解釋、檢驗等。數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)技術(shù)解決是問題的關(guān)鍵步驟和核心內(nèi)容?，F(xiàn)實問題的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實問題的解答數(shù)學(xué)模型的解答求解解釋驗證實踐現(xiàn)實世界數(shù)學(xué)世界理論實踐求解方法演繹法數(shù)值法數(shù)值解解析解 ？表述數(shù)學(xué)建?，F(xiàn)實世界與數(shù)學(xué)世界聯(lián)系的橋梁數(shù)學(xué)建模的一般步驟與意義分析問題提出假設(shè)應(yīng)用與推廣求解模型解的分析檢驗和驗證建立模型 作為用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的第一步，數(shù)學(xué)建模自然有著與數(shù)學(xué)同樣悠久的歷史。進入20世紀以來，隨著數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域的滲透，以及計算機的出現(xiàn)與飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)建模越來越受到人們的重視，數(shù)學(xué)建模在解決現(xiàn)實世界的實際問題中

3、有著重要意義。在傳統(tǒng)工程技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地 在高新技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具 美國科學(xué)院一位院士總結(jié)了將數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力過程中的成功和失敗，得出了“數(shù)學(xué)是一種關(guān)鍵的、普遍的、可以應(yīng)用的技術(shù)”的結(jié)論，認為數(shù)學(xué)“由研究到工業(yè)領(lǐng)域的技術(shù)轉(zhuǎn)化，對加強經(jīng)濟競爭力是有重要意義”，而“計算和建模重新成為中心課題，它們是數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑”。數(shù)學(xué)建模技術(shù)是數(shù)學(xué)建模的相關(guān)知識、方法和技巧。科學(xué)計算和數(shù)學(xué)建模技術(shù)是數(shù)學(xué)技術(shù)的核心內(nèi)容，數(shù)學(xué)技術(shù)的應(yīng)用依賴于計算機技術(shù)的發(fā)展?？茖W(xué)計算與數(shù)學(xué)模型求解算法：是指將所欲求解的數(shù)學(xué)模型（數(shù)學(xué)問題）簡化成一系列算術(shù)運算和邏輯運算，以便在計算機

4、上求出問題的數(shù)值解，并對算法的收斂性、穩(wěn)定性及其誤差進行分析、計算。(1) 科學(xué)計算與數(shù)學(xué)建模求解關(guān)系求解方法演繹法數(shù)值法數(shù)值解解析解(2) 模型的數(shù)值求解與誤差（3）誤差的種類及其來源誤差的種類模型誤差觀測誤差截斷誤差舍入誤差誤差分析例1 1 2 3 4序 號 算 式計 算 結(jié) 果 1按不同算式和近似值計算出的結(jié)果各不相同初始誤差和算法的選定對計算結(jié)果的精確度影響很大大小相近的同號數(shù)相減數(shù)值計算中應(yīng)避免除數(shù)接近于零乘數(shù)的絕對值很大數(shù)值算法的構(gòu)造、算法的收斂性和穩(wěn)定性量級級差很大的數(shù)直接相加減科學(xué)計算與數(shù)學(xué)軟件系統(tǒng)的使用常用算法1) 蒙特卡羅算法: 該算法又稱隨機性模擬算法，是通過計算機仿真來

5、解決問題的算法，同時可以通過模擬可以來檢驗自己模型的正確性，是一種常用的方法. 2) 數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計、插值等數(shù)據(jù)處理算法: 在實際問題中通常會遇到大量的數(shù)據(jù)需要處理，而處理數(shù)據(jù)的關(guān)鍵就在于這些算法，通常使用Matlab作為工具. 3) 線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃等規(guī)劃類問題: 大多數(shù)問題屬于最優(yōu)化問題，很多時候這些問題可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃算法來描述，通常使用Lindo、Lingo軟件實現(xiàn). 4) 圖論算法: 這類算法可以分為很多種，包括最短路、網(wǎng)絡(luò)流、二分圖等算法，涉及到圖論的問題可以用這些方法解決. 5) 動態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計算機算法: 這些算法是算法設(shè)計中比

6、較常用的方法，很多場合都會用到. 6) 最優(yōu)化理論的三大非經(jīng)典算法：模擬退火法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法（是用來解決一些較困難的最優(yōu)化問題的算法，對于有些問題非常有幫助，但是算法的實現(xiàn)比較困難. 7) 網(wǎng)格算法和窮舉法: 網(wǎng)格算法和窮舉法都是暴力搜索最優(yōu)點的算法，在很多實際問題中有應(yīng)用，當重點討論模型本身而輕視算法的時候，可以使用這種暴力方案，最好使用一些高級語言作為編程工具. 8) 一些連續(xù)離散化方法: 很多實際問題的數(shù)據(jù)可能是連續(xù)的，而計算機只認的是離散的數(shù)據(jù)，因此將其離散化后進行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要的. 9) 數(shù)值分析算法: 數(shù)值分析中常用的算法比如方程組求解、矩陣運算、

7、函數(shù)積分等算法.10) 圖象處理算法: 一些問題與圖形有關(guān)，即使與圖形無關(guān)，圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問題，通常使用Matlab進行處理. 常用軟件Maple V 系統(tǒng) MATLAB 系統(tǒng) MathCAD 系統(tǒng) Mathematica 系統(tǒng) LINDO和LINGO SAS系統(tǒng)SPSS系統(tǒng)數(shù)學(xué)技術(shù)的應(yīng)用差分方法建模一、抵押貸款買房問題相關(guān)背景名流花園 用薪金,買高品質(zhì)住房 對于大多數(shù)工薪階層的人士來說,想買房,簡直是天方夜譚.現(xiàn)在有這樣一棟:自備款只需七萬人民幣,其余由銀行貸款，分五年還清.相當于每月只需付1200人民幣。那么,這對于您還有什么問題呢? 誰都希望有一套屬于自己的住房，

8、但又沒有足夠的資金一次買下，這就產(chǎn)生了貸款買房的問題。下面是1991年1月1日某大城市晚報上登的一則廣告.任何人看了這則廣告都會產(chǎn)生許多疑問，且不談廣告上沒有談住房面積、設(shè)施等，人們關(guān)心的是：如果一次付款買這套房要多少錢呢？銀行貸款的利息是多少呢？為什么每個月要付1200元呢？是怎么算出來的？分析與建模需要借多少錢，用 記;月利率用記R（貸款通常按復(fù)利計）;每月還多少錢用x記 ；借期記為N個月。而一開始的借款為 ，所以該問題可用數(shù)學(xué)表達式表示如下 （） 因為我們都知道，若知道了一次付款買房的價格，如果自己只能支付一部分款，那就要把其余的款項通過借貸方式來解決，只要知道利息，就可以算出5年還清，

9、每月要付多少錢才能按時還清貸款，從而也就可以對是否要去買該廣告中所說的房子做出決策了。若用 記第k個月時尚欠的款數(shù)，則一個月后（加上利息）欠款 ，不過又還了x元所以總的款數(shù)為由 遞推得 故這就是 ， ，x ， R 之間的顯式關(guān)系，是迭代關(guān)系（1.1）的解。 針對廣告中的情形，N=5年=60個月，每月還款x=1200元，已知 。但 即一次性付款購買價減去70000元后剩下的要另外去借的款，并沒有告訴你.此外銀行貸款利率R也沒有告訴你，這造成決策的困難. 然而，由（1.2）可知60個月后還清，即 =0，從而得 （1.3） 例如，若，則由（）式子可算得=52946元。如果該房地產(chǎn)公司說一次性付款的房

10、價小于70000+53946=123946元的話，你就應(yīng)自己去銀行貸款。 事實上，利用Maple等數(shù)學(xué)軟件可把（）式的圖形畫出來，從而可進行估算決策。 （1.3）式表示N=60，x=1200給定時 和R之間的關(guān)系式，如果我們已經(jīng)知道銀行的貸款利息R，就可以算出 。 例1 某校一對年輕夫婦為買房要用銀行貸款60000元，月利率，貸款期25年=300月，這對年輕夫婦希望知道每月還多少錢，25年后就可以還清，假設(shè)這對夫婦每月可有節(jié)余700元，是否可以去買房呢？解：現(xiàn)在的問題就是要求使得 =0的x，由（1.2）式知現(xiàn)在 =60000，R=0.01，k=300，利用Maple等數(shù)學(xué)軟件，容易算得x=63

11、2元0（訂購Q雙鞋），那么購買費用為k+cQ元，為了得到每周期的貯存費用，注意到一個周期內(nèi)的平均存儲水平為（Q+0）/2=Q/2雙。因此相應(yīng)的貯存費用為每單位時間hQ/2元，因為周期長度為Q/a月，所以每個周期的貯存費用為 元。于是，每個周期的總費用為 元，而每雙寫的總費用為: 對于這種特定的鞋，零售商應(yīng)該隔多長時間向批發(fā)商去訂一次貨，每次訂貨多少才能使他在單位時間內(nèi)的花費最少？不妨設(shè)1個月（30天）作為時間單位；零售商從批發(fā)商處一次訂購Q件，設(shè)以單位時間a雙的速率銷售這些商品。因為缺貨是不容許的，所以連續(xù)兩次訂貨的時間間隔為Q/a時間單位，即訂購周期為Q/a，以月計。3. 模型的建立與求解

12、由于 解得使得T最小的Q為 ， 為了達到所希望的目的，連續(xù)兩次訂購的時間間隔為 因此，為了達到在單位時間內(nèi)的花費最小，對于所考慮的特定類型的鞋，零售商店每隔 月向批發(fā)商訂購 雙，其中k為每次訂購的組織費，h為每月每件商品的貯存費用，而a是零售商售出商品的不變速率。 用一個特定的數(shù)值例子來說明前述內(nèi)容，假定所考慮的特定類型的鞋是一種全年都銷售的女鞋，并且預(yù)期將繼續(xù)流行足夠長的時間以保證如下分析中的考慮之合理性。零售商估計每次定貨的組織費為20元；每雙鞋的購買費元和元的運費。零售商將這種鞋的貯存費估計為每雙每月元，零售商以每月平均90雙的速率銷售這種鞋。4. 模型的應(yīng)用（一個數(shù)值例子） 利用前面的

13、記號，有k=20元，元，元，而a=90雙/月。所以使得每月總費用最小的這種鞋的訂購量為這樣便有兩個問題：首先，訂購雙鞋是荒唐的；其次，批發(fā)商向零售商出售鞋，按慣例總是以箱為單位，且每箱裝有的雙數(shù)按箱的規(guī)格不同而不同。為確定起見，假定從批發(fā)商處訂購的特定類型的鞋是18雙一箱的。 為了解決上面提到的問題，我們首先檢查函數(shù) 的特性：在可行 集 上，當 時， 是減少的，而當 時， 是增加的，此處 =65.47，因為54和72是18的倍數(shù)中最接近于65.47的兩個數(shù)，一個小于它，一個大于它，容易算出： 元/月，而 元/月，于是零售商應(yīng)該訂購 雙這樣的鞋，且應(yīng)每隔 月，即24天訂購72雙鞋（即四箱）這樣的

14、鞋。 庫存論是運籌學(xué)的重要組成部分，有許多存儲模型我們這里沒有提到。例如。在各種各樣的貿(mào)易中，銷售者將視購買商品的量而給予減價優(yōu)惠也是常見的。此外，這里考慮的兩種模型都是確定性的也就是一個周期內(nèi)的需求量是已知的。如果一個周期內(nèi)的需求量是一個已知的隨機變量，則合適的 模型將是隨機的。關(guān)于此處未予考慮的模型可以從運籌學(xué)的書中找到。這里，我們 將仿照上例解決下面的問題。 （ 1） 美國一個葡萄酒批發(fā)商從法國進口一種特定的葡萄酒。根據(jù)以往的經(jīng)驗，批發(fā)商知道她必須容許脫銷。在國外生產(chǎn)這種葡萄酒的葡萄欠收的年份里就很難有法國葡萄酒運到她在美國的倉庫里，還有其他原因可能導(dǎo)致倉庫中這種葡萄酒的短缺。 批發(fā)商從

15、葡萄園購買的葡萄酒只有12瓶一箱裝的?？墒撬龖{經(jīng)驗知道以瓶為單位賣給零售商生意才興隆，因為零售商希望買到各種不同葡萄酒的混裝箱。于是批發(fā)商的一件物品意味著一瓶葡萄酒，而單位時間是指一個月（30天）。假定3項費用k、c和h與前述的一樣；此外，短缺被認為 是容許的；零售商對她所不能滿足的每瓶葡萄酒的需要視為損失每單位時間p元；Q和a具有前述相同的意義。5. 模型的推廣（評注）設(shè)S為所考慮的葡萄酒在一個周期內(nèi)開始時倉庫里的庫存量。現(xiàn)在的目的是決定S和Q應(yīng)該取什么値才能使批發(fā)商在單位時間的費用最小。提示：(a)計算每個周期的購買費用是多少？(b)每個周期的貯存費用是多少（注意在長為Sa 的一段時間內(nèi)存

16、儲量是 正的，且這段時間內(nèi)的平均存儲量是（S+0）2S2瓶）？(c)每個周期的短缺損失費是多少（注意長為（QS）a的一段時間內(nèi)短缺，且在這個時間段的平均損失為0+（QS）2）（QS）2瓶） ？(d)將（a）（c）中的結(jié)果相加得到每個周期的總消費是。 (e )利用（d）的結(jié)果寫出單位時間內(nèi)的總消費（注意：Qa 是一個單位時間）。(f) 觀察兩個變量S和Q的函數(shù)T，確定T的（局部）最小值。作為第一步，計算 (g) 令（f）中計算出的為零，第S和Q解這個聯(lián)立方程組。將得到的解分別記作和。(h) 用檢驗二元函數(shù)極限的方法，證明和 是真正的最優(yōu)。(i) 計算最有周期（作為k、a、k和P的函數(shù)）(j) 畫

17、出存儲量對時間的曲線（注意存儲量變化范圍從0到S；因為短缺是容許的,訂購的數(shù)量Q可以超過S，雜一個周期中存儲量為正的時間長度是Sa）。(2) 采用下列值：k40元，c元，h元，p元，而a 426瓶月。不要忘記批發(fā)商從法國買這種葡萄酒時是18瓶一箱裝的，而她賣給零售商則是一瓶一瓶地賣。重讀1）在數(shù)學(xué)軟件平臺上進行數(shù)值計算。 問題的背景與分析自然資源可以分為兩大類，一類叫做消耗性資源，比如煤、鐵、石油等礦產(chǎn)，隨著人類的開采，它不斷被消耗，貯存量越來越少，一直到被消耗完為止；另一部分叫做可再生資源，比如森林、漁場和各種野生動物等資源，在人們利用其中一部分以后，能夠通過資源群的自我更新而得到恢復(fù)，從而

18、達到多次利用的目的。例如一片森林，在砍伐其中一部分以后，它就能夠經(jīng)過自我更新再長起來，當然恢復(fù)的時間隨樹種和林型的不同而不同。 三、森林問題的深入探討 以往由于人們對可再生資源缺乏科學(xué)的認識，錯誤地以為資源是取之不盡、用之不竭的，因而對資源利用過度，即利用的量超過了資源的更新和恢復(fù)的能力。從而使資源蘊藏量越來越少，嚴重的毀滅了資源。當然，如果歸于可再生資源不加利用或者不充分利用，任其自生自滅，這也是不符合人類利益的，事實上，這也是一種資源的浪費。比如，青海湖中的湟魚的利用就是一個例子。 解放前當?shù)夭孛袷茏诮逃绊?，把湟魚當作“神”來供奉，使得這種魚類資源未能很好的開發(fā)利用。 因此，在人類利用可再

19、生資源中，利用過度固然是一種損失和危險，相反，不利用或者未充分利用也是一種損失，亦未對生物資源不利用或者不充分利用，并不一定能使資源增加。那么到底應(yīng)該怎樣利用才算合理、科學(xué)呢？從人類的利益角度來講，應(yīng)該是既要使生物資源能源源不斷地被利用，維持在一定持續(xù)產(chǎn)量水平上，有要使這種持續(xù)產(chǎn)量保持最大。如果結(jié)合經(jīng)濟成本和收獲量來考慮，也就是要確定最佳持續(xù)產(chǎn)量，即在維持收獲的前提下，獲得最大的經(jīng)濟效益。 現(xiàn)在，來考慮一種可再生資源森林。顯然，森林中的數(shù)樹木每年都要有一批被砍伐出售，為了使這片森利不被耗盡而且每年都有所收獲，我們要求：每當砍伐掉一棵樹木，就在原地補種上一棵幼苗，從而使得森林中樹木的總數(shù)保持不變

20、，我們希望能找到一種方案，使得在維持每年都有收獲的前提下，去砍伐樹木，使得被砍伐的樹木獲得最大的經(jīng)濟效益。 模型的建立及求解 假設(shè)（1）被出售的樹木，其價值取決于樹木的高度，因此，將樹木按高度來分級hi-1,hi)不同高度級的樹木對應(yīng)著不同的經(jīng)濟價值，下表給出個確定的高度區(qū)域價格之間的對應(yīng)關(guān)系：樹木價格與高度區(qū)間級別價格（元）高度區(qū)域1幼苗 0 2 3N表示收獲群體（或稱采伐向量）。其中第一級是幼苗，它的高度區(qū)間是一般認為用幼苗作木材，沒有任何經(jīng)濟價值，用表示第i機的樹木數(shù)，pi表示第i級樹木的價值，用yi表示收獲地i級的樹木數(shù)，因此表示森林群體（或稱未采伐向量），（2）對森林進行收獲時，要求

21、是砍一棵，種一棵，因此森林中的樹木的總數(shù)為一固定值，記為s，即可以由占有土地的總面積和每棵樹所需要的空間的大小而預(yù)定給定。（3）兩次收獲之間是森林的生長期，假設(shè)在一個生長期內(nèi)，數(shù)目至多只能生長一個高度級，即第i級中的樹木可能進入第i+1級，也可能因某種原因而仍然停留在第i級，并且假設(shè)同級的樹木的生長速度相同，因此記qi為1年內(nèi)第i級樹木進入第i+1級的比例 ，稱qi為生長參數(shù)。顯然，1-qi為第一年內(nèi)第i級的樹仍停留在第i級的比例。（4）除砍伐外，樹木不會死掉，即認為每一棵幼苗都可以生長到被收獲。2. 建模過程 即 首先根據(jù)假設(shè)（3）可得出樹木的生長情況。記 為k+1年第i級中的樹木數(shù)，則有記

22、， 則上述關(guān)系就可以寫成，其中 稱為生長矩陣。其次，我們來考慮一下收獲情形，根據(jù)假設(shè)（2），砍伐的總數(shù)和補種的幼苗數(shù)相等。設(shè)是收獲群體，則在每次砍伐時，移去樹木的總數(shù)是這也是每次砍伐后加到第一級（栽下新的樹苗）的樹的總數(shù)。記n*n階矩陣R為則 是每次收獲后新種幼苗的分布狀況，稱R為替換矩陣。根據(jù)維持收獲的原則，則有（生長期開始的狀態(tài)）=（生長期末的狀態(tài)）（收獲）+（新種樹苗）因此有收獲模型其中I為n階單位矩陣。 3. 模型分析與求解根據(jù)收獲模型 如果要保證對森林進行持續(xù)收獲的話，就相當于要求y是常向量，即定常收獲。這實際上就相當于要求森林中每生長期的樹木分布狀況都相同，換言之，即存在x，使得

23、x(k+1)=x(k)。 這時，y才能實現(xiàn)持續(xù)收獲，x稱為收獲模型的平衡解。如果存在平衡解x，則有 即 （4.1）把方程（）稱為能持續(xù)收獲條件。而仍以滿足這個矩陣方程，具有非負元素的向量x，y，決定森林的一個持續(xù)收獲方案。應(yīng)該指出，這里將假設(shè)y1=0，表明收獲了沒有經(jīng)濟價值的樹苗，沒有實際意義。于是方程組（）就可以化為 （4.2）這個方程組的第一個方程是后面n-1個方程之和。 由于必須有 所以方程組（2）中要求（4.3）反之，如果x滿足條件（4.3），則由方程組（4.2）定義了一列向量y，且x，y滿足持續(xù)收 獲條件（4.1）。因此，一個非負向量 x為收獲模型平衡解的充要條件是它的元素滿足條件（

24、4.3）。4. 最優(yōu)持續(xù)產(chǎn)值 我們的問題就是在持續(xù)收獲的前提下，使得收獲的經(jīng)濟價值最大。設(shè)收獲的總價值為Q，根據(jù)假設(shè)1），則有 （）將（）式中的yi代入，得 （4.5）這是一個線性規(guī)劃問題，利用線性規(guī)劃可以解得：只要從某一種高度集中收獲全部樹 木，而不用收獲其他高度級中的樹木，就可以得到最大持續(xù)收獲。 我們現(xiàn)在不用線性規(guī)劃的理論來證明這一結(jié)論。設(shè)Qk是采伐時所有的樹木都屬于第k級而不采伐其他級的樹所得的產(chǎn)量。因此有（4.6）另外，既然第k級中所有的樹木都已砍去，沒有樹剩下，也就沒有樹存在于高于第k級的高度級中，因此將（）和（）式代入持續(xù)收獲條件（）中，得（） 由此方程組可得（）即（4.10）將

25、（）和（）式代入x1+x2+xn=s，得于是得解得 （4.11） （4.12）因此，只要生長參數(shù)是已知的，就可以求出的值，k=2,3, ,n，再比較k取不同值時 的值，從中確定維持收獲的最大經(jīng)濟收入。 實際應(yīng)用 現(xiàn)在，我們已知某處森林具有6年的生長期，通過實地測量，得到其生長矩陣為： 假設(shè)5個高度級的樹木價格分別為為了得到最優(yōu)持續(xù)產(chǎn)量，問哪一級的樹應(yīng)該全部采伐掉？其產(chǎn)量是多少？ 解 在這里，我們假設(shè)森林中的樹木總數(shù)為s，從生長矩陣G可知通過上述模型分析并利用數(shù)學(xué)軟件計算求解，可得到：只收獲第二高度級： 只收獲第三高度級 只收獲第四高度級 只收獲第五高度級 只收獲第六高度級 比較五個值，可知 最

26、大。因此，砍伐第三高度級的全部樹木可使收益最大，最有持續(xù)產(chǎn)量是14.7s元。 由上述模型分析知，持續(xù)收獲x從理論上確實是存在的，但由于實際問題將導(dǎo)致按持續(xù)收獲進行砍伐樹木時困難較大，甚至可能成本較高，這當然是不“合算”的。另外，在森林中，要真正區(qū)分樹木的等級也比較困難。假設(shè)中，我們認為樹木是逐級按比例進入上一級高度的，其實現(xiàn)實中的樹木生長 存在著競爭問題，增長率會隨時間而發(fā)生變化，并不是恒定的。另外在計算最大收益 值時也沒有考慮利率、稅收、成本等問題。下面的問題值得大家進一步思考：設(shè) 表示年齡為t的樹木的價值，對于年齡很長的樹種（100200年），考慮樹木的價值時必須同時考慮到現(xiàn)金的時間貼現(xiàn)，

27、稱r為貼現(xiàn)率，即時間t的單位現(xiàn)金只相當于 當前的 1）若已知樹木價值，試討論單株樹木最優(yōu)砍伐的時間 2）如果已知 試給出最優(yōu)砍伐時間的計算公式。 3）道格拉斯（Dauglas）冷杉的樹木價值如下：年齡i2030405060708090100110120價值004314330349765080591310001075如果貼現(xiàn)率，計算道格拉斯冷杉的最優(yōu)砍伐時間。四、人口按年齡結(jié)構(gòu)的總體增長問題本節(jié)介紹人口學(xué)家最常用的萊斯利（Leslie）人口增長模型，了解萊斯利矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用，了解人口按年齡結(jié)扣總體增長問題，并學(xué)會討論極限狀態(tài)。人口的增長是當前世界上引起普遍關(guān)注的問題，我們經(jīng)常在報刊上看見關(guān)于

28、人口增長的預(yù)測。 你可能注意不到不同的報刊對同一地區(qū)同一時間人口的預(yù)測數(shù)字常有較大的差別，這是因為用了不同的人口模型進行預(yù)測的結(jié)果，且影響人口的因素很多。 對于人口問題已有從不同的角度來進行研究而得到的模型和方法，這些方法請讀者參閱其他相關(guān)的書籍。 本節(jié)介紹的是人口學(xué)家最常用的萊斯利人口增長模型。 萊斯利模型年齡組年齡區(qū)間10,N/n2(N/n,2N/n)3(2N/n,3N/n)n-1(n-2)N/n,(n-1)N/n)N(n-1)N/n,N)假定在總體中任意一個女性的最大年齡是N歲，這里的總體僅指女性人口總體，并將其當做按不同年齡分組的個體的集合。 將總體分成n個期限相等的年齡組，于是每組的

29、期限為N/n年，按下表來記下各個年齡組：假設(shè)已知在時刻t=0時每一個組中的女性人數(shù)，令在第i組中有 個女性，則記為 這個向量稱為初始年齡分布向量?，F(xiàn)在來考慮這n個組中每組的女性人數(shù)隨時間的推移而變化的情況。設(shè)任意兩個連續(xù)的觀察時間間隔和年齡區(qū)間的期限相等，即令這樣，在時刻 時于第（i+1）組中的所有女性在時刻是均在第i組中。在兩次連續(xù)的觀察時間之間的出生和死亡過程，用下述人口學(xué)參數(shù)來描述： 表示每一個女性在第i年齡組期間生育兒女的平均數(shù)。 表示第i年齡組的女性可望活到第（i+1）年齡組的分數(shù)。 顯然 不允許任何bi等于0，否則就沒有一個沒有女性會活到超過第i年齡組。 同樣，至少有一個 是正的，

30、這樣就保證有n個女兒出生了。與正的 對應(yīng)的年齡組稱為生育年齡組。 記 是在時刻個 年齡組中的女性數(shù)目，則稱為在時刻 時年齡分布向量。在時刻 ，第一個年齡組中的女性數(shù)恰好就是在 和 之間出生的女孩數(shù)，即 （） （） 將（）式和（）用矩陣表示即得（） 簡記為（） 其中稱為萊斯利矩陣。由（）式可得 （）因此，如果已知初始年齡分布 及萊斯利矩陣L，就能求出在以后任何時間的女性年齡分布。 極限狀態(tài)（）式給出了在任意時間的年齡分布，但是它并不能直接反映增長過程動態(tài)的情況。 為此我們需要考慮萊斯利矩陣L的特征值和特征向量，L的特征根是它的特征多項式的根，這個特征多項式為為了求這個多項式的根，引入函數(shù) （）

31、利用這個函數(shù)，特征多項式 可寫為 （） 由于所有的 和 為非負的，可以看作 對于大于零是單調(diào)減少的。 另外， 在 處有一條垂直漸近線，而當趨于無窮大時則趨于零。因此 ，存在唯一的一個 ，使得 。即矩陣L有一個唯一的正特征值， 是單根，對于 的一個特征向量是滿足： 的非零向量。 解得 （） 由于 是單根，它相應(yīng)的特征空間是一維的，因而任意它所對應(yīng)的特征向量 是某個倍數(shù)，則有定理定理1 一個萊斯利矩陣L有一個唯一的正特征值 ，并且有一個所有元素均為正的特征向量。 總體年齡分布的長期行為是由正的特征值 及它的特征向量 來決定的。實際應(yīng)用中，由數(shù)學(xué)軟件很容易求出矩陣的特征值與特征向量。 定理2 如果

32、為萊斯利矩陣L的唯一的正特征值， 是L的特征值，它可以是任意實數(shù)或復(fù)數(shù)，則 。 稱為L的主特征值。如果對L的所有其他特征值有 ，那么 稱為L的嚴格主特征值。并不是所有的萊斯利矩陣都滿足這個條件，例如 請讀者利用數(shù)學(xué)軟件驗證L的唯一正特征值不是嚴格主特征值，并且有 （單位矩陣）。 于是對于任意選擇初始年齡分布 ，都有 因此年齡分布向量以三個時間單位為周期而擺動，如果 是嚴格主特征值，這種擺動（也稱人口波）就可能不會發(fā)生。 下面價格敘述關(guān)于 是嚴格主特征值的必要和充分條件。 定理3 如果萊斯利矩陣的第一行有兩個連續(xù)的元素 和 不等于零，則L的正特征值就是嚴格主特征值。 因此，如果女性總體有兩個相繼

33、的生育年齡組，它的萊斯利矩陣就是一個嚴格主特征值。只要年齡組的期限足夠小，現(xiàn)實中的總體總是這中情況。假設(shè)L是可對角化的，此時L有n 個特征值 與它們相對應(yīng)的n個線性無關(guān)的特征向量為 。將其中嚴格主特征值排在第一，建立一個矩陣P，其余個列就是L的特征向量。 于是L的對角化就由下式給出 則因此，對于任意初始年齡分布向量 就有此等式兩邊除以 ，就得出（） 由于 是嚴格主特征值，所以 當 時 這樣就得到（）如果將列向量 的第一個元素用常數(shù)C來表示，則可以證明（）式右端為 ，C是一個只與初始年齡分布向量 有關(guān)的正常數(shù)，于是得到 （） 對于足夠大的k值，由（）式給出近似式 （） 由（）式還可得出（） 比較

34、（）和（）式可知對于足夠大的k值，有（） 這說明對于足夠大的時間值，每個年齡分布向量是前一個年齡分布向量的一個數(shù)量倍數(shù)，這個數(shù)量就是矩陣的正特征值。因此，在每一個年齡組中的女性比例據(jù)變?yōu)槌Ａ俊?由給出常時期人口的年齡分布向量（）式根據(jù)正特征值 的數(shù)值，會有三種情況： ）如果 ，總體最終是增長的；）如果 ，總體整體是減少的；）如果 ，總體整體是不變的。 的情形有特殊意義，因為它決定了一個具有零增長的總體。對于任何初始年齡分布，總體趨于一個是特征向量的某個倍數(shù)由（）和（）式可看出，當且僅當 （）時才有 。表達式（） 稱為總體的凈繁殖率。因此，總體的凈繁殖率為1時，一個總體有零總體增長。 一個實例考

35、慮一個沒有多少移民遷入與外界隔絕的部落。假設(shè)該部落中沒有年齡大于60的女性，將該部落中的女性分分成期限為20年的3個年齡組，并知其賴斯利矩陣是如果開始時在這3個年齡組中每組有1000名女性，于是由（）式，得到因此60年后，年齡從0到20歲的女性有14375名；20到40歲的女性有1375名；40到60歲之間的女性有875名。 由于L的特征多項式是嚴格主特征值是，故由（）式，相應(yīng)的特征向量是 對于足夠大的k值（即多年后），由（）式得因而每隔20年，3個年齡組中的女性和女性總數(shù)都將增長50。 由（）式得 這說明到最后，女性將按1：13：118的比例分配在3個年齡組中，這相當于72的女性分布在第一年

36、齡組，24的女性分布阿第二年齡組，4的女性分布在第三年齡組中。 這里僅分析了一個“特殊”的例子。事實上，要預(yù)測某地區(qū)未來人口的數(shù)量及人口年齡分布規(guī)律，同行需要考慮男性的情況，則需要對萊斯利模型做一些必要的修改還需要從人口普查資料中得到人口參數(shù)。分組的年限往往是一年，這樣萊斯利矩陣L的階就相當高，且假定出生率與死亡率是固定的，對于人口的長期預(yù)測來說，其合理性是有爭議的。 當L的階數(shù)較高時，可使用第四章I 介紹的數(shù)學(xué)軟件來進行上述計算，并進一步思考下列問題： ）評價并討論上述推倒模型的假設(shè)。什么因素對出生率和死亡率有影響。）推倒某地區(qū)男性和女性的年齡結(jié)構(gòu)模型。方法之一是假設(shè)有關(guān)女性人口的模型成立，

37、對于一個出生的女嬰對應(yīng)地有一個出生的男嬰，男性人口的存活率為常熟。對于有移民的情況模型應(yīng)該怎樣建立？ 五、動物群的收獲問題 本節(jié)討論動物群的收獲效果，作為上一節(jié)萊斯利模型的應(yīng)用，了解持續(xù)收獲模型、只收獲特定年齡組問題。 初步掌握是數(shù)學(xué)技術(shù)的綜合應(yīng)用。 在上一節(jié)的中，討論了女性總體按年齡分組的萊斯例矩陣模型。這一節(jié)將利用這個模型來討論動物群的收獲效果，可以認為這一節(jié)是萊斯利模型的應(yīng)用。 收獲模型我們僅討論持續(xù)收獲。 所謂持續(xù)收獲是指： 如果一個周期性收獲的 動物總體，每次的收獲量相同，并且在每次收獲后，遺留的總體的年齡分布任舊不變，就稱為持續(xù)收獲。 采用這種持續(xù)收獲方案，可以使動物群不致耗竭，而

38、只是開發(fā)利用增長的過剩部分。 收獲”并不一定是指屠宰率亦可指由于別的目的而將動物從整體中移走。與上一節(jié)一樣，我們只討論動物群中的雌雄。動物群收獲模型的基本概念： 從一個特定的年齡分布的動物開始，經(jīng)歷一個用萊斯利矩陣描述的生長周期后，在生長周期末，收獲每個年齡組的某些部分。 由于收獲期與生長周期相比是很短的，因而在收獲期間總體的增長或變化都可以忽略不計。 結(jié)果遺留下來未收獲的總體年齡分布就和原來的總體相同。每次收獲后重復(fù)這種循環(huán) ，所以收獲是持續(xù)的。 設(shè) 是在i組中剩下未收獲的雌性動物的個數(shù)，則向量是在生長周期開始時動物總體的年齡分布向量 同樣假設(shè)每一年齡組的期限和生長的周期相同的 長短相同，例

39、如動物群一年收獲一次，那么動物群就分成期限為一年的年齡組。 設(shè)L是描述總體增長的萊斯利矩陣，那么向量LX是緊靠著收獲之前，生長周期末的總體的年齡分布向量。設(shè)是從第i年齡組中收獲的雌性動物的百分數(shù)，由此得到I 個n階對角陣稱為收獲矩陣。顯然， 即對于這n組中的每一組?？梢圆皇斋@ ，全部收獲 或當收獲到一部分 。 因為緊靠著收獲之前的 第i年齡組中的雌性動物數(shù)是向量LX的第i個元素，記為，則向量中的地i個元素就是第i個年齡組中收獲的雌性動物數(shù)，根據(jù)持續(xù)收獲的定義：在生長周期末的年齡分布收獲在生長周期開始的年齡分布，也就是（）即（） 可以看出X是對應(yīng)于矩陣（EH）L的特征向量。假設(shè)總統(tǒng)的萊斯利矩陣（

40、） 于是得顯然，（EH）L是形式與萊斯利矩陣相同的矩陣，在上一節(jié)曾得出萊斯利矩陣的特征值是1的充要條件是它的繁殖率也是1。根據(jù)（）可得出（EH）L的凈繁殖率為：令其等于1，得（） （）式對允許收獲分數(shù)給予一個限制，即滿足方程（）且在0，1上的那些的值，才能持續(xù)收獲。如果滿足（）式，矩陣（EH）L就有特征値，且這個特征値是單根。因為萊斯利矩陣的正特征值總是單根，這就表明只有一個非零向量X滿足（）式。 可求得對應(yīng)于特征值的特征向量為 （） 式（）的其他解X是的倍數(shù)，因此向量就決定了持續(xù)收獲中每收獲一次，n個年齡組中的每一組雌性動物的比例，。所以在中可以做出廣泛的選擇來形成持續(xù)收獲，一旦把這些選定后

41、，每次收獲后總體的年齡分布比例就唯一的由（）式所定義的來選定。 均勻收獲 很多的動物群很難區(qū)分或者捕捉到特定年齡的動物。當動物是隨機捕捉時，可假定每一年齡組的收獲百分數(shù)是相等的，這就是均勻收獲，令 則（）式就化成因此，就是萊斯利增長矩陣L的唯一的正特征值， ，從而解得 這時向量和特征值對應(yīng)的特征向量相同，由（）式知（） 由（）式知，越大，可以收獲而不致使總體耗竭的動物的百分數(shù)就越大。這里還要求大于1，以保證h在0，1之間。 這個條件是肯定被滿足的，因為正是總體在增長的條件。 只收獲最小年齡組某些動物，只有最年輕的雌性才具有經(jīng)濟價值，因襲力求收回最輕年齡組的雌性。例如要制作烤乳豬這道菜，則需要剛

42、出生不久的乳豬。 此時，可令 （）式就簡化為或式中R為繁殖率，解得（） 從此式 可看知，只有當R1時，才可能持續(xù)收獲。這是符合事實的，因為只有R1時，總體才增長。 再由式（）式得每次收獲后的年齡組分布向量，它是與成比例的， （） 一個實例羊的平均年齡是12歲，因此將真?zhèn)€羊群分成間隔為1年的12個年齡組。利用數(shù)學(xué)軟件 容易求得L的唯一的一個特征值：（1）均勻收獲由（）式，均勻收獲百分比為因此，按均勻收獲方法，每年從12個年齡組中各收獲的羊。由（）式可得，每次收獲后羊群的年齡分布向量正比于 ?，F(xiàn)在，我們來分析一下，按照這個持續(xù)收獲方法，將要收獲整個羊群的百分數(shù)是多少？先求出在收獲前的年齡分布向量

43、。 中所有元素的總和為，所以第一個元素2.513是總和的。也就是說，在收獲之前，總體的在最輕年齡組內(nèi)。 現(xiàn)在要從最小年齡組中收獲。因此，每年收獲整個羊群的*。 上面僅介紹了兩種持續(xù)收獲方法，它們的產(chǎn)量分別是，。還有許多其他的持續(xù)收獲方法，我們希望能找出一個產(chǎn)量最大的持續(xù)收獲方法，即最優(yōu)持續(xù)收獲方案，其結(jié)果就是最優(yōu)持續(xù)產(chǎn)量。 可以用線性規(guī)劃的方法得到下面的結(jié)論： 最優(yōu)持續(xù)收獲的方案是收獲一個或兩個年齡組。如果收獲兩個年齡組，就把較老的年齡組全部收獲掉。 對于前述的羊群，可以用線性規(guī)劃證明當而其余均為0時，可得最優(yōu)持續(xù)產(chǎn)量。也就是把0到1歲的羊群收獲52.2，8歲到9歲的羊全部收獲，就得到最優(yōu)持續(xù)

44、產(chǎn)量是羊群總數(shù)的。 請大家做下述計算（最好在數(shù)學(xué)軟件上實現(xiàn)） 1）如果只周期收獲動物群的第i年齡組，求相應(yīng)的收獲百分數(shù) 。2）如果收獲一動物群的第j年齡組的某個百分數(shù)，計算要收獲整個動物群的百分是多少？掌握數(shù)學(xué)技術(shù)迎接時代發(fā)展的挑戰(zhàn)高新科技和新興科技領(lǐng)域的迅猛發(fā)展對應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究提出了迫切需要 1)社會、科技發(fā)展新穎而豐富多彩的客觀需要的推動 實際需要中提出的大量問題，為數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了不竭的源泉，通過解決這些問題，可以有效地推進學(xué)科的發(fā)展。 回顧一下二戰(zhàn)期間，由于高速飛行、核彈設(shè)計、火炮控制、物資調(diào)運、密碼破譯及軍事運籌等方面迫切需要的有力推動，數(shù)學(xué)不僅在其中發(fā)揮了重大的作用，而且?guī)恿艘慌碌膽?yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科（控制論、運籌學(xué)、對策論、密碼學(xué)、計算流體力學(xué)等）的迅速興起。 隨著現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)的飛速發(fā)展，其范圍已大大擴大，從以往傳統(tǒng)的、數(shù)學(xué)處理方法相對成熟的領(lǐng)域（如力學(xué)、物理、天文以及傳統(tǒng)工業(yè)領(lǐng)域）擴展到原先非傳統(tǒng)的、數(shù)學(xué)處理相對說來不算成熟的化學(xué)、生物、其他各門自然科學(xué)及高新技術(shù)領(lǐng)域，甚至進入到經(jīng)濟、金融、保險及很多社會學(xué)領(lǐng)域，深入到各行各業(yè)，可以說無所不在，并發(fā)揮著越來越重要的甚至決定性的作用，多門學(xué)科的數(shù)學(xué)化趨勢已呼之欲出。應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展正方興未艾，顯出勃勃的生機。數(shù)學(xué)方法與計算技術(shù)的結(jié)合已經(jīng)形成了一種關(guān)鍵性的、可實現(xiàn)的技術(shù)，即“數(shù)學(xué)技術(shù)”。 在全球經(jīng)濟一體化的大