1、二面角大小的幾種求法二面角大小的求法中知識(shí)的綜合性較強(qiáng)，方法的靈活性較大，一般而言，二面角的大小往往轉(zhuǎn)化為其平面角的大小，從而又化歸為三角形的內(nèi)角大小，在其求解過程中，主要是利用平面幾何、立體幾何、三角函數(shù)等重要知識(shí)。求二面角大小的關(guān)鍵是，根據(jù)不同問題給出的幾何背景，恰在此時(shí)當(dāng)選擇方法，作出二面角的平面角，有時(shí)亦可直接運(yùn)用射影面積公式求出二面角的大小。I. 尋找有棱二面角的平面角的方法 ( 定義法、三垂線法、垂面法、射影面積法 )一、定義法：利用二面角的平面角的定義，在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），過該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的射線，兩射線所成的角就是二面角的平面角，這是一種最基本的方法。要

2、注意用二面角的平面角定義的三個(gè)“主要特征”來找出平面角。例 空間三條射線 CA、CP、CB，PCA=PCB=60o，ACB=90o，求二面角 B-PC-A 的大小。PDA EC BF解：過 PC 上的點(diǎn) D 分別作 DEAC 于 E，DFBC 于 F，連 E F.EDF 為二面角 B-PC-A 的平面角，設(shè) CD=a，PCA=PCB=600，CE=CF=2a，DE=DF= 3a ，又ACB=900，EF=2 2a ，EDF=3a23a223a28a2131 / 6二、三垂線法：已知二面角其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到一個(gè)面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角。例 在四棱錐 P-ABCD 中，AB

3、CD 是平行四邊形，PA平面 ABCD，PA=AB=a，ABC=30，求二面角 P-BC-A 的大小。解：如圖，PA平面 BD，過 A 作 AHBC 于 H，連結(jié) PH，則 PHBC又 AHBC，故PHA 是二面角 P-BC-A 的平面角。Lp在 RtABH 中，AH=ABsinABC=aSin30=a ；2a在 RtPHA 中 ， tanPHA=PA/AH= 2 ， 則aADB H C 2PHA=arctan2.三、垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過兩垂線作平面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直。例 在四棱錐 P-ABCD 中 ，ABC

4、D 是正方形，PA平面 ABCD，PA=AB=a，求 B-PC-D 的大小。P解：（垂面法）如圖，PA平面 BD BDACH BDBC 過 BD 作平面 BDHPC 于 H PCDH、BHD AjBHD 為二面角 B-PC-D 的平面角。B C因 PB= 2 a,BC=a,PC= 3 a,12PBBC=SPBC=12PCBH 則 BH=a =DH，3又 BD= 2a 在BHD 中由余弦定理，得：cosBHD2 2 6 62 a a 2a 2 2 2 3 3 1BH DH BD 2BH BD 6 6 2 2 a a3 3，又 0BHD2 / 6 ，則BHD=2 ，二面角 B-PC-D 的大小是

5、2 。3 3II. 尋找無棱二面角的平面角的方法 ( 射影面積法、平移或延長(zhǎng)(展)線(面)法 )四、射影面積法：利用面積射影公式 S 射S 原 cos ,其中 為平面角的大小，此方法不必在圖形中畫出平面角。例 在四棱錐 P-ABCD 中，ABCD 為正方形，PA平面 ABCD，PAABa，求平面 PBA 與平面 PDC 所成二面角的大小。PAD PA 解：（面積法）如圖， 于 ，AD AB AD PBA APA AB AA D同時(shí)，BC平面 BPA 于 B ，故PBA 是PCD 在平面PBA 上的射影B Cl設(shè)平面 PBA 與平面 PDC 所成二面角大小為，則 cos=sPBASPCD2 =4

6、52五、平移或延長(zhǎng)（展）線（面）法：對(duì)于一類沒有給出棱的二面角，應(yīng)先延伸兩個(gè)半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法（尤其要考慮射影法）。例 在四棱錐 P-ABCD 中，ABCD 為正方形，PA平面 ABCD，PAABa，求平面 PBA 與平面 PDC 所成二面角的大小。（補(bǔ)形化為定義法）解 ：（補(bǔ)形化為定義法）如圖，將四棱錐 P-ABCD 補(bǔ)形得正方體 NPABCD-PQMN，Q M3 / 6A DB OB則 PQPA、PD，于是APD 是兩面所成二面角的平面角。在 RtPAD 中，PA=AD，則APD=45。即平面 BAP 與平面 PDC 所成二面角的大小為 45六、向量法解立體幾何中是

7、一種十分簡(jiǎn)捷的也是非常傳統(tǒng)的解法，可以說所有的立體幾何題都可以用向量法求解，用向量法解立體幾何題時(shí)，通常要建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將幾何圖中的線段寫成用坐標(biāo)法表示的向量，進(jìn)行向量計(jì)算解題。 例（2009 天津卷理）如圖，在五面體 ABCDEF 中，F(xiàn)A 平面 ABCD,AD/BC/FE，AB AD，M 為 EC 的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=12AD。,(I)求異面直線 BF 與 DE 所成的角的大??；(II) 證明平面 AMD 平面 CDE；(III)求二面角 A-CD-E 的余弦值。解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，以點(diǎn) A 為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè) AB 1，依題意得 1，1 B

8、1，0，0，C1，1，0， D0，2，0， E0，1，1， F0，0，1， .M 1 2 2（I）解 ：BF 1，0，1， DE 0，1，1，BF DE 0 0 1于是cos BF，DE 2 2BF DE1 2.所以異面直線BF與DE 所成的角的大小為600 . 1 1 （ II ） 證 明 ： 由AM ， ， CE 1，0，1， 1 2 2AD 0，2，0，可得CE AM 0 ，CE 因此， ， 又 ，故 平面AD 0. CE AM CE AD. AM AD A CE AMD.4 / 6而CE 平面CDE，所以平面AMD 平面CDE.（ III ）解：設(shè)平面CDE的法向量為u u(x，y，z

9、)，則uCEDE0，0. x z 0，于是 令x 1，可得u y z 0.(1，1，1）.又由題設(shè)，平面 ACD 的一個(gè)法向量為v (0，0，1).18.（2008 湖北）如圖，在直三棱柱ABC A B C 中，平面 ABC 1 1 1側(cè)面A ABB .1 1(I) 求證： AB BC ；(II) 若直線 AC 與平面 小為 ，A BC 所成的角為 ,二面角1A BC A 的大1試判斷 與 的大小關(guān)系，并予以證明.分析：由已知條件可知：平面 ABB1 A1平面 BCC1 B1平面 ABC 于是很容易想到以 B 點(diǎn)為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，并將相關(guān)線段寫成用坐標(biāo)表示的 向量，先求出二面角的兩個(gè)半

10、平面的法向量，再利用兩向量夾角公式求解。a（答案： ，且 arcsina c2 2ac a ）,b a c a c2 2 2 2由此可見，二面角的類型和求法可用框圖展現(xiàn)如下：分析：所求二面角與底面 ABC 所在的位置無關(guān)，故不妨利用定義求解。略解：在二面角的棱 PB 上任取一點(diǎn) Q，在半平面 PBA 和半平面 PBC 上作5 / 6QM PB，QN PB，則由定義可得 MQN 即為二面角的平面角。設(shè) PM=a,則在Rt PQM 和 Rt PQN 中可求得 QM=QN=3 a；又由 PQN PQM 得 PN=a,故在正2三角形 PMN 中 MN=a,在三角形 MQN 中由余弦定理得 cos MQN=1 ，即二面角3的余弦值為1 。3因?yàn)?AB=AD=a，PA AB PA AD PB PD AB AD a ，PB PD BC DC PBD PDC PC PC 。過 B 作 BHPC 于 H，連結(jié) DH DHPC 故BHD 為二面角 B-PC-D的平面角。因 PB= 2 a,BC=a,PC