1、用消元法解二元線性方程組一、二階行列式的引入方程組的解為由方程組的四個系數(shù)確定. 由四個數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表定義即主對角線副對角線對角線法則二階行列式的計算若記對于二元線性方程組系數(shù)行列式則二元線性方程組的解為注意 分母都為原方程組的系數(shù)行列式.例1解二、三階行列式定義記（6）式稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式.(1)沙路法三階行列式的計算.列標行標(2)對角線法則注意 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三元素的乘積冠以負號說明1 對角線法則只適用于二階與三階行列式 如果三元線性方程組的系數(shù)行列式 利用三階行列式求解三元線性方程組 2. 三階行列式包括3!項,每一項都是位

2、于不同行,不同列的三個元素的乘積,其中三項為正,三項為負. 2. 三階行列式包括3!項,每一項都是位于不同行,不同列的三個元素的乘積,其中三項為正,三項為負.若記或記即得得則三元線性方程組的解為:例 解按對角線法則，有例3解方程左端例4 解線性方程組解由于方程組的系數(shù)行列式同理可得故方程組的解為: 二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的.對角線法則二階與三階行列式的計算三、小結(jié)思考題思考題解答解設所求的二次多項式為由題意得得一個關(guān)于未知數(shù) 的線性方程組,又得故所求多項式為一、概念的引入引例用1、2、3三個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？解1 2 3123百位3種放法十位12

3、31個位1232種放法1種放法種放法.共有二、全排列及其逆序數(shù)問題定義把 個不同的元素排成一列，叫做這 個元素的全排列（或排列）. 個不同的元素的所有排列的種數(shù)，通常用 表示.由引例同理 在一個排列 中，若數(shù) 則稱這兩個數(shù)組成一個逆序.例如 排列32514 中， 定義 我們規(guī)定各元素之間有一個標準次序, n 個不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標準次序.排列的逆序數(shù)3 2 5 1 4逆序逆序逆序定義 一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).例如 排列32514 中， 3 2 5 1 4逆序數(shù)為31故此排列的逆序數(shù)為3+1+0+1+0=5.計算排列逆序數(shù)的方法逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列;逆序數(shù)為

4、偶數(shù)的排列稱為偶排列.排列的奇偶性分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼個數(shù)之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)，這每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).方法例1 求排列32514的逆序數(shù).解在排列32514中,3排在首位,逆序數(shù)為0;2的前面比2大的數(shù)只有一個3,故逆序數(shù)為1;5的前面沒有比5大的數(shù),其逆序數(shù)為0;1的前面比1大的數(shù)有3個,故逆序數(shù)為3;4的前面比4大的數(shù)有1個,故逆序數(shù)為1;3 2 5 1 4于是排列32514的逆序數(shù)為例2 計算下列排列的逆序數(shù)，并討論它們的奇偶性.解此排列為偶排列.解當 時為偶排列；當 時為奇排列.解當 為偶數(shù)時，排列為偶排列，當 為奇數(shù)時，排列為

5、奇排列.2 排列具有奇偶性.3 計算排列逆序數(shù)常用的方法有1種.1 個不同的元素的所有排列種數(shù)為三、小結(jié)思考題分別用兩種方法求排列16352487的逆序數(shù).思考題解答解用方法11 6 3 5 2 4 8 7 用方法2由前向后求每個數(shù)的逆序數(shù).一、概念的引入三階行列式說明（1）三階行列式共有 項，即 項（2）每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積（3）每項的正負號都取決于位于不同行不同列 的三個元素的下標排列例如列標排列的逆序數(shù)為列標排列的逆序數(shù)為偶排列奇排列二、n階行列式的定義定義說明1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的;2、 階行列式是

6、 項的代數(shù)和;3、 階行列式的每項都是位于不同行、不同列 個元素的乘積;4、 一階行列式 不要與絕對值記號相混淆;5、 的符號為例1計算對角行列式分析展開式中項的一般形式是從而這個項為零，所以 只能等于 , 同理可得解即行列式中不為零的項為例2 計算上三角行列式分析展開式中項的一般形式是所以不為零的項只有解例3同理可得下三角行列式例4 證明對角行列式證明第一式是顯然的,下面證第二式.若記則依行列式定義證畢例5設證明證由行列式定義有由于 所以故1 、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的.2、 階行列式共有 項，每項都是位于不同行、不同列 的 個元

7、素的乘積,正負號由下標排列的逆序數(shù)決定.三、小結(jié)思考題已知思考題解答解含 的項有兩項,即對應于一、對換的定義定義在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余元素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換將相鄰兩個元素對調(diào)，叫做相鄰對換例如二、對換與排列的奇偶性的關(guān)系定理1一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性證明設排列為對換 與除 外，其它元素的逆序數(shù)不改變.當 時，的逆序數(shù)不變;經(jīng)對換后 的逆序數(shù)增加1 ,經(jīng)對換后 的逆序數(shù)不變 ， 的逆序數(shù)減少1.因此對換相鄰兩個元素，排列改變奇偶性.設排列為當 時，現(xiàn)來對換 與次相鄰對換次相鄰對換次相鄰對換所以一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性.推論奇排列

8、調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù).定理2 階行列式也可定義為其中 為行標排列 的逆序數(shù).證明 由定理1知對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù),而標準排列是偶排列(逆序數(shù)為0),因此知推論成立.證明按行列式定義有記對于D中任意一項總有且僅有 中的某一項與之對應并相等;反之,對于 中任意一項也總有且僅有D中的某一項與之對應并相等,于是D與中的項可以一一對應并相等,從而定理3 階行列式也可定義為其中 是兩個 級排列， 為行標排列逆序數(shù)與列標排列逆序數(shù)的和.例1 試判斷 和是否都是六階行列式中的項.解下標的逆序數(shù)為所以 是六階行列式中的項.下標的逆序數(shù)為所以 不是六階行列

9、式中的項.例2 在六階行列式中，下列兩項各應帶什么符號.解431265的逆序數(shù)為所以 前邊應帶正號.行標排列341562的逆序數(shù)為列標排列234165的逆序數(shù)為所以 前邊應帶正號.例3 用行列式的定義計算解 1. 一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性2.行列式的三種表示方法三、小結(jié)其中 是兩個 級排列， 為行標排列逆序數(shù)與列標排列逆序數(shù)的和.思考題證明 在全部 階排列中 ,奇偶排列各占一半. 思考題解答證 設在全部 階排列中有 個奇排列, 個偶排列,現(xiàn)來證 . 將 個奇排列的前兩個數(shù)對換,則這 個奇排列全變成偶排列,并且它們彼此不同,所以若將 個偶排列的前兩個數(shù)對換,則這 個偶排列全變

10、成奇排列,并且它們彼此不同,于是有故必有一、行列式的性質(zhì)性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.行列式 稱為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式. 記證明按定義 又因為行列式D可表示為故證畢性質(zhì)2 互換行列式的兩行（列）,行列式變號.證明設行列式說明 行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.是由行列式 變換 兩行得到的,于是則有即當 時,當 時,例如推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有 故證畢性質(zhì)3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù) ，等于用數(shù) 乘此行列式.推論行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面性質(zhì)

11、行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零證明性質(zhì)5若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.則D等于下列兩個行列式之和：例如性質(zhì)把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應的元素上去，行列式不變例如例二、應用舉例計算行列式常用方法：利用運算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值解例2 計算 階行列式解將第 都加到第一列得例3證明證明 (行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立). 計算行列式常用方法：(1)利用定義;(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值三、小結(jié)行列式的6個性質(zhì)思考題思考題解答解例如一、余

12、子式與代數(shù)余子式在 階行列式中，把元素 所在的第 行和第 列劃去后，留下來的 階行列式叫做元素 的余子式，記作叫做元素 的代數(shù)余子式例如引理 一個 階行列式，如果其中第 行所有元素除 外都為零，那末這行列式等于 與它的代數(shù)余子式的乘積，即 例如證當 位于第一行第一列時,即有又從而在證一般情形,此時得得中的余子式故得于是有定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即證二、行列式按行（列）展開法則例1 證用數(shù)學歸納法例2證明范德蒙德(Vandermonde)行列式 n-1階范德蒙德行列式推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即

13、證同理相同關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)例 計算行列式解按第一行展開，得例 計算行列式解 1. 行列式按行（列）展開法則是把高階行列式的計算化為低階行列式計算的重要工具. 三、小結(jié)思考題求第一行各元素的代數(shù)余子式之和思考題解答解第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成設線性方程組則稱此方程組為非 齊次線性方程組;此時稱方程組為齊次線性方程組.非齊次與齊次線性方程組的概念一、克拉默法則如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即其中 是把系數(shù)行列式 中第 列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的 階行列式，即那么線性方程組 有解，并且解是唯一的，解可以表為證明在把 個方程依次相加，得由代數(shù)余子式的性質(zhì)可知,

14、于是當 時,方程組 有唯一的一個解由于方程組 與方程組 等價,故也是方程組的 解.二、重要定理定理1 如果線性方程組 的系數(shù)行列式 則 一定有解,且解是唯一的 .定理2 如果線性方程組 無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.齊次線性方程組的相關(guān)定理定理 如果齊次線性方程組 的系數(shù)行列式 則齊次線性方程組 沒有非零解.定理 如果齊次線性方程組 有非零解,則它的系數(shù)行列式必為零.有非零解.系數(shù)行列式例1 用克拉默則解方程組解例2 用克拉默法則解方程組解例3 問 取何值時，齊次方程組有非零解？解齊次方程組有非零解，則所以 或 時齊次方程組有非零解.1. 用克拉默法則解方程組的兩個條件(1)方

15、程個數(shù)等于未知量個數(shù);(2)系數(shù)行列式不等于零.2. 克拉默法則建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)與常數(shù)項之間的關(guān)系.它主要適用于理論推導.三、小結(jié)思考題當線性方程組的系數(shù)行列式為零時,能否用克拉默法則解方程組?為什么?此時方程組的解為何?思考題解答不能,此時方程組的解為無解或有無窮多解.把 個不同的元素排成一列，叫做這 個元素的全排列（或排列）個不同的元素的所有排列的種數(shù)用 表示，且 全排列逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列在一個排列 中，若數(shù) ，則稱這兩個數(shù)組成一個逆序一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)逆序數(shù)分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼個數(shù)之和，即

16、算出排列中每個元素的逆序數(shù)，每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)方法2方法1分別計算出排在 前面比它大的數(shù)碼之和，即分別算出 這 個元素的逆序數(shù)，這 個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)計算排列逆序數(shù)的方法定義在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余元素不動，稱為一次對換將相鄰兩個元素對調(diào)，叫做相鄰對換定理一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性推論奇排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù)對換n階行列式的定義n階行列式的性質(zhì)）余子式與代數(shù)余子式行列式按行（列）展開）關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)克拉默法則克拉默法則的理論價值定理定理定理定理一、計算排列的逆序數(shù)二

17、、計算（證明）行列式三、克拉默法則典型例題分別算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)解例一、計算排列的逆序數(shù)當 為偶數(shù)時，排列為偶排列，當 為奇數(shù)時，排列為奇排列于是排列的逆序數(shù)為用定義計算（證明）例用行列式定義計算二、計算（證明）行列式解評注本例是從一般項入手，將行標按標準順序排列，討論列標的所有可能取到的值，并注意每一項的符號，這是用定義計算行列式的一般方法注意例設證明由行列式的定義有評注本題證明兩個行列式相等，即證明兩點，一是兩個行列式有完全相同的項，二是每一項所帶的符號相同這也是用定義證明兩個行列式相等的常用方法利用范德蒙行列式計算例計算利用范德蒙行列式計

18、算行列式，應根據(jù)范德蒙行列式的特點，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據(jù)范德蒙行列式計算出結(jié)果。解上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知評注本題所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如提取公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行列式化成范德蒙行列式用化三角形行列式計算例計算解提取第一列的公因子，得評注本題利用行列式的性質(zhì)，采用“化零”的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式化零時一般盡量選含有的行（列）及含零較多的行（列）；若沒有，則可適當選取便于化零的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù)化為1；若所給行列式中元素間具有某些特點，則應充分利用這些特點，應用行列式性質(zhì)，以達到化為三角形行列式之目的用降階法計算例計算解評注本題是利用行列式的性質(zhì)將所給行列式的某行（列）化成只含有一個非零元素，然后按此行（列