1、本資料分享自千人教師QQ群483122854 期待你的加入與分享 300G資源等你來本資料分享自千人教師QQ群483122854 期待你的加入與分享 300G資源等你來5.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能根據(jù)定義求函數(shù)yc，yx，yx2，yeq f(1,x)，yeq r(x)的導(dǎo)數(shù).2.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)語同學(xué)們，前面我們學(xué)習(xí)了求簡單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，回想我們一共學(xué)習(xí)了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)這四類基本初等函數(shù)，而對于大家所熟悉的一次函數(shù)、二次函數(shù)并不是基本初等函數(shù)，而是冪函數(shù)的線性組合，那么對于這四類基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是否存在

2、呢，今天讓我們一探究竟一、基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式問題1回顧之前所學(xué)，你學(xué)過哪些基本初等函數(shù)？提示冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)問題2如何求f(x)kxb的導(dǎo)數(shù)？提示因?yàn)閑q f(y,x)eq f(fxxfx,x)eq f(kxxbkxb,x)k，所以eq o(lim,sdo4(x0) eq f(y,x)k.故f(x)k.由導(dǎo)數(shù)幾何意義，對于ykxb，可看成是某質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動的模型，其在任意一點(diǎn)的瞬時(shí)速度不變，故在每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)均為該直線的斜率知識梳理1求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的流程圖eq x(給定函數(shù)yfx)eq x(計(jì)算f(y,x)f(fxxfx,x)eq x(o(lim,sdo4(x0) f(y

3、,x)Ax)eq x(fxAx)2常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)(kxb)k(k，b為常數(shù))；(2)C0(C為常數(shù))；(3)(x)1；(4)(x2)2x；(5)(x3)3x2；(6)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)eq f(1,x2)；(7)(eq r(x)eq f(1,2r(x).3基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)(x)x1(為常數(shù))；(2)(ax)axln a(a0，且a1)；(3)(ex)ex；(4)(loga x)eq f(1,x)loga eeq f(1,xln a)(a0，且a1)；(5)(ln x)eq f(1,x)；(6)(sin x)cos x；(7)(cos x)s

4、in x.注意點(diǎn)：對于根式f(x)eq r(n,xm)，要先轉(zhuǎn)化為f(x)，所以f(x).例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yx0(x0)；(2)yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)x；(3)ylg x；(4)yeq f(x2,r(x)；(5)y2cos2eq f(x,2)1.解(1)y0.(2)yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)xlneq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)xln 3.(3)yeq f(1,xln 10).(4)yeq f(x2,r(x)，yeq f(3,2)eq r(x).(5)y2cos2eq f(x,2

5、)1cos x，y(cos x)sin x.反思感悟(1)若所求函數(shù)符合導(dǎo)數(shù)公式，則直接利用公式求導(dǎo)(2)若給出的函數(shù)解析式不符合基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，則通過恒等變換對解析式進(jìn)行化簡或變形后求導(dǎo)(3)要特別注意“eq f(1,x)與ln x”，“ax與logax”，“sin x與cos x”的導(dǎo)數(shù)區(qū)別跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y2 021；(2)yeq f(1,r(3,x2)；(3)y4x；(4)ylog3x.解(1)因?yàn)閥2 021，所以y(2 021)0.(2)因?yàn)閥eq f(1,r(3,x2)，所以y.(3)因?yàn)閥4x，所以y4xln 4.(4)因?yàn)閥log3x，所以yeq f

6、(1,xln 3).二、利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題3對于函數(shù)f(x)來說，f(1)，f(2)與f(x)有什么區(qū)別與聯(lián)系？提示f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f(1)，f(2)是導(dǎo)函數(shù)f(x)在x1，x2處的導(dǎo)數(shù)值例2求函數(shù)f(x)eq f(1,r(6,x5)在x1處的導(dǎo)數(shù)解f(x)eq f(1,r(6,x5)，f(x)，f(1)eq f(5,6).反思感悟求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)需要先對原函數(shù)進(jìn)行化簡，然后求導(dǎo)，最后將變量的值代入導(dǎo)函數(shù)便可求解跟蹤訓(xùn)練2(1)已知f(x)ln x，則f(e)的值為 答案eq f(1,e)解析f(x)eq f(1,x)，f(e)eq f(1,e).(2)已知函數(shù)f

7、(x)eq f(1,x)在xa處的導(dǎo)數(shù)為2，則實(shí)數(shù)a的值是 答案eq f(r(2),2)解析f(x)eq f(1,x2)，當(dāng)xa時(shí)，f(a)eq f(1,a2)2，即aeq f(r(2),2).三、導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用例3已知曲線yln x，點(diǎn)P(e,1)是曲線上一點(diǎn)，求曲線在點(diǎn)P處的切線方程解yeq f(1,x)，keq f(1,e)，切線方程為y1eq f(1,e)(xe)，即xey0.延伸探究1已知ykx1是曲線yf(x)ln x的一條切線，則k .答案eq f(1,e2)解析設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，由題意得f(x0)eq f(1,x0)k，又y0kx01，y0ln x0，解得y02，x0

8、e2，所以keq f(1,e2).2求曲線yln x過點(diǎn)O(0,0)的切線方程解設(shè)切點(diǎn)為Q(x0，y0)，則切線的斜率keq f(1,x0).又切線的斜率keq f(y00,x00)eq f(ln x0,x0)，eq f(ln x0,x0)eq f(1,x0)，即x0e，Q(e,1)，keq f(1,e)，切線方程為y1eq f(1,e)(xe)，即xey0.反思感悟(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決切線問題的兩種情況若已知點(diǎn)是切點(diǎn)，則在該點(diǎn)處的切線斜率就是該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；若已知點(diǎn)不是切點(diǎn)，則應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)，再借助兩點(diǎn)連線的斜率公式進(jìn)行求解(2)求過點(diǎn)P與曲線相切的直線方程的三個(gè)步驟跟蹤訓(xùn)練3(1)函數(shù)

9、yx3在點(diǎn)(2,8)處的切線方程為()Ay12x16 By12x16Cy12x16 Dy12x16答案A解析因?yàn)閥3x2，當(dāng)x2時(shí)，y12，故切線的斜率為12，切線方程為y12x16.(2)已知曲線yln x的一條切線方程為xyc0，則c的值為 答案1解析設(shè)切點(diǎn)為(x0，ln x0)，由yln x得yeq f(1,x).因?yàn)榍€yln x在xx0處的切線方程為xyc0，其斜率為1.所以eq f(1,x0)1，即x01，所以切點(diǎn)為(1,0)所以10c0，所以c1.1知識清單：(1)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(2)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及應(yīng)用(3)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線方程2方法歸納：方程思想、待定系數(shù)法3常

10、見誤區(qū)：不化簡成基本初等函數(shù)1(多選)下列選項(xiàng)正確的是()Ayln 2，則yeq f(1,2)Bf(x)eq f(1,x2)，則f(3)eq f(2,27)Cy2x，則y2xln 2Dylog2x，則yeq f(1,xln 2)答案BCD解析對于A，y0，故A錯(cuò)；對于B，f(x)eq f(2,x3)，f(3)eq f(2,27)，故B正確；顯然C，D正確2f(x)a3(a0，a1)，則f(2)等于()A8 B12 C8ln 3 D0答案D解析f(x)a3(a0，a1)是常數(shù)函數(shù)，所以f(x)0.所以f(2)0.3已知f(x)eq r(x)，則f(8)等于()A0 B2eq r(2) C.eq

11、f(r(2),8) D1答案C解析f(x)eq r(x)，得f(x)，f(8)eq f(1,2)eq f(r(2),8).4曲線yeq f(9,x)在點(diǎn)M(3,3)處的切線方程是 答案xy60解析yeq f(9,x2)，k1，在點(diǎn)(3,3)處斜率為1的切線方程為y3(x3)，即xy60.課時(shí)對點(diǎn)練1下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()A(cos x)sin x B(x3)x3ln xC(ex)xex1 D(ln x)eq f(1,xln 10)答案A2函數(shù)y3x在x2處的導(dǎo)數(shù)為()A9 B6 C9ln 3 D6ln 3答案C解析y(3x)3xln 3，故所求導(dǎo)數(shù)為9ln 3.3已知函數(shù)f(x)x(Q，且0

12、)，若f(1)4，則的值等于()A4 B4 C5 D5答案A解析f(x)x1，f(1)(1)14，4.4若函數(shù)f(x)cos x，則feq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)feq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)的值為()A0 B1 C1 D2答案A解析f(x)sin x，所以feq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)feq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)sin eq f(,4)cos eq f(,4)0.5(多選)下列各式中正確的是()A(x7)7x6 B(x1)x2C(eq r(5,x2) D(cos 2)sin 2答案AC解析B項(xiàng)，

13、(x1)x2；D項(xiàng)，(cos 2)0.BD錯(cuò)誤6(多選)已知曲線yx3在點(diǎn)P處的切線斜率為k，則當(dāng)k3時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)為()A(1,1) B(1，1)C(1,1) D(1，1)答案BC解析y3x2，因?yàn)閗3，所以3x23，所以x1，則P點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)或(1,1)7若曲線yeq r(x)在點(diǎn)P(a，eq r(a)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2，則實(shí)數(shù)a的值是 答案4解析因?yàn)閥eq f(1,2r(x)，所以切線方程為yeq r(a)eq f(1,2r(a)(xa)，令x0，得yeq f(r(a),2)，令y0，得xa，由題意知eq f(1,2)eq f(r(a),2)a2，所以a4.8設(shè)

14、函數(shù)yf(x)是一次函數(shù)，若f(1)1，且f(2)4，則f(x) .答案4x3解析yf(x)是一次函數(shù)，設(shè)f(x)axb(a0)，則f(1)ab1，又f(2)a4.a4，b3，f(x)4x3.9點(diǎn)P是曲線yex上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線yx的最小距離解如圖，當(dāng)曲線yex在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與直線yx平行時(shí)，點(diǎn)P到直線yx的距離最近則曲線yex在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線斜率為1，其導(dǎo)數(shù)y(ex)ex，所以1，得x00，代入yex，得y01，即P(0,1)利用點(diǎn)到直線的距離公式得最小距離為eq f(r(2),2).10已知拋物線yx2，求過點(diǎn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1

15、,2)，2)且與拋物線相切的直線方程解設(shè)切線的斜率為k，直線與拋物線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則直線方程為y2keq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)，因?yàn)閥2x，所以k2x0，又點(diǎn)(x0，y0)在切線上，所以xeq oal(2,0)22x0eq blc(rc)(avs4alco1(x0f(1,2)，解得x01或x02，則k2或k4，所以直線方程為y22eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)或y24eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)，即2xy10或4xy40.11已知函數(shù)yf(x)在x1處的切線與直線xy30垂直，則f(1)等于(

16、)A2 B0 C1 D1答案C解析由題可知，函數(shù)yf(x)在x1處的切線的斜率為feq blc(rc)(avs4alco1(1)，直線xy30的斜率為1，故feq blc(rc)(avs4alco1(1)1得feq blc(rc)(avs4alco1(1)1，故選C.12如圖，函數(shù)yf(x)的圖象在點(diǎn)P(2，y)處的切線是l，則f(2)f(2)等于()A4 B3 C2 D1答案D解析由圖象可得函數(shù)yf(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線是l，與x軸交于點(diǎn)eq blc(rc)(avs4alco1(4，0)，與y軸交于點(diǎn)eq blc(rc)(avs4alco1(0，4)，則l：xy4，feq blc(rc)

17、(avs4alco1(2)2，f(2)1，f(2)f(2)1.13下列曲線的所有切線中，存在無數(shù)對互相垂直的切線的曲線是()Af(x)ex Bf(x)x3Cf(x)ln x Df(x)sin x答案D解析若直線垂直且斜率存在，則其斜率之積為1.因?yàn)锳項(xiàng)中，(ex)ex0，B項(xiàng)中，(x3)3x20，C項(xiàng)中，x0，即(ln x)eq f(1,x)0，所以不會使切線斜率之積為1，故選D.14設(shè)f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，則f2 021(x) .答案cos x解析由已知得，f1(x)cos x，f2(x)sin x，f3(x)cos x，f4(x)sin x，f5(x)cos x，依次類推可得，函數(shù)呈周期變化，且周期為4，則f2 021(x)f1(x)cos x.15函數(shù)yx2(x0)的圖象在點(diǎn)(ak，aeq oal(2,k)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak1，其中kN*，若a116，則a1a3a5的值是 答案21解析y2x，yx2(x0)的圖象在點(diǎn)(ak，aeq oal(2,k)處的切線方程為yaeq oal(2,k)2ak(xak)又該切線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(ak1,0)，ak