1、-PAGE . z.2.6 三角函數(shù)在電工學(xué)中的應(yīng)用舊課復(fù)習(xí)：正弦定理、余弦定理:.;新課引入：1.分析正弦交流電流的變化規(guī)律舉例我們知道,正弦交流電的電流強(qiáng)度隨時(shí)間變化的規(guī)律為.其中電流強(qiáng)度的最大值,稱為幅值(或峰值); SHAPE * MERGEFORMAT 稱為角頻率(或圓頻率),它表示電流變化的快慢,其單位是弧度/秒;稱為初相位(或初位相或初相);稱為時(shí)刻的相位(或位相),它是發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子的繞組面在時(shí)刻所在位置與定子磁場(chǎng)方向所成的角(圖2-12).這里,關(guān)于是正弦型函數(shù),因此我們可以利用正弦型函數(shù)的圖象(正弦波形)和性質(zhì)來(lái)具體分析正弦交流電流隨時(shí) 間的變化情況.例1 圖2-13畫出了兩種

2、正弦交流電的電流強(qiáng)度隨時(shí)間變化在一個(gè)周期里的圖象,其中橫坐標(biāo)表示.根據(jù)圖2-13,答復(fù)以下問(wèn)題:(1)與的幅值各為多少(2) 與的周期相等嗎是多少(3) 與哪個(gè)先到達(dá)最大值 解: (1)從圖2-13中可以看出, 的幅值為30,的幅值為20.(2) 圖2-13中,橫軸代表,從圖中看出, 每增加(減少) , 與函數(shù)值都不變.因此與的周期一樣,都等于.(3) 從圖2-13中看出,當(dāng)時(shí),到達(dá)最大值; 當(dāng)時(shí), 到達(dá)最大值.因此先到達(dá)最大值.從圖2-13中還可以看出, 的初相位是,的初相位是.根據(jù)上述分析,可以寫出與的解析表達(dá)式如下:,(可以確定的值,這里從略)正弦交流電完成一次周期性變化所需的時(shí)間稱為周

3、期(單位:秒,記作s),用表示,根據(jù)正弦型函數(shù)的周期性,:單位時(shí)間交流電完成周期性變化的次數(shù)稱為頻率(單位:赫茲,記作Hz),用表示.顯然,從而.兩個(gè)同頻率的交流電的相位角或初相位角之差,稱為相位差.以上電流與是兩個(gè)同頻正弦電流,它們的相位差是.我們稱比的相位超前,或者說(shuō)比的相位滯后.如上所說(shuō), 比先到達(dá)最大值.例2 正弦交流電流(安)與時(shí)間(秒)的函數(shù)關(guān)系為().試指出它的角頻率、頻率、周期、幅值及初相位各是多少設(shè)秒、秒時(shí)電流的瞬時(shí)值分別為、,試比擬與哪個(gè)較大試畫出它在一個(gè)周期的簡(jiǎn)圖,并指出電流在這個(gè)周期的變化情況.解:(1)角頻率(rad/s),頻率(Hz),周期(s),幅值(A),初相位

4、(rad).(2)當(dāng)時(shí),(-號(hào)表示流向),所以(安);當(dāng)時(shí), ,所以(安).因此, 比大.(3) 列表=*=()描點(diǎn)畫圖(圖2-14)從圖2-14看出,在前半個(gè)周期,當(dāng)時(shí)間從0,0025秒連續(xù)變化到0.0075秒時(shí),電流從0安逐漸增大到幅值30安; 當(dāng)時(shí)間從0,0075秒連續(xù)變化到0.0125秒時(shí),電流從30安逐漸減小到幅值0安. 在后半個(gè)周期,電流的變化規(guī)律與前半個(gè)周期的情形相似,但流向相反.例3 圖2-15是一個(gè)正弦交流電流的圖象,根據(jù)圖象求出它的周期、頻率、幅值和初相位，并寫出電流關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式.解: 根據(jù)圖象可知, 電流的周期(s).所以 頻率(Hz). 角頻率(rad/s)由圖

5、又知, 幅值(A),起點(diǎn)坐標(biāo)為(-0.05,0).由正弦型函數(shù)起點(diǎn)坐標(biāo)的求法,有 圖2-15 于是, 初相(rad)因此,該正弦交流電的函數(shù)關(guān)系式為().正弦交流電的電壓隨時(shí)間變化的規(guī)律為，其中是電壓的最大值,稱為幅值(或峰值),同樣,稱為角頻率(或圓頻率),稱為初相位(或初相),稱為時(shí)刻的相位.類似地,正弦電壓的周期(單位:s),頻率(單位:Hz),(單位:rad/s)在電工學(xué)中, 正弦交流電的電流和電壓都簡(jiǎn)稱為正弦量.顯然,正弦量由幅值、角頻率和初相位唯一確定.課堂練習(xí)：習(xí)題2.6 的1、2、3題請(qǐng)學(xué)生答復(fù)2.求兩個(gè)同頻率的正弦交流電合成舉例在電工學(xué)里,對(duì)交流電路的分析過(guò)程中,經(jīng)常遇到對(duì)同

6、頻率的正弦量求和的運(yùn)算,稱之為同頻率正弦量的合成.例如:設(shè)有兩個(gè)同頻率的正弦電流(單位:A),把它們合成,即又稱為電流與的總電流.例4 求兩個(gè)同頻率的正弦電流與相加的總電流.解: 設(shè)與的合成電流為,則,其中.因此合成電流也是正弦電流,且與、同頻率.由上可見,用和角的正弦公式能求出兩個(gè)同頻率的正弦量的合成結(jié)果,但計(jì)算非常繁瑣.下面將給出一種較簡(jiǎn)單的解法.根據(jù)2.3節(jié)討論的結(jié)果可知,正弦量除了用正弦型函數(shù)或正弦波形表示之外,還可以用旋轉(zhuǎn)向量來(lái)表示.畫旋轉(zhuǎn)向量來(lái)表示正弦量,是繁瑣的.在電工學(xué)中,通常只用初始位置()的向量來(lái)表示一個(gè)正弦量,它的長(zhǎng)度等于正弦量的幅值,它與橫軸正方向間的夾角等于正弦量的初

7、相位.但是我們應(yīng)該具有這樣的概念:這個(gè)向量是以正弦量的角頻率作逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的,它在縱軸上的投影(縱坐標(biāo))表示正弦量的瞬時(shí)值.在實(shí)際問(wèn)題中我們所涉及的往往是正弦量的有效值.因此為了方便起見,常使向量的長(zhǎng)度等于正弦量的有效值.顯然,這時(shí)它在縱軸上的投影就不能代表正弦量的瞬時(shí)值了. 由電工學(xué)可知,正弦電流和電壓的有效值與幅值的換算關(guān)系為:,.為了與物理向量(例如電場(chǎng)力、電場(chǎng)強(qiáng)度等)區(qū)別,表示隨時(shí)間而變化的正弦量的向量我們稱為相量,并在所注文字上方打一. 例如電流和電壓的幅值相量分別記作和,它們的有效值相量分別記作和.由于正弦量由幅值、角頻率和初相位唯一確定,因此正弦電流相量. 對(duì)應(yīng)正弦電壓相量.

8、對(duì)應(yīng)按照各個(gè)同頻率的正弦量的幅值(或有效值)和初相位畫出假設(shè)干個(gè)相量的圖形稱為相量圖. 由2.3節(jié)討論亦可知, 兩個(gè)同頻率的正弦量相加(一樣物理量相加),其結(jié)果是一個(gè)同頻率的正弦量,它們的相量之和,就是它們的和的相量.因此,我們可以利用兩個(gè)同頻率的正弦量(一樣物理量)的相量圖,采用平行四邊形法則求它們的和相量, 再通過(guò)解三角形便可求得這兩個(gè)同頻率的正弦量之和的幅值和初相位,從而得出兩個(gè)同頻率的正弦量的合成結(jié)果.例5 兩同頻率的正弦電流()安和()安,求.解: 先作和的幅值相量和,以 該兩相量為鄰邊作一平行四邊形, 平行四邊形的對(duì)角線即為兩正弦電流之和的幅值相量(圖2-16).因?yàn)楹偷南辔徊钋?/p>

9、,所以的幅值 而的初相位 , 所以 ()安. 例6 在圖2-17的電路中,設(shè) ()=()安, ()=()安, 試求總電流. 解: 根據(jù)表示正弦量的幾種方法對(duì)此題分 別進(jìn)展計(jì)算如下: (1)用三角函數(shù)式求解 ()+() ()+() =()+()設(shè) ()=, ,因此總電流的幅值為,電流的初相位為.將此題中的安、安、代入，則得安，.故得 ()安.(2)用正弦波形求解先作出表示電流和的正弦波形,而后將兩波形的縱坐標(biāo)相加,即得總電流的正弦波形,從此波形上便可量出的幅值和初相位(圖2-18).(3)用相量圖求解 先作出表示電流和的幅值相量和,而后以和為鄰邊作一平行四 邊形,其對(duì)角線即為總電流的幅值相量,

10、它的長(zhǎng)度即為幅值,它與橫軸正的夾角即為初相位(圖2-19或圖2-18縮小版).從向量圖上可以量出的幅值和初相.4用相量圖通過(guò)解三角形求解 先作出表示電流和的幅值相量和,而后以和為鄰邊作一平行四邊形,其對(duì)角線即為總電流的幅值相量,它的長(zhǎng)度即為幅值,它與橫軸正方向間的夾角即為初相位(圖2-19).因?yàn)榕c的相位差(-)= 所以,由余弦定理得(),因此, 的幅值安;又根據(jù)正弦定理,有()=,所以的初相位.于是 ()安. 最后指出,如果用相量表示正弦交流電,則正弦交流電路中的希爾荷夫定律具有相量形式.本堂課作業(yè)：習(xí)題2.6 的4、5題本堂課歸納小結(jié)：正弦交流電的電流強(qiáng)度及電壓對(duì)時(shí)間的函數(shù)關(guān)系分別為:() ();() (),它們都是正弦型函數(shù).掌握了正弦型函數(shù)圖象和性質(zhì),也就掌握了正弦交流電隨時(shí)間變化的 在電工學(xué)中, 正弦交流電的電流和電壓都簡(jiǎn)稱為正弦量, 正弦量可以用相量來(lái)表示.有正弦電流幅值相量. 對(duì)應(yīng)