1、第三章 信號分析基礎(chǔ) 本章是信號分析與信息處理的一個重點內(nèi)容，主要討論信號分析的主要方法，包括： 1. 信號的分類 2. 信號的時域分析方法 時域幅值分析方法 3. 信號的頻域分析方法 4. 信號的其他分析方法1第三章 信號分析基礎(chǔ)3-1 信號的分類 為了深入了解信號的物理實質(zhì)，應將其分類, 不同的類型有不同的特點，采用不同的方法進行研究。下面討論幾種比較常見的分類方法。一、確定性信號與非確定性信號 1. 確定性信號 特征：可以用明確的數(shù)學關(guān)系式描述的信號稱為確定性信號。 分類：可分為周期信號、非周期信號與準周期信號。 （1） 周期信號：是經(jīng)過一定時間可以重復出現(xiàn)的信號，滿足條件 (3-1)式

2、中，T 表示周期 ， 表示基頻；n = 0 ， ，。例如，機械系統(tǒng)中，回轉(zhuǎn)體不平衡引起的振動，往往是一種周期性運動。 2第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-1 信號的分類一、確定性信號與非確定性信號 1. 確定性信號（2）非周期信號：無周期性，有時具有瞬變性，但可用數(shù)學關(guān)系式描述。如圖31所示， 圖 31 瞬變非周期信號 (a) 錘子敲擊力；(b) 承載纜繩斷裂時的應力；(c) 熱電偶插入爐中時的溫度變化 3第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-1 信號的分類一、確定性信號與非確定性信號 1. 確定性信號（3）準周期信號：是周期與非周期的邊緣情況，是由有限個周期信號合成的，但各周期信號的頻率相互間不是公倍關(guān)系，其合

3、成信號不滿足周期條件，例如： 這是兩個正弦信號的合成，其頻率比不是有理數(shù)，不成諧波關(guān)系。這種信號往往出現(xiàn)在通信、振動系統(tǒng)，應用于機械轉(zhuǎn)子振動分析，齒輪噪聲分析，語音分析等。 4第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-1 信號的分類一、確定性信號與非確定性信號 2.非確定性信號（隨機信號） 特征：非確定性信號不能用數(shù)學關(guān)系式描述，其幅值、相位變化是不可預知的，所描述的物理現(xiàn)象是一種隨機過程。 例如：汽車在路面上行駛時所產(chǎn)生的振動；飛機在大氣流中的浮動；樹葉隨風飄蕩；環(huán)境的噪聲等。 說明：實際物理過程往往是很復雜的，既無理想的確定性，也無理想的非確定性，而是相互摻雜的。因此，在機械信號測試中，我們往往把所測得的

4、信號籠統(tǒng)地說成是非確定性信號或隨機信號。 5第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-1 信號的分類 一、確定性信號與非確定性信號 2.非確定性信號 分類： 根據(jù)其統(tǒng)計特性的不同，可將隨機信號分為： 平穩(wěn)隨機信號：統(tǒng)計特性不隨時間起點的變化而改變的一類信號；如果信號的各階矩都不隨時間的變化而改變，則稱此信號是嚴平穩(wěn)(強平穩(wěn))；如果信號的統(tǒng)計特性中只有均值和方差不隨時間的變化而改變，則稱此信號是寬平穩(wěn)(弱平穩(wěn))的。 非平穩(wěn)隨機信號：統(tǒng)計特性隨時間起點的變 化而改變的一類信號。 說明：在大多數(shù)情況下，機械工程中所測得的信號一般都屬于平穩(wěn)隨機信號的范疇。實際工作中，我們往往事先假定所測信號為平穩(wěn)隨機信號。 6第三章

5、 信號分析基礎(chǔ) 3-1 信號的分類一、確定性信號與非確定性信號 2.非確定性信號 各態(tài)歷經(jīng)信號：是最重要的一種平穩(wěn)隨機信號。 特點：信號的總體集合統(tǒng)計量與其樣本的時間統(tǒng)計量對應相等。 重要意義：可用樣本來研究信號的總體特性。 各態(tài)歷經(jīng)：stx(t)= stx1(t)= stx2(t)=.= stxn(t) 平穩(wěn)信號：stx(t)=stx (t1)= stx (t2)=.= stx (tn) 7第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-1 信號的分類二、能量信號與功率信號1. 能量信號 定義：在所分析的區(qū)間(-，), 能量為有限值的信號稱為能量信號，又稱為能量有限信號。滿足條件： （32）能量的解釋：對于電信號

6、，通常是電壓或電流，在已知時間 內(nèi)消耗在電阻上的能量。 對于電壓： 對于電流： （33） （34） 在上面每一種情況下，能量都是正比于信號幅值平方的積分。若規(guī)定R=1時，上述兩式具有如下相同形式：舉例：矩形脈沖、減幅正弦波、衰減指數(shù)等信號。8第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-1 信號的分類二、能量信號與功率信號 2. 功率信號 問題的提出：有許多信號，如周期信號、隨機信號等，它們在區(qū)間(-，) 內(nèi)能量不是有限值，在這種情況下，研究信號的平均功率更為合適。定義：在所分析的區(qū)間(-，) 內(nèi), 信號具有有限的平均功率。 在區(qū)間 內(nèi) ，信號的平均功率 （3-5） 若區(qū)間變?yōu)闊o窮大時，功率信號滿足條件： （3-

7、6） 一個功率信號在所分析的區(qū)間(-，) 內(nèi)具有無限大能量。而一個能量信號, 則具有零平均功率。9第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-1 信號的分類三、時限與頻限信號 時域有限信號： 定義：是在有限區(qū)間 內(nèi)定義，而其外恒等于零。 舉例：矩形脈沖、 函數(shù)、三角脈沖等。 時域無限信號： 定義：是在無限區(qū)間 內(nèi)定義。 舉例：正弦信號、周期信號等。 頻域有限信號： 定義：是指信號經(jīng)過傅里葉變換，在頻域內(nèi)占據(jù)一定帶寬 ， 其外恒等于零。 舉例：正弦信號、周期信號等。 頻域無限信號： 定義：是指信號經(jīng)過傅里葉變換，在頻域內(nèi)帶寬無限。 舉例：矩形脈沖、 函數(shù)、三角脈沖等。 10第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-1 信號的分類

8、三、時限與頻限信號 說明：時間有限信號的頻譜，在頻率軸上可以延伸至無限遠。由時、頻域?qū)ΨQ性可推論，一個具有有限帶寬的信號，必然在時間軸上延伸至無限遠處。顯然， 一個信號不能夠在時域和頻域都是有限的。 定理：一個嚴格的頻域有限信號，不能同時又是時間有限信號，反之亦然。11第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-1 信號的分類四、連續(xù)時間信號與離散時間信號按照時間函數(shù)取值的連續(xù)性與離散性，分為連續(xù)時間信號與離散時間信號。1.連續(xù)時間信號 定義：在所討論的時間間隔內(nèi)，對于任意時刻 ，除若干個第一類間斷點外，都可給出確定的函數(shù)值，此類信號稱為連續(xù)時間信號或模擬信號。 第一類間斷點應滿足的條件：函數(shù)在間斷點處左極限與

9、右極限存在，且左極限與右極限不等 ， 即：間斷點收斂于左極限與右極限函數(shù)值的中點。 例如：正弦、直流、階躍、鋸齒波、矩形脈沖、截斷信號等，都稱為連續(xù)時間信號，如圖32所示。12第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-1 信號的分類四、連續(xù)時間信號與離散時間信號2. 離散時間信號 定義：在所討論的時間區(qū)間，僅在所規(guī)定的不連續(xù)的瞬時給出函數(shù)值。離散時間信號又稱為時域離散信號或時間序列。 離散時間信號可分為兩種情況：時間離散而幅值連續(xù)時，稱為采樣信號；時間離散而幅值量化時，則稱為數(shù)字信號。 離散時間信號獲得方法：可以從試驗中直接得到，也可以從連續(xù)時間信號中經(jīng)采樣而得到。 13第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-1 信號的分

10、類四、連續(xù)時間信號與離散時間信號 2. 離散時間信號 典型離散時間信號舉例：可將連續(xù)時間信號的變量 t 變?yōu)?n單位采樣序列：用 表示（圖3-3a)，定義為 單位采樣序列又稱為克羅內(nèi)克(Kronecker) 函數(shù)或單位樣值函數(shù)。單位延時 和 k 延時 分別如圖33(b）和(c)所示。14第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-1 信號的分類四、連續(xù)時間信號與離散時間信號2. 離散時間信號 (1) 單位采樣序列 此序列在 n = 0 處取單位值1，其余點上都為零(圖33(a)。單位采樣序列又稱為克羅內(nèi)克(Kronecker) 函數(shù)或單位樣值函數(shù)，它在離散時間系統(tǒng)中的作用，類似于連續(xù)時間系統(tǒng)中的單位脈沖函數(shù) 。

11、但是，應注意它們之間的區(qū)別， 可理解為在t=0 點脈沖寬度趨于零，幅度為無限大的信號；而 在 n=0 點取有限值，等于1。單位延時 和 k 延時 分別如圖33(b)和(c)所示。 15第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-1 信號的分類四、連續(xù)時間信號與離散時間信號 2. 離散時間信號 舉例： (2) 單位階躍序列：定義為單位階躍序列 u(n)、單位延時 u(n-1)、k 延時 u(n-k)，分別如圖34(a)、(b)、(c)所示。單位階躍序列與單位采樣序列之間的關(guān)系為 或16第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-1 信號的分類四、連續(xù)時間信號與離散時間信號 2. 離散時間信號 舉例： (3) 實指數(shù)序列：值為 任意

12、序列(圖35(a)，此處a為實數(shù)。(4) 正弦序列：具有 形式( 圖35(b) 。（5）周期序列：如果對所有n 都滿足x(n)=x(n+N)，則定義x(n) 為周期序列，其周期為 N ，是滿足關(guān)系式的最小正整數(shù)。17第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-1 信號的分類四、連續(xù)時間信號與離散時間信號 2. 離散時間信號 舉例： (6)復指數(shù)序列：其函數(shù)形式及其展開式為 討論：復指數(shù)序列和正弦序列的周期性 若 為一整數(shù)，則 的復指數(shù)序列和正弦序列是周期性序列，其周期為 ； 若 不為整數(shù)，則正弦序列仍是周期性的，但其周期大于 ； 若 不是有理數(shù)，則正弦序列和復指數(shù)序列都不是周期性的。 正弦序列18第三章 信號分

13、析基礎(chǔ) 3-1 信號的分類四、連續(xù)時間信號與離散時間信號 2. 離散時間信號例3-1-l 試求 之周期，并給出此序列之圖形。 解 N 為有理數(shù)，故為周期序列?？苫癁檎麛?shù)的最小倍數(shù)為 3，周期為14，該序列如圖36所示。19第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-1 信號的分類四、連續(xù)時間信號與離散時間信號 2. 離散時間信號 說明：任意序列都可以表示為延遲單位采樣序列的幅值加權(quán)和，即 例如，圖37表示的序列，可用下式表示20第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-1 信號的分類五、物理可實現(xiàn)信號 特征：物理可實現(xiàn)信號又稱為單邊信號，滿足條件： 時， ， 即在時刻小于零的一側(cè)全為零，信號完全由時刻大于零的一側(cè)確定。分析：對

14、于物理系統(tǒng)，當激發(fā)脈沖作用于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)是不會有響應的。換句話說，在零時刻之前，沒有脈沖輸入，則輸出為零，這種性質(zhì)反映了物理上的因果關(guān)系。因此，一個信號要通過一個物理系統(tǒng)來實現(xiàn)，就必須滿足 。 同理，對于離散信號而言，滿足 條件的序列，即稱為因果序列。舉例：在實際中出現(xiàn)的信號，大量的是物理可實現(xiàn)信號，例如，切削過程中，可以把機床、刀具、工件構(gòu)成的工藝系統(tǒng)作為一個物理系統(tǒng)，把工件上的硬質(zhì)點或切削刀具上積屑瘤的突變等，作為振源脈沖，僅僅在該脈沖作用于系統(tǒng)之后，振動傳感器才有描述刀具振動的輸出。 21第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-1 信號的分類六、信號分析中的常用函數(shù) 1. 函數(shù) 函數(shù)表示一瞬間的脈沖

15、，稱之脈沖函數(shù)。在信號分析中非常重要。 1) 函數(shù)的涵義 如果在某一理想條件下，如圖38所示，在 時間內(nèi)，激發(fā)出一個方波 ，并且設(shè)方波面積為 1，則有 當 時，方波的極限就 稱為單位脈沖函數(shù)。22第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-1 信號的分類六、信號分析中的常用函數(shù) 1. 函數(shù)1) 函數(shù)的涵義討論： 從函數(shù)的極限角度看： 從面積角度看： 從物理意義上看： 函數(shù)是一個理想函數(shù)，是一種物理不可實現(xiàn)的信號。因為，當用任何工具產(chǎn)生沖激力時，其延續(xù)時間不可能為零。 函數(shù)在原點為無窮大，表示了當沖激時間 時，其沖激力為無窮大； 函數(shù)的單位為 1 (亦可以是任意數(shù))，則表示了沖激能量為有限值。23第三章 信號分析

16、基礎(chǔ) 3-1 信號的分類六、信號分析中的常用函數(shù) 1. 函數(shù)2) 函數(shù)的性質(zhì)（1）乘積( 抽樣 )特性( 圖39(a) （310） (2) 積分( 篩選 )特性( 圖39(b) （3-11） (3) 卷積特性( 圖39(c) （3-12） 24第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-1 信號的分類六、信號分析中的常用函數(shù) 1. 函數(shù) 2) 函數(shù)的性質(zhì)25第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-1 信號的分類六、信號分析中的常用函數(shù)1. 函數(shù) 3) 函數(shù)的變換 （1）拉氏變換 (2) 傅氏變換26第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-1 信號的分類六、信號分析中的常用函數(shù) 2. sinc(t)函數(shù) sinc(t)函數(shù)又稱為閘門(或抽樣

17、)函數(shù)、濾波函數(shù)或內(nèi)插函數(shù)，在許多場合下頻繁出現(xiàn)。其定義為 或 27第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-1 信號的分類六、信號分析中的常用函數(shù) 2. sinc(t) 函數(shù) 如圖310所示，它是一個偶函數(shù)，在 t 的正、負方向幅值逐漸衰減，當t = 、2、n時，函數(shù)值為零； t = 0 時，函數(shù)值為 1。 sinc(t) 函數(shù)所以稱為閘門(或抽樣)函數(shù)，是因為矩形脈沖的頻譜為sinc(t) 函數(shù)；所以稱為濾波函數(shù)，是因為任意信號與sinc(t) 函數(shù)進行時域卷積時，實現(xiàn)低通濾波；所以稱為內(nèi)插函數(shù)，是因為采樣信號復原時，在時域由許多sinc(t) 函數(shù)疊加而成，構(gòu)成非采樣點的波形。28第三章 信號分析基礎(chǔ)

18、3-1 信號的分類六、信號分析中的常用函數(shù) 3.復指數(shù)函數(shù) 復指數(shù)函數(shù)表達式： ，又稱永存指數(shù)，在信號分析中占 有特殊地位。其指數(shù) ，是一個復數(shù)，依據(jù)取值不同，函 數(shù) 可以概括信號分析中所遇到的多種波形。例如：（1） 當 s 為實數(shù)，即 時，如果 ，則表示升、降指數(shù)函數(shù)； 時，則表示直流信號。（2）當 s 為虛數(shù)，即 , 時， 實部 表示余弦; 虛部 表示正弦。 （3） 當 s 為復數(shù)，即 ， 時， 實部 表示余弦指數(shù); 虛部 表示正弦指數(shù).29第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-1 信號的分類六、信號分析中的常用函數(shù) 3.復指數(shù)函數(shù)復指數(shù)函數(shù)的圖形：將上述各種情況表示在 s 平面上，如圖311所示。可

19、以看出，s 平面上的每一點都和一定的函數(shù)模式相對應。(說明見教材P36）30第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-1 信號的分類六、信號分析中的常用函數(shù) 3.復指數(shù)函數(shù) 復指數(shù)函數(shù)的一些重要性質(zhì) (1) 根據(jù)函數(shù)的傅里葉級數(shù)與傅里葉變換可知，實際中遇到的任何時間函數(shù)，總可以表示成為復指數(shù)函數(shù)的離散和與連續(xù)和。表明其通用性。離散和 ； 連續(xù)和 (2) 復指數(shù)函數(shù) 的微分、積分或通過線性系統(tǒng)時，總會存在于所分析的函數(shù)之中，即 微分 ；積分 通過線性系統(tǒng) 式中， 表示系統(tǒng)傳遞函數(shù)。這表明了 函數(shù)的永存性質(zhì)。 31第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-2 信號的時域統(tǒng)計分析 信號的時域統(tǒng)計分析，可以求得信號的均值、均方值、方

20、差以及概率密度函數(shù)等。 一、均值：均值 表示集合平均值或數(shù)學期望值。對于隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)信號，可用時間間隔T 內(nèi)的幅值平均值表示，即均值 x 表達了信號變化的中心趨勢，或稱之為直流分量、靜態(tài)量。 二、均方值：信號x(t) 的均方值 ，或稱平均功率 ，其表達式為 值表達了信號的強度，其正平方根稱為均方根值，又稱有效值 ，也是信號的平均能量的一種表達。32第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-2 信號的時域統(tǒng)計分析三、方差：信號x( t )的方差定義為 或 S 稱為均方差或標準差，描述了信號的波動量。 可以證明， 具有下述關(guān)系： 33第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-2 信號的時域統(tǒng)計分析 四、概率密度函數(shù) 定義：

21、 隨機信號的概率密度函數(shù)定義為 對于各態(tài)歷經(jīng)過程，有式中， 表示瞬時值落在增量 范圍內(nèi)可能出現(xiàn)的概 率； 表示信號瞬時值落在區(qū)間的時間；T 表示分析時間。所求得的概率密度函數(shù) P(x) 是信號 x(t) 的幅值x 的函數(shù)。圖312中，(a)表示了信號 x(t) 的時域圖形；(b) 則表示了P(x)x 關(guān)系，橫坐標為幅值x ，故而有時將信號的概率密度函數(shù)分析也稱之為幅值域分析。34第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-2 信號的時域統(tǒng)計分析 四、概率密度函數(shù) 定義： 正常工作的機械設(shè)備在隨機干擾作用下，其性能參數(shù)的變化按正態(tài)分布。35第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-2 信號的時域統(tǒng)計分析 四、概率密度函數(shù)用概率密

22、度函數(shù)表示均值、均方值及方差：根據(jù)概率論關(guān)于矩函數(shù)計算，有：一階原點矩 （317） 二階原點矩 （318）二階中心矩 （319） 討論：均值 是信號x(t)在所有幅值 x 上的加權(quán)線性和；均方值 是在 值上的加權(quán)線性和；方差則是在 值上的加權(quán)線性和。權(quán)函數(shù)是幅值 x 在微小區(qū)間 內(nèi)出現(xiàn)的概率。 36第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-2 信號的時域統(tǒng)計分析五、概率分布函數(shù)定義：概率分布函數(shù)是信號幅值 x 小于或等于某值R 的概率，其表達式為 （3-20） 概率分布函數(shù)又稱累積概率，表示了落在某一區(qū)間的概率，亦可寫成37第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-2 信號的時域統(tǒng)計分析例 3-2-l 已知正弦信號 ， 試求

23、其概率密度函數(shù) p（x），概率分布函數(shù)F(x)，均值 ，均方值 ，方差 。 解: 現(xiàn)在研究一個周期(T =2/0)內(nèi)的情況，如圖313所示。 （0 t +）= arc sin(x/A) 38第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-2 信號的時域統(tǒng)計分析 例 3-2-1 39第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-2 信號的時域統(tǒng)計分析例 3-2-1 因為 x = 0，所以 。40第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-2 信號的時域統(tǒng)計分析五、概率分布函數(shù) 典型信號的概率密度函數(shù)及概率分布函數(shù)如圖314所示。 41第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-2 信號的時域統(tǒng)計分析六. 信號分析其他常用指標 1. 偏態(tài)指標K3和峭度指標K4：用來檢驗信號

24、偏離正態(tài)分布的程度 偏態(tài)指標K3： 其離散化計算公式為： 采用立方運算是對非對稱性進行加權(quán)處理，用5、7等奇數(shù)次方均可，但運算量較大。 K3絕對值愈大，偏斜程度愈大。 42第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-2 信號的時域統(tǒng)計分析六. 信號分析其他常用指標 1. 偏態(tài)指標K3和峭度指標K4峭度指標K4 ： 其離散化計算公式為： 采用4次方運算，是對(x -x)進行加權(quán)處理，用6、8等偶數(shù)次方運算亦可。 K4愈大p(x)曲線愈陡。（高斯信號的峭度指標 K4 = 3） 43第三章 信號分析基礎(chǔ) 3-2 信號的時域統(tǒng)計分析六. 信號分析其他常用指標 1. 偏態(tài)指標K3和峭度指標K4 若信號x(t)為反映機械狀態(tài)的參量，則K3、K4的絕對值愈大，說明機器愈偏離其正常狀態(tài)，因此，偏態(tài)指標K3和峭度指標K4均可用于機械設(shè)備的故障診斷。 44第