1、關(guān)于線性微分方程的一般理論第一張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月2 在微分方程的理論中，線性微分方程是非常值得重視的一部分內(nèi)容，這不僅因?yàn)榫€性微分方程的一般理論已被研究得十分清楚，而且還因?yàn)榫€性微分方程是研究非線性微分方程的基礎(chǔ)，同時(shí)它在物理、力學(xué)和工程技術(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用。所以，本章著重討論線性微分方程的基本理論和常系數(shù)線性微分方程的解法，對于高階微分方程的降階問題和二階變系數(shù)線性微分方程的冪級數(shù)解法也作適當(dāng)?shù)亟榻B。第二張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月3主要內(nèi)容 線性微分方程的一般理論 常系數(shù)線性微分方程的解法 高階微分方程的降階和冪級數(shù)解法重點(diǎn) 線性微分方程的基本理論

2、常系數(shù)線性微分方程的解法 第三張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月44.1 線性微分方程的一般理論 第四張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月5一、解的存在唯一性定理1 n階線性微分方程定義1第五張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月6第六張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月72 解的存在唯一性定理定理1第七張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月8二、齊線性方程的解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)定理21 疊加原理容易看出，齊次線性方程恒有零解。第八張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月9證明:故有第九張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月10例1的解.解:第十張，PPT共三十七頁

3、，創(chuàng)作于2022年6月112、函數(shù)的線性相關(guān)性考慮定義在區(qū)間 上的函數(shù) ，如果存在不全為零的常數(shù) ，使得恒等式對于所有 都成立，則稱這些函數(shù)是線性相關(guān)的，否則就稱這些函數(shù)在區(qū)間a,b上是線性無關(guān)的。問題： 在什么樣的條件下，表達(dá)式（4.4）能夠構(gòu)成為n階齊次線性方程（4.2）的通解？第十一張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月12例2 考慮函數(shù)組的線性相關(guān)性解： 第十二張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月13例3 函數(shù)組線性無關(guān)。此恒等式如果成立，也就是a,b中的每一個(gè)t都是這個(gè)方程的根，因此有無窮多個(gè)根。另一方面，如果有一個(gè)系數(shù)不為0，則是一個(gè)不超過n次的代數(shù)方程，最多有n個(gè)根。分

4、析：我們假設(shè)存在第十三張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月14定義23 伏朗斯基(Wronsky)行列式第十四張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月154 函數(shù)的線性相關(guān)性與其Wronsky行列式的關(guān)系(1)定理3證明:使得第十五張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月16由線性代數(shù)理論知要使方程組存在非零解,則它的系數(shù)行列式必為零,第十六張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月17注定理3的逆不成立.如函數(shù)事實(shí)上,若有恒等式則第十七張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月18推論(2)定理4證明:“反證”第十八張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月19現(xiàn)以這組常數(shù)構(gòu)造函數(shù)

5、,由定理2知,又因?yàn)榈谑艔垼琍PT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月20由解的唯一性定理知第二十張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月21 注釋：根據(jù)定理3和定理4知道，由n 階齊次線性方程（4.2）的n個(gè)解構(gòu)成的伏朗斯基行列式，或恒等于零，或在方程的系數(shù)為連續(xù)的區(qū)間內(nèi)處處不等于零。并根據(jù)定理1，構(gòu)造一組初始條件：滿足這組初始條件的解 一定存在，且又因?yàn)?, 由定理3知道，這n個(gè)解一定是線性無關(guān)的。于是有5、通解結(jié)構(gòu)定理第二十一張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月22定理5 n階齊次線性方程（4.2）一定存在n個(gè)線性無關(guān)的解。定理6（通解結(jié)構(gòu)定理） 如果 是方程（4.2）的n個(gè)線性無

6、關(guān)的解，則方程（4.2）的通解可表為 （4.11）其中 是任意常數(shù)。且通解（4.11）包括了方程（4.2）的所有解。第二十二張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月23推論：方程（4.2）的線性無關(guān)解的最大個(gè)數(shù)等于n。n階齊次線性微分方程的所有解構(gòu)成一個(gè)n維線性空間。定義 把方程（4.2）的一組n個(gè)線性無關(guān)解稱為方程的一個(gè)基本解組。顯然,基本解組不唯一。特別地，當(dāng) 時(shí)稱其為標(biāo)準(zhǔn)基本解組。例1 已知方程 ，證明cost及sint為它的基本解組, 并寫出它的通解。分析：按定義證明即可。第二十三張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月24補(bǔ)充結(jié)論：齊次方程（4.2）的解與它的系數(shù)之間有如下關(guān)系：

7、上述關(guān)系稱為劉維爾（Liouville）公式。第二十四張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月n級行列式函數(shù)的求導(dǎo)：引理：設(shè)函數(shù)f ij ( x) ( i , j = 1 ,2 , , n) 在區(qū)間I 內(nèi)可導(dǎo),則行列式函數(shù)在區(qū)間I 內(nèi)也可導(dǎo)，且有第二十五張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月26由劉維爾公式可以看出齊次方程（4.2）的伏朗斯基行列式的重要性質(zhì)：1.W(t)在區(qū)間a, b上某一點(diǎn)為零，則在整個(gè)區(qū)間上恒為零。2.W(t)在區(qū)間a, b上某一點(diǎn)不等于零，則在整個(gè)區(qū)間上恒不為零。重要定理：第二十六張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月27性質(zhì)2 方程（4.1）的任意兩個(gè)解之差

8、必為方程(4.2)的解。其中 為任意常數(shù)，而且這個(gè)通解（4.14）包括了方程（4.1）的所有解。4.1.3 非齊次線性方程與常數(shù)變易法性質(zhì)1 如果 是方程（4.1）的解，而 是方程（4.2）的解， 則 也是方程（4.1）的解。定理7 設(shè) 為方程（4.2）的基本解組，而 是方程（4.1）的某一個(gè)解，則方程（4.1）的通解可表為1、基本性質(zhì)和定理第二十七張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月28回想一階線性非齊次微分方程的解法-常數(shù)變易法第二十八張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月293 常數(shù)變易法則為方程(4.2)的通解.此時(shí)(4.15)變?yōu)閷⑺?4.1),第二十九張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月30 在理論上,這些另加條件可以任意給出,但為了運(yùn)算方便,我們按下面方法來給出這n-1個(gè)條件,令得第三十張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月31和表達(dá)式繼續(xù)上面做法,直到獲得第n-1個(gè)條件和表達(dá)式第三十一張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月32第三十二張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月33因而方程組的解可唯一確定,設(shè)由上面方程求得積分得第三十三張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月34第三十四張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月35例3解:利用常數(shù)變易法,