1、(LHospital)法則0以及 型00 , , 00 ,1 , 0型2012年11月航空航天大學 理學院 數(shù)學系10型未定式解法 :一、 型及0法則如果當x a(或x )時,兩個函數(shù)f ( x)定義與F ( x)都趨于零或都趨于無窮大,那末極限f ( x) 稱為0 或 型未定式.limxa( x )F ( x)0lim lnsin ax , ( )lim tan x , ( 0 )例如,x0 lnsin bxx0 x02012年11月航空航天大學 理學院 數(shù)學系2定理 設(1)當x x0時,函數(shù)f ( x) 及 F ( x) 都趨于零;(2) 在a 點的某領域內(點 a 本身可以除外), f

2、 ( x)及 F ( x) 都存在且 F ( x) 0;(3) lim f ( x) 存在(或為無窮大);F ( x)xa那末 lim f ( x) lim f ( x) .F ( x)F ( x)xaxa2012年11月航空航天大學 理學院 數(shù)學系3定義這種在一定條件下通過分子分母分別求導再法則.求極限來確定未定式的值的方法稱為當x 時,以及x a, x 時,該法則仍然成立.2012年11月航空航天大學 理學院 數(shù)學系4證定義輔助函數(shù)f ( x) f ( x),x a,F ( x) F( x),x a,11x ax a0,0,在 U 0 (a, ) 內任取一點 x,在以 a 與 x 為端點的

3、區(qū)間上,f1( x), F1( x)滿足中值定理的條件,則有f ( )f ( x) f ( x) f (a)(在x與a之間)F ( )F( x) F (a )F ( x)f ( x) A,f ( ) A,limlim當x a時, a,F ( x)F ( )xa alim f ( x) lim f ( ) A.F ( )F ( x)xa a2012年11月航空航天大學 理學院 數(shù)學系5設定理2(1)當x x0時,函數(shù)f ( x) 及 F ( x) 都趨于無窮大;(2) 在a 點的某領域內(點 a 本身可以除外), f ( x)及 F ( x) 都存在且 F ( x) 0;(3) lim f (

4、x) 存在(或為無窮大);F ( x)xaf ( x) lim f ( x) .則limF ( x)F ( x)xaxa2012年11月航空航天大學 理學院 數(shù)學系6( 0 )求lim tan x .例10 xx0原式 lim(tan x) limsec2x 1.解( x)1x0 x0 x3 3x 2 100求lim.例2()x13x2 36 x3原式 lim lim解. 2 x 12x1 6 x 2x1 3 x22012年11月航空航天大學 理學院 數(shù)學系7求lim lnsin ax .( )例3x0 lnsin bx原式 lim a cos ax sin bx lim cos bx 1.解

5、x0 bcos bx sin axcos axx0 arctan x( 0 )2例4求 lim.1x0 x12x1 x2原式 1.lim解lim1x 1 x2xx22012年11月航空航天大學 理學院 數(shù)學系8( )tan x求lim.例5x tan 3 x2sec2cos2 3 xx1原式 lim解lim22x 3sec3 x3 xcos x22 1 lim 6cos 3 x sin 3 x lim sin 6 x2cos x sin x3 xx sin 2 x22 lim 6cos6 x 3.x 2cos 2 x22012年11月航空航天大學 理學院 數(shù)學系9注意：法則是求未定式的一種有效

6、方法，但與其它求極限方法結合使用，效果更好.求lim tan x x .例6x2 tan xx0sec2 x 1tan x x lim原式 lim解233 xxx0 x02 lim 2sec x tan x 1 lim tan x 1 .6 x3x3x0 x02012年11月航空航天大學 理學院 數(shù)學系10特別是等價無窮小替換二、0 , ,00 ,1 ,0型未定式解法關鍵: 將其它類型未定式化為的類型！法則可解決002012年11月航空航天大學 理學院 數(shù)學系111. 0 型1 ,或 0 0 1 .0 步驟:0求 lim x2ex .( 0 )例7xexexex lim .原式limlim解2

7、2x 2 xxx2012年11月航空航天大學 理學院 數(shù)學系122. 型 0 0 .步驟: 1 10 00011 ).( )例8求l原式 lim x sin x解x sin xx01 cos x lim 0.x0 sin2012年11月航空航天大學 理學院 數(shù)學系133. 00 ,1 ,0型步驟:000 ln 0 0 .1 ln10 ln 取對數(shù)0 2012年11月航空航天大學 理學院 數(shù)學系14( 00)求 lim xx .例9x0ln xlimx 01x elim x ln x原式 lim ex ln x解 e x 0 x01 x lim1x2x0 e0 e 1.1( 1)求lim x1

8、x .例10 x111lim ln xxln xlim原式 lim e1 x e x11 x e1. e x11解x12012年11月航空航天大學 理學院 數(shù)學系151( 0 )例11求 lim (cot x)ln x .x01)取對數(shù)得 (cot x)ln,解112cot xsin1x lim)x0 xxcos x sin x 1, lim1原式 e.x02012年11月航空航天大學 理學院 數(shù)學系16注:1.應用洛法則時必須注意是否滿足法則的條件a)是不是未定式b)導數(shù)比的極限存在否？c)連續(xù)使用洛法則時必須步步檢查條件是否滿足，否則也會出錯，2012年11月航空航天大學 理學院 數(shù)學系1

9、72有時可作適當變換或每用一次都檢查一下，是否有些因子極限可先求出，或用等價無窮小量、無窮大量替換，然后化簡。3對數(shù)列的未定式極限不能直接應用洛則，（對離散變量不能求導），但可利用定理先求出相應形式的函數(shù)極限而得到結果。法2012年11月航空航天大學 理學院 數(shù)學系18x cos x求 lim.例12xx原式 lim 1 sin x lim(1 sin x).解1xx極限不存在法則失效。原式) 1.2012年11月航空航天大學 理學院 數(shù)學系19求一個n次多項式例13 aP ( x) aa x ax2xn，n使012n P ( x) o( xn ).exn2012年11月航空航天大學 理學院

10、數(shù)學系20三、小結法則0 0 ,1 , 0 型令y f取對數(shù)g0 型00 型g 1f g 1f型1 g 1 fff g 1 g2012年11月航空航天大學 理學院 數(shù)學系21 型思考題f ( x)g( x)f ( x)設lim是不定型極限，如果的極g( x)f ( x)限不存在，是否的極限也一定不存在？g( x)舉例說明.2012年11月航空航天大學 理學院 數(shù)學系22思考題解答不一定g( x) x例f (,lim f ( x) lim 1 cos x顯然極限不存在g( x)1xxlim f ( x) lim x sin x 1但極限存在g( x)xxx2012年11月航空航天大學 理學院 數(shù)

11、學系23練習題一、填空題：法則除了可用于求“ 0 ”，及“ ”兩種類1、0型的未定式的極限外，也可通過變換解決_，_，_，_，_，等型的未定式.的求極限2、 lim ln(1 x)=_.xx 03、lim ln tan 7 x =_.ln tan 2 xx 02012年11月航空航天大學 理學院 數(shù)學系24二、用法則求下列極限：ln(1 1 )lnsin xx1、lim2、 lim；x ( 2 x)2x arctan x2214、l)；3、lim x cot 2 x ； 1x 06、lim ( 1 )tan x ；5、lim x sin x ；xx0 x0lim ( 2 arctan x)x7、.x2012年11月航空航天大學 理學院 數(shù)學系