1、學生面試問題中教師人數(shù)的下界論文導讀：利用mathematica軟件編程可得到任兩位學生的面試組;都沒有兩位以及三位面試老師相同的情形下的求解結果。在本問題中任兩位學生的面試組;沒有兩位面試老師相同的情形是BIBDM，4，1。從問題的分析與求解中看出雖然數(shù)據(jù)擬合、圖論和組合數(shù)學中平衡不完全區(qū)組設計BIBD的三種方法雖然方法不同，處理角度各異。關鍵詞：數(shù)據(jù)擬合，mathematica，平衡不完全區(qū)組設計，BIBD0背景高校自主招生是高考改革中的一項新生事物，并且有日益擴大的趨勢。本問題的提出可視為這種現(xiàn)實趨勢的一種反映。問題如下：某高校擬在全面衡量考生的高中學習成績及綜合表現(xiàn)后再采用專家面試的方

2、式?jīng)Q定錄取與否。該校在今年自主招生中，經(jīng)過初選合格進入面試的考生有N人，擬聘請老師M人。每位學生要分別接受4位老師簡稱該學生的面試組;的單獨面試。面試時各位老師獨立地對考生提問并根據(jù)其答復下列問題的情況給出評分。免費論文參考網(wǎng)。由于這是一項主觀性很強的評價工作，老師的專業(yè)可能不同，他們的提問內容、提問方式以及評分習慣也會有較大差異，因此面試同一位考生的面試組;的具體組成不同會對錄取結果產生影響。免費論文參考網(wǎng)。為了保證面試工作的公平性，設考生數(shù)N，在滿足面試不同考生的面試組;成員不能完全相同條件下說明聘請老師數(shù)M至少分別應為多大，才能做到任兩位學生的面試組;都沒有兩位以及三位面試老師相同的情形

3、。免費論文參考網(wǎng)。1根本假設根據(jù)以上問題及實際情況建立如下假設：1 各位老師對考生提出的問題難度系數(shù)均衡，保證評價的客觀性和科學性；2不考慮面試先后對錄取結果產生的影響；3不考慮分配方案可能造成的面試時間沖突；4不考慮面試中學生的等待時間和教師的休息時間；5不考慮將任意兩個老師分配到同一組中可能造成的情緒影響；6任意兩名老師面試同一名學生時得到的錄取與否的結論是一致的，即不考慮由于面試組老師搭配的不同而對錄取結果產生的影響。2符號說明：學生的總人數(shù)；老師的總人數(shù)；3問題的分析與求解3.1利用mathematica進行多項式擬合求解上界利用mathematica軟件編程可得到任兩位學生的面試組;

4、都沒有兩位以及三位面試老師相同的情形下的求解結果。1任兩位學生的面試組;沒有兩位面試老師相同的情形考慮到在約束不苛刻的情況下，當老師人數(shù)為40時它的全排列就到達91390，也就是說40個老師最多可以面試91390個學生。這是相當大的數(shù)！所以在求解的過程中選定面試老師人數(shù)的變化范圍為440來考察面試老師人數(shù)與學生人數(shù)之間的關系具體結果見表1和圖1。表1 沒有兩位老師相同的情形下，老師人數(shù)與學生人數(shù)之間的關系表格 M 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 N 1 1 1 2 2 3 3 6 9 13 13 13 15 17 20 20 M 20 21

5、22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 N 21 26 30 33 35 37 42 45 48 50 55 59 64 68 73 77 M 36 37 38 39 40 N 80 86 88 95 99 由表1可見面試老師人數(shù)與學生人數(shù)之間沒有明顯的規(guī)律。利用mathematica擬合出面試老師人數(shù)與學生人數(shù)之間的關系函數(shù)：N=0.063816M2-0.043323M-0.722367圖1 沒有兩位老師面試老師相同的情形下，老師人數(shù)與學生人數(shù)的擬合曲線*代表實際數(shù)據(jù)2任兩位學生的面試組;沒有三位面試老師相同的情形由于任兩位學生的面試組;沒有三位面

6、試老師相同的限制條件比任兩位學生的面試組;沒有兩位面試老師相同的限制條件要寬，從而使老師人數(shù)相同下，可面試的學生人數(shù)迅速增大，所以我們選定面試老師人數(shù)的變化范圍為432，來考察面試老師人數(shù)與學生人數(shù)之間的關系，具體結果見表2和圖2。表2 沒有三位老師相同的情形下，老師人數(shù)與學生人數(shù)之間的關系表格 M 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 N 1 1 3 7 14 14 18 26 39 55 77 105 140 140 148 M 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 N 164 189 221 263 3

7、15 378 442 518 606 707 819 945 1085 1240 由表2可見利用mathematica擬合出面試老師人數(shù)與學生人數(shù)之間的關系函數(shù)：N=-147.785+42.2974x-3.41509x2+0.107292x3圖2 沒有三位老師面試老師相同的情形下，老師人數(shù)與學生人數(shù)的擬合效果圖*代表實際數(shù)據(jù)3.2運用圖論知識求解設G為n階無向簡單圖，假設G中的每個點均與其余的n-1個頂點相鄰，那么稱G為n階無向完全圖，記為【2】.如四階完全圖。1任兩位學生的面試組;沒有兩位面試老師相同的情形如果用G的每個頂點來表示不同的老師，用邊表示老師在同一個面試組;這一關系，那么G中無邊

8、重復的K4圖就對應了一個面試組;方案。同時每有一個面試方案就意味著老師可以接受一個考生的面試請求。于是本問題就等價于下面一個對偶的圖論問題：對偶命題：設G是一個n階無向完全圖，當G中無重復邊的的個數(shù)為N時求能夠滿足條件的最小的n值。定理:對于一個n階完全圖G，N表示G中無重復邊的的個數(shù)，那么必有：證明：對于G來說，從中每刪除一個子圖，G的邊就將減少6條。那么G能提供的的最大個數(shù)為：，進一步有化簡后 那么有2任兩位學生的面試組;沒有三位面試老師相同的情形和最多一位面試老師相同的情形類似，此時每個學生的面試組中四個教師根本關系：; ;必要條件：; ;證明：從v個不同的元素中任意取k個元素構成 k-

9、子集組合數(shù)為：(1)此時任意一個元素出現(xiàn)的次數(shù)為(2)任意一個元素同時出現(xiàn)的區(qū)組中次數(shù)為:(3)如果要求從任意一對元素出現(xiàn)在區(qū)間中的次數(shù)為次，0，那么不難看出, k-子集數(shù)要減少為原來的/0即：(4)此時任意一個元素出現(xiàn)的次數(shù)也相應的減少為原來的/0,即：(5)(4)(5)是(b,v,r,k,參數(shù)的根本關系，由(4)(5)立即可以推出兩個必要條件。如果將每個教師都看成一個點，共有M個點，教師集合，每個學生的面試組是從中選取4個點構成的4長區(qū)組。任意兩個不同老師中的兩個點都在4長區(qū)組出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次，即分配方案中中的兩個點在N個區(qū)組中恰恰1次出現(xiàn)；對任意老師i來說，他與其它老師兩兩組合的2-子集

10、共有(M-1)種，假設學生j的面試組;出現(xiàn)老師i，在該組中與i老師兩兩組合共有3種情形，那么該老師面試的學生數(shù)為(M-1)/3，由于老師i是任意選擇的，所以其它所有老師面試的學生數(shù)也為(M-1)/3。那么中的每個點在N個區(qū)組中出現(xiàn)的次數(shù)相同；由于N1，顯然，老師數(shù)M，即k在本問題中任兩位學生的面試組;沒有兩位面試老師相同的情形是BIBDM，4，1；任兩位學生的面試組;沒有三位面試老師相同的情形是BIBDM，4，2。根據(jù)BIBD的參數(shù)必要條件得到教師和學生人數(shù)的關系。證明：根據(jù)BIBDM，4，1的參數(shù)必要條件得到：計算得出：在非理想狀態(tài)下，老師的資源受約束條件的限制而沒有得到最大限度的利用，所以

11、老師的數(shù)量比上式計算出的值大。綜合以上情況，得到；根據(jù)BIBDM，4，2的參數(shù)必要條件得到：得到M(M-1)(M-2)=24N。解得在非理想狀態(tài)下M的下界為上式等號右邊的式子。4.結論從問題的分析與求解中看出雖然數(shù)據(jù)擬合、圖論和組合數(shù)學中平衡不完全區(qū)組設計BIBD的三種方法雖然方法不同，處理角度各異。但都能找到面試中教師人數(shù)的上界。都是好方法。尤其是圖論和BIBD的方法顯得尤為簡單。參考文獻【1】 Brualdi, 馮舜璽，羅平，盧開澄等組合數(shù)學北京：機械工業(yè)出版社，2004，231239【2】 Douglas B West,李建中，駱吉洲圖論導引北京：機械工業(yè)出版社，2006，171183The least numbers of teacher in the recruitst