1、第七節(jié)立體幾何中的向量方法(理)時(shí)間：45分鐘分值：75分一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1如果平面的一條斜線與它在這個(gè)平面上的射影的方向向量分別是a(1,0,1)，b(0,1,1)，那么這條斜線與平面所成的角是()A90B60C45D30解析|a|2，|b|2，cosa，bab1.又，(0，90)，|a|b|2aba，b60.答案B2(2014珠海模擬)已知AB(1,5，2)，BC(3,1，z)，若ABBC，BP(x1，y，3)，且BP平面ABC，則實(shí)數(shù)x，y，z分別為()33154015A.7，7，4B.7，7，44040C.7，2,4D4，7，15解析ABBC，AB0，

2、即352z0，得z4，又BP平面ABC，BC40 x15y60，x7，BPAB，BPBC，BC(3,1,4)，則1，解得153xy120y7.答案B3長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E為CC1的中點(diǎn)，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為()A.10B.301010C.215D.3101010解析建立空間直角坐標(biāo)系如圖則A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)BC1(1,0,2)，AE(1,2,1)，BC1AE30cosBC1，AE10.|BC1|AE|30所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為10.答案B4在90的二面角的棱上有A，B

3、兩點(diǎn)，AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，且都垂直于棱AB，已知AB5，AC3，CD52，則BD()A4B5C6D7解析由條件知ACAB，BDAB，ACBD，又CDCAABBD，CD2(CAABBD)2|CA|2|AB|2|BD|23252|BD|2(52)2，|BD|216，BD4.答案A5已知長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，則直線BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值為()A.3B.522C.10D.10510解析如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B(4,0,0)，C(4,4,0)，C1(4,4,2)，顯然AC平面BB1D1D，AC(4,4,0)為平面BB1D1D的一個(gè)法

4、向量又BC1(0,4,2)，cosBC1，ACBC1AC|BC1|AC|16110.16416165即BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為10.5答案C6(2014德州調(diào)研)二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD217，則該二面角的大小為()A150B45C60D120解析由題意知AC與BD所成角即為該二面角的平面角CDCAABBD，CD2CA2AB2BD22CAAB2ABBD2CABD.(217)26242822|CA|BD|cosCA，BD116268cosCA，BD1cosCA，BD2，CA，BD120.

5、AC，BD60，該二面角的大小為60.答案C二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7.(2014濰坊考試)如圖，平行六面體ABCDA1B1C1D1，若ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AA11，A1ADA1AB60，則BD1的長(zhǎng)為_解析BD1BABCBB1，|BD1|2(BABCBB1)29，故BD13.答案38(2013懷化模擬)如圖，在直三棱柱中，ACB90，ACBC1，側(cè)棱AA12，M為A的中點(diǎn)，則AM與平面AA1C1C所成角的正切值為1B1_解析以C1為原點(diǎn)，C1A1，C1B1，C1C所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則平面AA1C1C的法向量為n(0,1,0)，AM

6、1，1，0(1,0，2)221，1，2AMAA1C1C，則直線與平面，22所成角的正弦值為sin|cosAMn|AMn|1，tan1|103.|AM|n|答案139如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC1，AA12，B1A1C190，D為BB的中點(diǎn)，則異面直線C與A1C所成角的余弦值為11D_解析以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，A1(0,0,2)，C(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,1,2)，則C1D(1，1，1)，A1C(0,1，2)，|C1D|3，|A1C|5，C1DA1C1，C1DA1C15，cosC1D，A1C15|C1D|A1C|15故異面直線C1D與A1C所成角

7、的余弦值為15.15答案15三、解答題(本大題共3小題，每小題10分，共30分)10(2013江蘇卷)如圖，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值解(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以A1B(2,0，4)，C1D(1，1，4)因?yàn)閏osA1B，C1DA1BC1|A1B|C1D|所以異面直線A

8、1B與C1D所成角的余弦值為310.10(2)設(shè)平面ADC1的法向量為n1(x，y，z)，因?yàn)锳D(1,1,0)，AC1(0,2,4)，所以n1AD0，n1AC10，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以，n1(2，2,1)是平面ADC1的一個(gè)法向量取平面ABA1的一個(gè)法向量為n2(0,1,0)，設(shè)平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為.由|cos|n1n2|22，得sin5.|n1|n2|91335因此，平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為3.11(2013福建卷)如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側(cè)棱AA1底面ABCD，ABDC，AA11，AB3k，AD4k

9、，BC5k，DC6k(k0)(1)求證：CD平面ADD1A1；6(2)若直線AA1與平面AB1C所成角的正弦值為7，求k的值解(1)證明：取CD的中點(diǎn)E，連接BE.ABDE，ABDE3k，四邊形ABED為平行四邊形，BEAD且BEAD4k.在BCE中，BE4k，CE3k，BC5k，BE2CE2BC2.BEC90，即BECD.又BEAD，CDAD.AA1平面ABCD，CD?平面ABCD，AA1CD.又AA1ADA，CD平面ADD1A1.(2)以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k，3k,1)，A

10、1(4k,0,1)，所以AC(4k,6k,0)，AB1(0,3k,1)，AA1(0,0,1)設(shè)平面AB1C的法向量n(x，y，z)，ACn0，則由AB1n0，4kx6ky0，得3kyz0.取y2，得n(3,2，6k)設(shè)AA1與平面AB1C所成角為，則|AA1n|6k6sin|cosAA1，n|7，36k213|AA1|n|解得k1，故所求k的值為1.12(2014石家莊質(zhì)檢)如圖，已知三棱柱ABCA1B1C1，側(cè)面BCC1B1底面ABC.(1)若M，N分別是AB，A1C的中點(diǎn)，求證：MN平面BCC1B1；(2)若三棱柱ABCA1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2，側(cè)棱BB1與底面ABC所成的角為60，問(wèn)在

11、線段A1C1上是否存在一點(diǎn)P，使得平面B1CP平面ACC1A1？若存在，求C1P與PA1的比值，若不存在，說(shuō)明理由解(1)證明：連接AC1，BC1，則ANNC1，因?yàn)锳MMB，所以MNBC1.又BC1?平面BCC1B1，MN?平面BCC1B1，所以MN平面BCC1B1.(2)作B1OBC于O點(diǎn)，連接AO，因?yàn)槠矫鍮CC1B1底面ABC，所以B1平面ABC.O以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，3，0)，B(1,0,0)，C(1,0,0)，B1(0，0，3)由AA1CC1BB1，可求出A1(1，3，3)，C1(2,0，3)，假設(shè)在線段A1C1上存在一點(diǎn)P，使得平面B1CP平面ACC1A1，設(shè)A1C1A1P(0且1)，則可以求得P(11，33，3)，33，(1，3)，CB1(1,