1、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理論探討鮑建生蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院提綱I.前言II. 范希爾的幾何思維水平III. 克魯切茨基的數(shù)學(xué)能力心理學(xué)IV. 韜爾的高等數(shù)學(xué)思維研究V. 安德森的ACT-R理論VI. 杜賓斯基的APOS理論I. 前言呼喚數(shù)學(xué)領(lǐng)域自身的學(xué)習(xí)理論！理論的意義支持預(yù)測；為研究提供框架；具有解釋的能力；能夠應(yīng)用于廣泛的現(xiàn)象；有助于組織對復(fù)雜的相關(guān)現(xiàn)象的思考；作為數(shù)據(jù)分析的工具；提供一種深層次的交流觀點(diǎn)的語言。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域的理論建構(gòu)兩條途徑：第一條途徑是“一般學(xué)習(xí)理論 + 數(shù)學(xué)例子”，也就是將一般的學(xué)習(xí)原理應(yīng)用于具體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境，然后根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)修正原來的理論，或者提出新的假設(shè)去尋找更合適的理

2、論依據(jù)。另外一條途徑則源自數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的問題與經(jīng)驗(yàn), 通過建立模型去解釋數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理過程。這一類研究人員通常是數(shù)學(xué)專業(yè)出生，對數(shù)學(xué)有較為深入的理解，但在教育學(xué)和心理學(xué)的理論功底上有所欠缺，其研究的重點(diǎn)主要在于大學(xué)生和中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。相比之下，心理學(xué)界對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的討論主要集中在小學(xué)階段。 學(xué)習(xí)理論研究的趨勢：走進(jìn)課堂 三十年前, 教育工作者們很少關(guān)注認(rèn)知科學(xué)家的工作, 在認(rèn)知科學(xué)研究的初期, 研究者們的工作是遠(yuǎn)離課堂的. 今天, 認(rèn)知研究者們更多的是與教師合作, 在真實(shí)的課堂情景中檢驗(yàn)和改進(jìn)他們的理論, 因?yàn)樵诮淌依? 他們才能看到不同的課堂情境和不同的課堂交往是如何影響他們的理論在課堂中的應(yīng)

3、用. 摘自人是如何學(xué)習(xí)的II. 范希爾的幾何思維水平起因在50年代的荷蘭，幾何教學(xué)所面臨的問題是很普遍的（Freudenthal, 1958）。范希爾夫婦（Pierre Van Hiele & Dina Van Hiele）作為荷蘭一所中學(xué)的數(shù)學(xué)教師，每天都親身經(jīng)歷著這些問題。最讓他們感到困惑的是教材所呈現(xiàn)的問題或作業(yè)所需要的語言及專業(yè)知識常常超出了學(xué)生的思維水平，這使得他們開始關(guān)注皮亞杰的工作。經(jīng)過一段時間的研究，他們提出了幾何思維的五個水平。這一成果最初發(fā)表在他們夫婦于1957年在烏特勒克大學(xué)共同完成的的博士論文上。 評價前蘇聯(lián)學(xué)者很快就注意到了范希爾的思想，他的論文（1959）在1963

4、年就由皮什卡羅（A. M. Pyshkalo）作了詳盡的報(bào)道。10年之后，美國人才開始了解范希爾的工作。在1974年召開的大西洋城NCTM年會上，芝加哥大學(xué)的威茲普（Isaak Wirszup）將范希爾的思想正式介紹給了美國學(xué)者，并同時介紹了前蘇聯(lián)幾何教學(xué)的“驚人進(jìn)展”。威茲普的報(bào)告后來以“幾何教學(xué)心理學(xué)中的一個重大突破”為標(biāo)題發(fā)表在Martin 和Bradbard主編的著作上（Wirszup，1976）。 與此同時，弗賴登塔爾也提供了思維水平在數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)中的范例。他發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)歸納實(shí)際上也是沿著五個思維水平發(fā)展的（Freudenthal, 1973, p123）。所有這一些，使范希爾理論引

5、起了全世界的廣泛關(guān)注，并成為上世紀(jì)80年代幾何教學(xué)研究的一個熱點(diǎn)。 水平的劃分層次0視覺 ( visuality) 層次1分析(analysis) 層次2非形式化的演繹 (informal deduction) 層次3形式的演繹 (formal deduction) 層次4嚴(yán)密性( rigior ) 層次0視覺 ( visuality) 兒童能通過整體輪廓辨認(rèn)圖形，并能操作其幾何構(gòu)圖元素（如邊、角）；能畫圖或仿畫圖形，使用標(biāo)準(zhǔn)或不標(biāo)準(zhǔn)名稱描述幾何圖形；能根據(jù)對形狀的操作解決幾何問題，但無法使用圖形之特征或要素名稱分析圖形，也無法對圖形做概括的論述. 如：兒童可能會某個圖形是三角形，因?yàn)樗雌鹣?/p>

6、一個三明治。層次1分析(analysis) 兒童能分析圖形的組成要素及特征，并依此建立圖形的特性，利用這些特性解決幾何問題，但無法解釋性質(zhì)間的關(guān)系，也無法了解圖形的定義；能根據(jù)組成要素比較兩個形體，利用某一性質(zhì)做圖形分類，但無法解釋圖形某些性質(zhì)之間的關(guān)聯(lián)，也無法導(dǎo)出公式和使用正式的定義。如：兒童會知道三角形有三條邊和三個角，但能解如果內(nèi)角愈大，則對邊愈長的性質(zhì)。層次2非形式化的演繹 (informal deduction) 兒童能建立圖形及圖形性質(zhì)之間的關(guān)系，可以提出非形式化的推論，了解建構(gòu)圖形的要素，能進(jìn)一步探求圖形的內(nèi)在屬性和其包含關(guān)系，使用公式與定義及發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)做演繹推論。但不能了解證明

7、與定理的重要性，不能由不熟悉的前提去建立證明結(jié)果的成立，也未能建立定理網(wǎng)絡(luò)之間的內(nèi)在關(guān)系。如：學(xué)生解了等腰三角形的性質(zhì)后，他們會推出等腰直角三角形同時也是直角三角形的一種，因?yàn)榈妊苯侨切屋^直角三角形多一些性質(zhì)的限制。因此，學(xué)童能作一些非正式的說明但還能作系統(tǒng)性的證明.層次3形式的演繹 學(xué)生可以了解到證明的重要性和了解“不定義元素”、“定理”和“公理”的意義，確信幾何定理是需要形式邏輯推演才能建立的，理解解決幾何問題必須具備充分或必要條件；能猜測并嘗試用演繹方式證實(shí)其猜測，能夠以邏輯推理解釋幾何學(xué)中的公里、定義、定理等，也能推理出新的定理，建立定理間的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，能比較一個定理的不同證明方式；

8、能理解證明中的必要與充分條件，例如至少有一個邊對應(yīng)相等或至少一個角對應(yīng)相等是證明兩個三角形全等的必要條件，兩角夾邊對應(yīng)相等則是兩三角形全等的充分條件；能寫出一定理的逆定理，如平行四邊形的對角線互相平分，其逆定理是對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。 層次4嚴(yán)密性 在這個層次能在不同的公理系統(tǒng)下嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟⒍ɡ硪苑治霰容^不同的幾何系統(tǒng)，如歐氏幾何與非歐氏幾何系統(tǒng)的比較。水平的修正（Van Hiele，1986） 直觀水平（visual level）整體地認(rèn)識幾何對象。Fuys, geddes, Lovett和Tischler（1988）認(rèn)為這一階段是“學(xué)習(xí)者依據(jù)幾何圖形的外表來認(rèn)識，命名，比較，和

9、畫出這些圖形的時候，像三角形，角度，平行線”。描述水平（descriptive level）通過幾何性質(zhì)認(rèn)識幾何對象。在這一階段學(xué)生按照圖形的組成部分和這些組成部分之間的聯(lián)系來分析圖形。學(xué)生依據(jù)經(jīng)驗(yàn)確立圖形的性質(zhì)和使用這些性質(zhì)解決問題。理論水平（theoretical level）利用演繹推理證明幾何關(guān)系。在描述階段中由Murray（1997）提出的概念網(wǎng)絡(luò)圖在這一階段完整和穩(wěn)定了。學(xué)生理解和接受了準(zhǔn)確的定義，學(xué)生談?wù)撔螤顣r涉及到這些定義，學(xué)生理解圖形內(nèi)部和圖形之間的聯(lián)系。這一階段學(xué)生能夠運(yùn)用“如果那么”思想，并由此發(fā)展邏輯推理能力。 幾何教學(xué)階段 學(xué)前咨詢(information)，教師和學(xué)

10、生就學(xué)習(xí)對象進(jìn)行雙向交談，教師了解學(xué)生如何理解指導(dǎo)語，并且?guī)椭鷮W(xué)生理解要學(xué)習(xí)的課題。學(xué)生提出問題，對課題的對象和運(yùn)用的詞匯做出觀察，確定下一步的學(xué)習(xí)。 引導(dǎo)定向(guided Orientation)，教師為學(xué)生仔細(xì)安排活動順序，使學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)進(jìn)行的方向，逐漸熟悉這一結(jié)構(gòu)的特性。在這個階段中，許多活動都是引起一個特定的反應(yīng)的一步（簡單）作業(yè)。 幾何教學(xué)階段闡明 (explication)，通過前面的經(jīng)驗(yàn)和教師最小程度的提示，學(xué)生明確了詞匯的意義，表達(dá)自己對內(nèi)在結(jié)構(gòu)的看法。通過這一階段，學(xué)生開始形成學(xué)習(xí)的關(guān)系系統(tǒng)。van Hiele（1984b）指出：在這個階段的過程中，經(jīng)驗(yàn)的獲得取決于正確的

11、語言符號和學(xué)生們在課堂上學(xué)習(xí)透過討論去表達(dá)他們所觀察到的結(jié)構(gòu)之意見，老師只需注意這些討論所使用的習(xí)慣措詞。關(guān)連系統(tǒng)在這階段就有一部份形成了幾何教學(xué)階段自由定向(free orientation)，在這個階段，學(xué)生碰到多步作業(yè)或能以不同方式完成的作業(yè)。在尋找方法和解決問題過程中，學(xué)生獲得了經(jīng)驗(yàn)。通過自己確定學(xué)習(xí)領(lǐng)域的方向，他們對學(xué)習(xí)對象之間的關(guān)系越來越明確。按照van Hiele（1984b）的觀點(diǎn)：這個階段是自由探索，調(diào)查的范圍是大多數(shù)學(xué)生知道的，但學(xué)生仍需迅速地找到他的方向。 幾何教學(xué)階段整合(integration)，學(xué)生回顧自己所用的方法并形成一種觀點(diǎn)，對象和關(guān)系被統(tǒng)一并內(nèi)化進(jìn)一個新的思

12、維領(lǐng)域。教師對學(xué)生理解的東西作一個全面的評述，幫助學(xué)生完成這一過程，在此，教師要小心，不要提出新的或不一致的觀點(diǎn) 范希爾理論的特點(diǎn) 次序性(sequential)：學(xué)生幾何思維水平的發(fā)展是循序漸進(jìn)的，要在特定的水平順發(fā)展，必須具有前一水平的各個概和策。也就是說，學(xué)生在沒通過第n-1層次之前，無法到達(dá)第n層次。進(jìn)階性(advancement)：學(xué)生幾何思維水平的提升是經(jīng)由教學(xué)，而是隨齡成長或心成熟自然而然的。沒有一種教學(xué)方法能讓學(xué)生跳過某一水平而進(jìn)入下一水平，由一水平進(jìn)入下一水平并非一蹴而就的。內(nèi)隱性及外顯性(intrinsic and extrinsic)：某一水平的內(nèi)隱性質(zhì)成為下一水平的外顯

13、性質(zhì)，如某一個水平上的個人化的模糊概念在下一水平上通過外顯的表征工具(如符號)而得到澄清。語言性(linguistics)：每一層次有其專屬的階段性語言符號。在某一層次使用的語言符號，可能到另一層次就必須調(diào)整為另一語言符號，因此每一層次有其獨(dú)特的語言符號，謂之語言性。適配性(mismatch)：如果學(xué)生的思維處于一個水平,而教師的教學(xué)處于另一個水平,那么就不可能取得預(yù)期的教學(xué)效果. 尤其是當(dāng)教師的教材內(nèi)容、教具選擇及語匯使用均屬于較高層次時，學(xué)生將無法解、思考其過程與結(jié)果。 SOLO理論 SOLO是“學(xué)習(xí)結(jié)果的結(jié)構(gòu)性觀察”（Structure Of the Observed Learning

14、Outcome）的縮寫，由澳大利亞學(xué)者Collis和Biggs（1982）所創(chuàng)，SOLO分類法的理論基礎(chǔ)是結(jié)構(gòu)主義學(xué)說和皮亞杰認(rèn)知發(fā)展階段理論 SOLO水平分類 SOLO層次規(guī)則描述前結(jié)構(gòu)學(xué)生無法解決問題或只會重復(fù)問題。學(xué)生不能理解要點(diǎn)。單結(jié)構(gòu)學(xué)生注意到了問題的一個相關(guān)特征，但事實(shí)或觀點(diǎn)之間沒有聯(lián)系。理解是有名無實(shí)的。多元結(jié)構(gòu)學(xué)生找到了許多獨(dú)立的相關(guān)特征，但還無法將他們有機(jī)聯(lián)系起來。關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)整合各部分內(nèi)容使其成為一個有機(jī)整體。擴(kuò)展抽象學(xué)生會歸納問題或重新概念化到更高的抽象層次范希爾理論與SOLO理論的比較SOLO 分類與范希爾理論在許多方面是相似的，如兩者都為教師提供了一種評價學(xué)生推理的途徑；

15、兩者都可以作為一種教學(xué)的框架；在各級水平（特別是最高水平和最低水平）上學(xué)生的反應(yīng)指標(biāo)有些類似；等。但兩者之間的區(qū)別也是存在的，如SOLO系統(tǒng)側(cè)重于評價學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，而范希爾的目標(biāo)則是學(xué)生個體的能力變化（Jurdak，1989，p.156）；SOLO分類可以應(yīng)用于所有的學(xué)科，而范希爾一般只適用于幾何課程；SOLO系統(tǒng)除了五個結(jié)構(gòu)層次外，還給出了不同層次之間的“過渡水平”，目的是幫助學(xué)生從一個層次向另一個層次過渡，而范希爾的教學(xué)階段則聚焦于每個層次上的教學(xué)設(shè)計(jì) 幾何思維水平的評估 范希爾理論在幾何評價上的應(yīng)用主要包括相關(guān)的兩個方面：一是在每個思維水平上設(shè)計(jì)出相應(yīng)的測試題；二是利用編制好的測試題考

16、查學(xué)生的范希爾思維水平。 在這方面的工作中，第一個，也是最經(jīng)典的一項(xiàng)研究是芝加哥大學(xué)的一個題為“中學(xué)幾何課上學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展和成就”的研究課題。這項(xiàng)研究的目的是確定學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展階段以及學(xué)生在一個數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識測驗(yàn)上的成績對他們掌握幾何概念和證明的影響（Usiskin，1982）。這項(xiàng)課題的對象包括了六個州的學(xué)習(xí)高中幾何課程的近2900名學(xué)生。Usiskin得到的初步的研究結(jié)果 以紙筆測驗(yàn)進(jìn)施測，有8的初初中生可達(dá)到van Hiele 層次3之上。范希爾幾何思考層次和幾何測驗(yàn)分?jǐn)?shù)間有顯著的相關(guān)。部分學(xué)生的解答介于兩個水平之間，難以指派到某一層次。完成中學(xué)幾何課程后，仍有40學(xué)生的幾何發(fā)展仍在層次3

17、以下。范希爾層次在性別間有差異現(xiàn)象。利用van Hiele 幾何思考層次可預(yù)測學(xué)生在標(biāo)準(zhǔn)幾何學(xué)習(xí)上會遇到困難需要進(jìn)一步研究的問題 是否存在其它的幾何思維水平？ 如何細(xì)化各水平的評價指標(biāo)？ 如何刻畫不同幾何教學(xué)內(nèi)容/活動的范希爾思維水平？ 如何編制符合我國教學(xué)實(shí)際的范希爾水平測試題？ 如何考察不同年級學(xué)生的范希爾思維水平？ 我國學(xué)生在范希爾水平上是否存在性別差異？ 如何幫助學(xué)生在不同思維水平之間的過渡？ 范希爾理論對我國的幾何課程設(shè)計(jì)與評價有什么意義？ 能否把范希爾理論推廣到其它數(shù)學(xué)內(nèi)容？ III. 中小學(xué)生數(shù)學(xué)能力心理學(xué)簡介前蘇聯(lián)心理學(xué)家克魯切茨基從50年代末開始就對中小學(xué)生數(shù)學(xué)能力進(jìn)行了長達(dá)

18、十二年的研究. 他運(yùn)用深度訪談、問卷調(diào)查、跟蹤分析、出聲思維等質(zhì)的研究方法，分析了不同能力的學(xué)生解題時的心里特性，以及數(shù)學(xué)能力組成成分中的類型、年齡、性別差異以及數(shù)學(xué)能力與個性的關(guān)系。這些研究成果集中反映在其著作中小學(xué)生數(shù)學(xué)能力心理學(xué)中。這本書的俄文版在1968年出版后，于1976年被基爾帕特里克等人翻譯成英文版（Krutetskii, 1976）。分別于1983、1984和1993年由我國上海教育出版社、教育科學(xué)出版社和九章出版社出版的中譯本均譯自這本英文版。 評價“可以毫不夸張地說，這本書對從事數(shù)學(xué)教育的人來說，和皮亞杰的著作有同樣的影響力。正像皮亞杰的實(shí)驗(yàn)題目曾為教師和研究人員所改編和使

19、用一樣，克魯切茨基的實(shí)驗(yàn)題目更接近于學(xué)校的數(shù)學(xué)課程，因而同樣地能為教師和研究人員加以改編和使用；正如皮亞杰關(guān)于智力發(fā)展的概念曾使教育工作者認(rèn)識到不同年齡兒童思維上的差異一樣，克魯切茨基關(guān)于數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)的概念，能使他們認(rèn)識到能力的不同組成和它們是怎樣在共同起作用的；正如皮亞杰曾經(jīng)擴(kuò)大了我們關(guān)于什么是恰當(dāng)?shù)难芯糠椒ㄒ粯樱唆斍写幕鶆t更進(jìn)一步擴(kuò)展了這個概念?！被鶢柵撂乩锟?三個基本問題 數(shù)學(xué)能力特殊性問題。數(shù)學(xué)能力本身是作為一種特殊形式存在，與一般智力范疇不同呢，還是數(shù)學(xué)能力是一般心理過程和人格品質(zhì)的特殊化呢？也就是說，一般智力是與數(shù)學(xué)能力一起發(fā)展的嗎？換句話說，人們能說數(shù)學(xué)能力不外是一般智力加上對

20、數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的傾向性嗎？數(shù)學(xué)能力的結(jié)構(gòu)性問題。數(shù)學(xué)稟賦是單一性的（單獨(dú)的、不可再分的）還是綜合性的（復(fù)雜的）？如果是綜合性的，人們就可追問關(guān)于數(shù)學(xué)能力的結(jié)構(gòu)問題，也就是復(fù)雜心理形式的組成成分問題。數(shù)學(xué)能力的類型差異問題。是否存在著不同類型的數(shù)學(xué)秉賦或者有一個主要成分而只是在對某些數(shù)學(xué)分支的興趣和傾向上出現(xiàn)差別？（一）能力結(jié)構(gòu)兩類數(shù)學(xué)能力作為創(chuàng)造性（科學(xué)）的能力在數(shù)學(xué)科學(xué)活動中的能力。這種能力產(chǎn)生對人類有意義的新成果與新成就。這是在社會上有價值的成品。作為學(xué)校的能力在學(xué)習(xí)（學(xué)會、掌握）數(shù)學(xué)（在這種情況下是學(xué)校的數(shù)學(xué)課程）上的能力，迅速而成功地掌握適當(dāng)知識和技能的能力。數(shù)學(xué)能力的調(diào)查研究（

21、1958-1962，62名教師） 能較快地掌握數(shù)學(xué)知識、技能和習(xí)慣，對教師的講解領(lǐng)會得迅速（95%）思維的邏輯性和獨(dú)立性（82%）學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時足智多謀與機(jī)敏（67%）能迅速而牢固地記憶數(shù)學(xué)材料（50%）有高度發(fā)展的概括、分析和綜合數(shù)學(xué)材料的能力（50%）上數(shù)學(xué)課很少感到疲勞（3%）迅速地從正面的思維進(jìn)程轉(zhuǎn)變到反面的思維進(jìn)程的能力（1。5%）概括的能力（98%）推理的邏輯性（98%）智力的足智多謀和敏捷（88%）數(shù)學(xué)的記憶力（82%）抽象的能力（）思維的靈活性（73%）求助于視覺手段（63%）具有空間觀念（57%）從正面的思維進(jìn)程轉(zhuǎn)變到反面的思維進(jìn)程的能力（52%）力求節(jié)約腦力（48%）推理過程的

22、縮短（38%）數(shù)學(xué)課大會很少疲勞（30%）（1965，56名教師） 數(shù)學(xué)能力的調(diào)查研究（數(shù)學(xué)家、21人）清晰的目的性（3）專心致志（4）勤奮（2）對數(shù)學(xué)的愛好（6）由特殊到一般的能力（12）從無關(guān)緊要的細(xì)節(jié)中擺脫出來的能力（11）思維的準(zhǔn)確、簡潔與清晰（6）尋找最漂亮的解答的需要（3）數(shù)學(xué)的想象力或幻想（3）從思維的一種水平到另一種水平的迅速轉(zhuǎn)換能力（3）能通過推理的中間階段迅速地抓住事物的本質(zhì)和透視問題的深處的能力，以及縮短推理的一些環(huán)節(jié)進(jìn)行思考的能力（3）形式推理的一般數(shù)學(xué)模式的技能（1）中小學(xué)生數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu) 1. 獲得數(shù)學(xué)信息 A. 對于數(shù)學(xué)材料形式化感知的能力；對問題形式結(jié)構(gòu)的掌握能力

23、。2. 數(shù)學(xué)信息加工在數(shù)量和空間關(guān)系，數(shù)字和字母符號方面的邏輯思維能力；對數(shù)學(xué)符號進(jìn)行思維的能力。B. 迅速而廣泛地概括數(shù)學(xué)對象、關(guān)系和運(yùn)算的能力。C. 縮短數(shù)學(xué)推理過程和相應(yīng)的運(yùn)算系統(tǒng)的能力；以簡短的結(jié)構(gòu)進(jìn)行思維的能力。D. 在數(shù)學(xué)活動中心理過程的靈活性。E. 力求解答的清晰、簡明、經(jīng)濟(jì)與合理。F. 迅速而自如地重建心理過程的方向、從一個思路轉(zhuǎn)向另一個相反思路的能力（數(shù)學(xué)推理中心理過程的可逆性）。3. 數(shù)學(xué)信息保持A. 數(shù)學(xué)的記憶（關(guān)于數(shù)學(xué)關(guān)系，類型特征，論據(jù)和證明的圖式，解題方法及探討原則的概括性記憶）。4. 一般綜合性組成成分 A. 數(shù)學(xué)氣質(zhì)。數(shù)學(xué)稟賦結(jié)構(gòu)中非必要成分 以時間為特征的心理

24、過程的敏捷性。數(shù)學(xué)家可以慢慢地思考，但是卻想得非常透徹和深刻。計(jì)算能力。法國著名數(shù)學(xué)家龐卡萊說，他自己即使做加法也要出錯誤。對符號、數(shù)字和公式的記憶。正如科爾莫戈羅夫指出的那樣，許多著名數(shù)學(xué)家在這方面的記憶并不突出。關(guān)于空間概念的能力；對抽象數(shù)學(xué)關(guān)系和相依關(guān)系形象化的能力。（二）研究中小學(xué)生數(shù)學(xué)能力的實(shí)驗(yàn)題體系普通測驗(yàn)：考查學(xué)生知道什么和會什么。能力測驗(yàn)：考查學(xué)生解題的容易程度和迅速程度選擇實(shí)驗(yàn)題的依據(jù) 選用的實(shí)驗(yàn)題目或是不需要特殊的知識、技能或習(xí)慣就可以解決的，或是它所需要的知識對全體學(xué)生來說都是具備的。實(shí)驗(yàn)題目對學(xué)生來說是新的，所用的材料也是他們不熟悉的，因此，也就大大減弱了過去經(jīng)驗(yàn)的影響

25、。如果他們的材料是新近學(xué)過的，那么就使我們有可能去探索學(xué)生掌握新技能的特點(diǎn)（解答相應(yīng)類似題目的技能）。我們運(yùn)用了一些具有數(shù)學(xué)創(chuàng)造性成分的題目非常規(guī)的題目。系列1：沒有提出問題的題目考查目的：本系列題目中，既沒有直接提出問題，也沒有間接提出問題，但題中所給的數(shù)量關(guān)系可以合乎邏輯地引申出問題。目的是弄清學(xué)生是否能提出問題，是否能發(fā)現(xiàn)題目中已知關(guān)系的邏輯依從性，是否能理解這些關(guān)系的本質(zhì)，以此來考查學(xué)生對數(shù)學(xué)題的心理知覺的某些特征。考查方法：由算術(shù)、代數(shù)、幾何三套測驗(yàn)組成，學(xué)生拿到一張帶題目的卡片之后就立即閱讀并立即提出問題。主試要弄清被試的整個推理過程，并記下測驗(yàn)所用的時間。系列2：信息不完全的題目

26、考查目的：本系列題目中有些信息缺少了，看起來對所提的問題似乎不可能有正確答案，而當(dāng)補(bǔ)充了信息以后，就能得到正確的答案。目的是弄清學(xué)生能否指出解題必需具備的條件，并注意到丟失的信息，以此考查學(xué)生能否看出題目的形式結(jié)構(gòu)?？疾榉椒ǎ河伤阈g(shù)和幾何兩套測驗(yàn)組成，當(dāng)學(xué)生肯定地回答不能解決問題時，要求他說明原因，并補(bǔ)上丟失的信息。系列3：有多余信息的題目考查目的：本系列題目中插進(jìn)了附加的、不必要的信息，或者沒有用的提示，以掩蓋解題所需要的論據(jù)，目的是弄清學(xué)生能否辨別解題所需要的條件體系，以揭示他們頭腦中理解數(shù)學(xué)題的一些特點(diǎn)?？疾榉椒ǎ阂话阌脙山M題：“總是缺少必要的條件”“都有多余的事實(shí)”同時進(jìn)行，可在學(xué)生學(xué)

27、習(xí)了典型例題的一課、一周或一月之后進(jìn)行，用以考查學(xué)生是否記住了：1）題目的類型；2）特殊的事實(shí)；3）多余的信息。系列4：具有互相滲透因素的題目 考查目的：研究學(xué)生分析綜合知覺幾何圖形的一些因素，特別是從不同觀點(diǎn)辨別和確定幾何圖形滲透成分的技能，從背景中區(qū)分出圖形和圖形成分的技能，把一個成分包含在不同圖形中，并給予恰當(dāng)?shù)牟煌忉尩募寄堋？疾榉椒ǎ褐饕獛缀螠y驗(yàn)，其圖形中有些要素是“互相滲透的”，如看出棋盤中有多少個長方形。 系列5：單一類型的題目體系考查目的：通過學(xué)生怎樣從不同的題目中看出一般的類型、如何從解決同一類型簡單的題目到解決復(fù)雜的題目、以及他們怎樣從外表類似的另一類型的題目中區(qū)分出這一類

28、型的題目，來考查他們的概括能力。并通過分析學(xué)生連續(xù)解一個類型的問題時的推理過程，來判斷他們“縮短”推理的能力。考查方法：對不同層次的學(xué)生用兩組不同難度的測驗(yàn)，每組測驗(yàn)由8道題，由易到難體現(xiàn)了一個類型從容易到復(fù)雜的“階梯式”。測試時，先做第8題，不行就做第1題，然后再做第8題，不行再做第2題，如此下去，只要求學(xué)生回答解題的思路，而不必完整解題。其它系列系列6：不同類型的題目體系系列7：從具體到抽象逐漸過渡的 題目體系系列8：按照特定的類型編題系列9：證明題系列10：運(yùn)用題目的各種條件列 方程式系列11：不現(xiàn)實(shí)的題目系列12：形成人工概念系列13：有幾種解法的題目系列14：變化內(nèi)容的題目系列15：

29、重建一種運(yùn)算的題目系列16：暗示“自我限制”的題目系列17：正向和反向的題目系列18：啟發(fā)（探索）性課題系列19：關(guān)于理解和邏輯推理的題目系列20：系列題目系列21：數(shù)學(xué)詭辯題系列22：項(xiàng)目難記的題目系列23：在解答中具有不同程度直觀 性的題目系列24：既有語言又有直觀表達(dá)的題系列25：有關(guān)空間概念的題目系列26：揭露非智力活動方面的直觀 形象與語言邏輯成分之間關(guān) 系的題目（三）能力差異克魯切茨基堅(jiān)決主張有所謂“有數(shù)學(xué)頭腦”即傾向于以數(shù)學(xué)方式來解釋世界的人。在數(shù)學(xué)稟賦好的學(xué)生身上可以清楚地看到這一點(diǎn)。他還提到，這種傾向甚至在人一生下來就可能有所表現(xiàn)。他區(qū)分出三種數(shù)學(xué)頭腦的基本類型：分析型（傾向

30、以言語邏輯的關(guān)系來思考）、幾何型（傾向以視覺形象的關(guān)系來思考）和調(diào)和型（兼具前兩種類型的特征）。 “能力問題也就是個別差異問題。如果每個人在各方面的發(fā)展和在從事任何活動上都有同樣的能力，那么討論能力問題也就沒有意義了。我們談?wù)撃芰栴}，就等于預(yù)先假定了人們之間有某些個別差異。沒有一個人在任何事情上都是無能的，每個人都有最適宜從事某種活動的能力，不過，同是從事一樣的工作，也有能力水平上的差異?！?（克魯切茨基，1984）1. 天才兒童的個案研究個案1：索尼婭（2年級，1950年生于莫斯科，小傳完成于1958-1959年） 她有一個7年級的哥哥，發(fā)育正常，沒有表現(xiàn)出數(shù)學(xué)才能，她的近親中只有外祖母據(jù)

31、說酷愛數(shù)學(xué)，但無據(jù)可查。索尼婭個子矮小，動作緩慢，講話從容（甚至是慢吞吞地），情感表達(dá)較差；除了算術(shù)成績優(yōu)良外，其它各門功課學(xué)習(xí)正常，成績一般。寫作很差，閱讀也不流暢，不大喜歡做作業(yè)。她有高度集中的能力。當(dāng)她思想集中時，她不能安靜地坐著，而是走來走去，坐立不安，有時甚至?xí)龀龈鞣N反常的動作。有一次，她竟在解答一道難題時，突然站起來跑到床上，像演員表演似地翻了一個筋斗又回來坐到椅子上。但當(dāng)她從事過于簡單的事情時，會明顯地表現(xiàn)出心不在焉。這就是為什么她常常10以內(nèi)的加法做錯的原因。在實(shí)驗(yàn)中，她用60節(jié)課就學(xué)完了5-7年級的全部數(shù)學(xué)課程。15歲時成為莫斯科大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系的學(xué)生 心理特點(diǎn)推理和心理定向

32、敏捷。這是索尼婭最顯著的特征之一。通常她能以驚人的速度找到她所能理解的一種解題方案?？梢哉f，她對數(shù)學(xué)材料有一種獨(dú)特的分析和綜合的“眼力”，她能立刻找到一個解題方法或看出證明的邏輯。心理特點(diǎn)（續(xù)）邏輯推理，有系統(tǒng)、有順序的思考力。這也是索尼婭最顯著的特征之一。她對定理的意義、求證的含義都理解得相當(dāng)透徹。她能很容易地從前提得出結(jié)論，但并不簡單地相信它。她在論證上邏輯嚴(yán)密，且有說服力。她解答數(shù)學(xué)題都毫無例外地經(jīng)過邏輯上的驗(yàn)證。解題分析1問題：一個牧人對另一個牧人說：“你給我8只羊，我們兩人的羊數(shù)就相等了”。另一個牧人回答說：“不，你給我8只羊，我的羊就成了你的兩倍?！彼髂釈I的解答“假如一個牧人給另一

33、個牧人8只羊，他們兩個人的羊數(shù)就一樣多，就是說，兩者的差數(shù)是16只羊。另一方面，如果另一個人拿出了8只，他們的差數(shù)就成了32只，這樣可以知道，一個人比另一個人多兩倍，或者說多32只，就是說他們的羊數(shù)是32和64。他們交換之前的羊數(shù)是40和56?！彼挥昧?0秒。解題分析2例2：索尼婭證明了三角形的內(nèi)角和等于平角之后，應(yīng)實(shí)驗(yàn)者的要求，很容易地又證明了四邊形的內(nèi)角之和等于兩個平角，及五邊形的內(nèi)角和等于3個平角并畫了圖（圖1）。然后，她想了想說：“任何多邊形都是如此：三角形的數(shù)目永遠(yuǎn)比邊的數(shù)目少2。所以，要求內(nèi)角和，就必須從邊數(shù)中減2，再乘以2d。” 2d2d2d2d2d心理特點(diǎn)（續(xù)）思維的靈活性。

34、索尼婭不受陳腐思想的束縛和一般解題方法的限制，她能很容易地從一種心理運(yùn)算轉(zhuǎn)為另一種運(yùn)算，從一種解題方法轉(zhuǎn)為另一種解題方法，而且通常能找出多種解法。 解題分析3例3：小雞和兔子在外面跑，一共有35個頭，94只腳，問雞兔各有多少？索尼婭的解答是：“如果全部是35個頭，那么雞兔總共有35只。假如全是小雞，就有70只腳，就是說另外多出了24只腳。因?yàn)樵谠鹤永锱艿某诵‰u外，還有兔子，每只兔子比小雞多兩只腳，這意味著有12只兔子和23只小雞。還可以這樣做：一共有94只腳，假如全是小雞，就有47只，但總共只有35個頭少了12個頭。這12個頭，每頭應(yīng)有4只腳而不是2只腳。所以是12只兔子和23只小雞?！?心

35、理特點(diǎn)（續(xù)）能自如地從正面的思維進(jìn)程轉(zhuǎn)到反面的思維進(jìn)程。解答問題時推理的迅速簡略和“壓縮”的傾向?！肮?jié)約思考”的明顯傾向。索尼婭的一個顯著特點(diǎn)是，力求找出一種最簡便的解題方法，解答力求簡單、明了。對數(shù)學(xué)材料的迅速而牢固的記憶。雖然她對具體材料和數(shù)只有在解題的時候才記住，但對求證的基本過程、題目的類型和解題原則以及推理的基本模式卻記得很牢。對數(shù)學(xué)作用很少感到疲勞。此外，她特別傾向于在許多生活現(xiàn)象中尋找它在數(shù)學(xué)與邏輯學(xué)上的意義，并把它納入邏輯與數(shù)學(xué)范疇的結(jié)構(gòu)中來加以認(rèn)識。 有關(guān)數(shù)學(xué)天才兒童的初步結(jié)論數(shù)學(xué)才能在童年早期就能形成，其中大部分是以計(jì)算能力的形式出現(xiàn)。數(shù)學(xué)才能的早期形成并非總是跟環(huán)境與培養(yǎng)

36、上的有利條件聯(lián)系著的。才能的早期發(fā)展是與算術(shù)興趣的形成和樂于鉆研的傾向分不開的。這常常表現(xiàn)為不懈地努力計(jì)算、解題和自己編題，而這又和他們能夠長時間的緊張工作而不感疲勞有關(guān)。數(shù)學(xué)才能表現(xiàn)比較早的兒童，他們的心理活動具有下列特點(diǎn)：概括數(shù)學(xué)材料的能力（能在表面上互不相同的，或者互不聯(lián)系的事物中，看出存在一般性的能力）；心理過程的靈活性；力求找出最簡潔明了的解題方法；對一般化的關(guān)系、推理的模式和解答典型問題的方法有良好的記憶力；推理過程的縮短和減少推理的個別環(huán)節(jié)；對周圍環(huán)境有一個初級形式的“數(shù)學(xué)”直覺許多事物或現(xiàn)象似乎都是透過數(shù)學(xué)關(guān)系的棱鏡折射出來的。有數(shù)學(xué)才能的兒童，在他們的童年的早期就可以看出，他

37、們解題時，對視覺形象與言語邏輯這兩種智力活動的成分的依賴程度是不同的。他們之間存在著類型上的差異。陶哲軒:一個華裔數(shù)學(xué)天才的傳奇2006菲爾茲獎（數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎）的一個顯著特點(diǎn)是，四位獲獎?wù)咧械膬晌?，俄羅斯的佩雷爾曼和澳大利亞的陶哲軒，均為昔日奧數(shù)金牌得主。相形之下，中國雖然也有不少奧數(shù)獎牌得主，卻沒有人能夠取得像他們那樣的杰出成就，有些人甚至遠(yuǎn)離了數(shù)學(xué)。這是一個值得思考的問題。南方周末7歲開始自學(xué)微積分，8歲半升入中學(xué)，12歲獲得奧數(shù)金牌，20歲獲得普林斯頓大學(xué)博士學(xué)位，24歲被洛杉磯加州大學(xué)聘為正教授，31歲獲得菲爾茲獎。他就像莫扎特，數(shù)學(xué)是從他身體中流淌出來的研究天才教育的新南威爾士大

38、學(xué)教授米那卡格羅斯（Miraca Gross）在陶哲軒11歲時出版的一篇論文中寫道，陶哲軒的智力明顯超過班上其他孩子，但他不知道怎么與那些比自己大兩歲的孩子相處，而學(xué)校的老師面對這種狀況也束手無策。第11屆數(shù)學(xué)資優(yōu)生教育國際論壇（2006.4.6-8,韓國）2. 好、中、差三類學(xué)生的差異性研究克魯切茨基的研究：根據(jù)能力結(jié)構(gòu)分析三類學(xué)生的差異匈菲爾德的研究：專家新手的對比分析青浦實(shí)驗(yàn)：幾何能力差異性研究一個假設(shè)：典型例題新問題化歸（策略）差生優(yōu)生中等生IV. 高等數(shù)學(xué)思維研究英國沃瑞克大學(xué)（Warwick University） Modern Records CentreUniversity o

39、f Warwick LibraryCoventry CV4 7AL一、斯根普的工作March 10, 1919 June 22, 1995代表作The Psychology of Learning Mathematics (1971)in several different versionsIntelligence Learning and Action (1979)Mathematics in the Primary SchoolUnderstanding Mathematics (a series of text-books for secondard school)Structured

40、Activities in Intelligent Learning (a series for Primary School).Further information about these and other publications will appear shortly.Instrumental Understanding and Relational Understanding The Silent Music of Mathematics Theoretical Foundations of Problem-Solving: A Position Paper (1993) 著作論文

41、對斯根普的工作的評價 斯根普（Richard Skemp）可以稱得上是數(shù)學(xué)教育心理學(xué)的先驅(qū)之一。在2002年出版的一本紀(jì)念斯根普的著作中，作為主編的韜爾與托馬斯（Michael Thomas）在序言中寫道：“理查德斯根普是數(shù)學(xué)教育中的獨(dú)一無二的人物他是廣大教師和教育者的一個思想先知，他們從他的工作中獲得了啟示；他也是創(chuàng)建國際數(shù)學(xué)教育心理學(xué)協(xié)作組（International Group for the Psychology of Mathematics Education）的精神領(lǐng)袖。 “他走進(jìn)的是一片空地，留下的卻是偉大的建筑?！?（Sfard, 2002） 工具性理解與關(guān)系性理解 前者是指“

42、只管公式，不管理由” ，而后者則“不僅知道要做什么，而且知道理由” 。 工具性數(shù)學(xué)的優(yōu)點(diǎn) 工具性數(shù)學(xué)一般比較容易理解。有些課題，如兩個負(fù)數(shù)相乘，或分?jǐn)?shù)相除，很難從關(guān)系上去理解。 “負(fù)負(fù)得正”以及“除以分?jǐn)?shù)等于乘以這個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”是很容易記住的規(guī)則，但不易解釋其原因。如果想要的是正確的答案，工具性數(shù)學(xué)可以快速而輕易的提供。教學(xué)的效果立竿見影，而且更明顯。首先，學(xué)生如果能夠迅速地得出正確的答案，當(dāng)然是一件好事；其次，我們不能低估學(xué)生從中得到成功感受的重要性。在調(diào)查中，斯根普經(jīng)常聽到學(xué)生說自己是“笨蛋”，老師也這樣說這些學(xué)生。這使他很難受，他覺得，對這些學(xué)生來說，最重要的是需要成功的體驗(yàn)來恢復(fù)自信心

43、，而在工具性數(shù)學(xué)上，將比在關(guān)系性數(shù)學(xué)上更容易獲得成功。由于比起關(guān)系性數(shù)學(xué)來牽涉的知識較少，因此，用工具性數(shù)學(xué)思考，可以更快速而且可靠的得到正確答案。以至于一些數(shù)學(xué)家也常運(yùn)用機(jī)械式數(shù)學(xué)思考。關(guān)系性數(shù)學(xué)的優(yōu)點(diǎn) 比較適應(yīng)新的任務(wù)。關(guān)系性理解不僅會知道那種方法有用而且知道為什么有用，能夠把方法和問題加以關(guān)聯(lián)，而且還可以調(diào)整方法來處理新問題。而工具性理解則需要學(xué)生記住哪些問題可以用哪種方法來解而哪些問題不行，并且對不同的問題要學(xué)不同的方法。比較容易記住。理解概念間的相互關(guān)系讓人能記得它們是整體的關(guān)聯(lián)部份，就變得比較容易，而且能減少重新學(xué)習(xí)的時間。關(guān)系性知識本身可以成為有效的目標(biāo)。這可以增加學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)

44、，而減低對外界獎懲的需要水平。關(guān)系性圖式是一個高質(zhì)量的有機(jī)體。關(guān)系性理解使人們不滿足于對已有材料的理解，還會主動去找尋新的材料并探索新的領(lǐng)域。理論的發(fā)展在斯根普研究的基礎(chǔ)上，他的學(xué)生赫斯科維斯(N. Herscovics)和維納(S. Vinner)等人進(jìn)一步的提出了工具性、關(guān)系性、直覺性和形式性理解等模式，并進(jìn)行了工具性理解與準(zhǔn)工具性理解的差異性研究。斯根普本人也在1982年將原來的兩種理解模式擴(kuò)充為工具性、邏輯性和符號性理解三種不同的理解模式，還提出了“直覺與分析”是兩種獲得理解的主要智力活動。 與其說他是一位研究者，不如說是一位實(shí)踐者 斯根普不是一位多產(chǎn)的作家，他所公開發(fā)表的有關(guān)數(shù)學(xué)教育

45、的文章只有三篇，但讓他自豪的是這些論著的質(zhì)量。事實(shí)上，他的那篇題為“工具性理解與關(guān)系性理解”的經(jīng)典論文在正式發(fā)表之前已經(jīng)經(jīng)過了幾年的演講與修改。他有兩句經(jīng)常掛在嘴邊的名言：一句是“再好的理論也不如實(shí)踐”；另一句是“最簡單的理論才是最好的理論”，他認(rèn)為“要把一件簡單的事情弄復(fù)雜并不難，難的是把復(fù)雜的事情弄簡單”（Tall & Thomas, 2002）。他的這兩句名言很好地反映了他的學(xué)術(shù)態(tài)度，同時也成為他的弟子們的座右銘。 斯根普是一位演講大師，許多人都從他的演講中獲得過靈感。二、David Tall等人的主要研究成果http:/www.warwick.ac.uk/staff/David.Tal

46、l/代表作 截至到2005年，有他署名的各類著作與教材達(dá)35部，其中包括著名的高等數(shù)學(xué)思維（Tall, 1991）和智力、學(xué)習(xí)與理解（Tall & Thomas, 2002）；在各類學(xué)術(shù)期刊或國際會議（主要是PME）上發(fā)表論文近250篇；指導(dǎo)了近30名數(shù)學(xué)教育方向的博士生；編制了大量的計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)軟件。更令人稱奇的是，他還是一位造詣頗高的作曲家，發(fā)表了近30篇音樂方面的文章和曲譜。 理論的形成 人類三種最基本的認(rèn)知活動是“感知”、“行動”與“反思”，因此，有關(guān)學(xué)習(xí)的理論都離不開這些認(rèn)知活動的研究。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理領(lǐng)域也是如此，其中的一些研究者側(cè)重于對各種數(shù)學(xué)認(rèn)知活動的特征或者過程的剖析（如斯根

47、普的行為圖式），還有一些則嘗試把各種活動組合成一個特殊的序列，從而形成教學(xué)的模式（如杜賓斯基的APOS理論，范希爾理論） 三種不同的數(shù)學(xué)認(rèn)知（Tall, 1995） 數(shù)學(xué)思維發(fā)展的一個基本框架 認(rèn)知根源認(rèn)知根源（Cognitive Root）的概念最初是David Tall在一篇談?wù)摗案拍畋硐蟆?、“一般組織者”及計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的文章中提出的，當(dāng)時的定義是“一個學(xué)習(xí)者容易理解、又可以作為整個理論基礎(chǔ)的拋錨式概念”。上述說法后來經(jīng)過了幾次修改，特別是在提出“認(rèn)知單元”的概念之后，David Tall開始把認(rèn)知根源作為認(rèn)知單元的一個特別類型，其基本特征是： 對某個學(xué)習(xí)序列的初學(xué)者來說是一個意義豐富的

48、核心知識的認(rèn)知單元；可以在這個認(rèn)知單元的基礎(chǔ)上通過一些認(rèn)知擴(kuò)充策略得到初步的發(fā)展而不必進(jìn)行認(rèn)知的重構(gòu)；在后繼的發(fā)展中具有長期的意義；在發(fā)展更復(fù)雜的理解時仍具有重要的作用。 過程與概念 過程（process）與概念（concept）是學(xué)習(xí)理論中的兩個基本概念，但在數(shù)學(xué)中，人們發(fā)現(xiàn)，同一個數(shù)學(xué)符號常常具有雙重的意義：既可以作為過程，也可以作為概念（Gray & Tall, 1991; 1994; Sfard, 1989; 1991）。例如，符號“32”就可以同時看作為一個（加法）過程，與一個（和）的概念。 為了把這種概念與其它概念區(qū)別開來，格雷（Eddie Gray）與韜爾各取了“process”

49、（過程）和“concept”（概念）的一部分而造出了一個新詞“procept”。 具有過程與概念兩重性的數(shù)學(xué)符號 過程性概念的發(fā)展 數(shù)學(xué)中不同類型的過程與概念 數(shù)學(xué)的三個世界 需要進(jìn)一步研究的問題 數(shù)學(xué)認(rèn)知單元是如何“壓縮”的？ 過程性概念的教學(xué)有什么特點(diǎn)？ 如何用“三個世界”理論去分析數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知發(fā)展過程？ 初等數(shù)學(xué)思維是如何向高等數(shù)學(xué)思維過渡的？ 如何診斷學(xué)生的數(shù)學(xué)思維？ 高等數(shù)學(xué)思維與高層次數(shù)學(xué)思維有什么聯(lián)系與區(qū)別？ 計(jì)算機(jī)對高等數(shù)學(xué)思維有什么影響？ V. ACT-R理論John R. Anderson Department of PsychologyCarnegie Mellon U

50、niversityPittsburgh, PA 15213Telephone: (412) 268-2788Facsimile: (412) 268-2844E-Mail: ja+ 什么是ACT-R理論？ACT-R之所以被稱為“學(xué)習(xí)與認(rèn)知的簡單理論” ，是因?yàn)樗囊粋€基本觀點(diǎn)是：復(fù)雜認(rèn)知是由相對簡單的知識單元（knowledge units）所組成的，而這些知識單元則是通過相對簡單的原理（principles）而獲得的。人類的認(rèn)知活動的復(fù)雜性表現(xiàn)在基本元素和原理的復(fù)雜組合上，就像計(jì)算機(jī)通過簡單的（二進(jìn)制）運(yùn)算可以完成復(fù)雜的任務(wù)一樣。 ACT-R的各種版本PredecessorHAM(Ander

51、son & Bower 1973)Theory versionsACT-E (Anderson, 1976)ACT* (Anderson, 1978)ACT-R(Anderson, 1993)ACT-R 4.0(Anderson & Lebiere, 1998)ImplementationsGRAPES(Sauers & Farrell, 1982)PUPS(Anderson & Thompson, 1989)ACT-R 2.0(Lebiere & Kushmerick, 1993)ACT-R 3.0ACT-R 4.0(Lebiere, 1998)ACT-R/PM (Byrne, 1998)A

52、CT-R理論的生理基礎(chǔ)ACR-R理論實(shí)際上基于三個簡單的二分法兩類知識：關(guān)于事實(shí)的陳述性知識（declarative knowledge）和關(guān)于如何完成各種認(rèn)知活動的程序性知識（procedural knowledge）；兩個假設(shè)：關(guān)于ACT-R如何運(yùn)用已有知識去解決問題的操作假設(shè)(performance assumptions)和關(guān)于如何獲得新知識的學(xué)習(xí)假設(shè) (learning assumptions)；兩個水平：有關(guān)離散知識結(jié)構(gòu)的符號水平 (symbolic level)和有關(guān)神經(jīng)系統(tǒng)激活過程的亞符號水平(sub-symbolic level)，這一水平?jīng)Q定符號結(jié)構(gòu)的可用狀態(tài)。兩類知識 陳

53、述性知識（declarative knowledge）：是指那些人們知道并可以表達(dá)的真實(shí)信息。在ACT-R中，陳述性知識表征為一些小的原始知識單元的網(wǎng)路，稱為信息塊，例如，下面的圖1表示由加法事實(shí)“3+4=7”及一些相關(guān)事實(shí)組成的信息塊（編碼）程序性知識是指用于提取陳述性信息塊的規(guī)則性單元，稱為產(chǎn)生式（productions）。一個產(chǎn)生式規(guī)則（production rules）就是一個“條件反應(yīng)”的單元，即針對特定的問題解決條件采取特定的認(rèn)知操作。在產(chǎn)生式系統(tǒng)中，典型的思維流程就是一系列的產(chǎn)生式被“觸發(fā)”（在ACT-R理論中，用“fire”來表示）的過程。 陳述性知識的獲得陳述性信息塊的獲得有

54、兩條途徑：通過環(huán)境信息的編碼；對先前操作結(jié)果的儲存。 也就是說，ACT-R認(rèn)為，陳述性知識的獲得不外乎是兩種模式：一種是被動的、接受式的（源自環(huán)境的編碼）；一種是主動的、建構(gòu)式的（先前心理操作結(jié)果的儲存）。這兩種模式都有優(yōu)勢與不足。被動接受的優(yōu)勢是效率（efficiency）與準(zhǔn)確性（accuracy），閱讀3+4的結(jié)果比計(jì)算更容易，而且也不會有算錯的危險。但另一方面，通過練習(xí)獲得的知識不僅儲存了結(jié)果目標(biāo)，還附帶儲存了相關(guān)的策略，便于回憶失敗時運(yùn)用。 研究與思考研究：大量的實(shí)驗(yàn)表明，上述兩種模式在記憶上并沒有實(shí)質(zhì)的區(qū)別，實(shí)際上，自我探究知識的附帶信息并不總是有的，即使有，也往往是難以捉摸的，只

55、有當(dāng)探究過程中產(chǎn)生了多種信息提取途徑時，這種附帶信息才是有用的，因此，自我探究的知識并沒有什么神奇的特征。 在相同的條件下，我們當(dāng)然選擇通過自我探究的模式去獲得知識，但實(shí)際上，由于自我探究的困難及誤入歧途的危險，我們更主張把知識告訴學(xué)生。 思考：對學(xué)生錯誤的新認(rèn)識：只有當(dāng)學(xué)生的錯誤成為一個“教學(xué)點(diǎn)”時，這個錯誤對他才是有益的，否則，學(xué)生的錯誤也可能會積少成多，而成為一種習(xí)慣（老毛病），特別在大班教學(xué)情況下，學(xué)生的錯誤并不總是能夠及時糾正，因此，要盡可能的少犯錯誤，較少的錯誤才會引起較多的關(guān)注。程序性知識的獲得 在ACT-R理論中，產(chǎn)生式規(guī)則的獲得主要依靠類比（analogy）的過程。類比要發(fā)生

56、作用有兩個前提：有一個解決某個目標(biāo)的情境，及一個解決類似目標(biāo)的范例。例如，在加法的產(chǎn)生式中，學(xué)習(xí)者首先必須有解決一個加法問題的意愿，同時，還需要一個已經(jīng)獲得的樣例（如4+5）。在這種情況下，ACT-R類比機(jī)制會從樣例中抽象出原理，進(jìn)而形成用于當(dāng)前情境的產(chǎn)生式規(guī)則，新的產(chǎn)生式規(guī)則一旦形成，又可以用于其它的情境。也就是說，按照ACT-R理論，程序性技能是在參照老問題去解決新問題的過程中獲得的。因此，這一理論實(shí)際上是“做中學(xué)”（learning by doing）和“范例學(xué)習(xí)”（learning by example）的理論。 程序性知識獲得的三個階段陳述性階段。學(xué)習(xí)者獲得有關(guān)步驟或程序的陳述性知識

57、。比如陳述分?jǐn)?shù)加法的規(guī)則或者能夠描述在駕駛汽車時該如何換檔。在此階段，學(xué)習(xí)者對活動的完成是非常艱辛的，需要逐條記憶每一項(xiàng)規(guī)則，并緩慢地操作每一步驟。聯(lián)合階段。在這一階段，學(xué)習(xí)者仍需思考各個步驟的規(guī)則，但經(jīng)過練習(xí)和接收到的反饋，學(xué)習(xí)者已能將各個步驟聯(lián)合起來，流暢地完成有關(guān)的活動自動化階段。隨著進(jìn)一步的練習(xí)，學(xué)習(xí)者最終進(jìn)入自動化階段。在此階段，學(xué)習(xí)者常常無需意識的控制或努力就能夠自動完成有關(guān)的活動步驟。例如，一個人在開車時可以一邊說話，一邊流利地?fù)Q擋，在交通擁擠的路面上連續(xù)地改變方向；或者一個學(xué)生不用想著分?jǐn)?shù)加法的各項(xiàng)規(guī)則就能快速準(zhǔn)確地計(jì)算分?jǐn)?shù)加法題，表明他們已達(dá)到自動化階段，即獲得了有關(guān)的程序性

58、知識或技能。 安德森（J.Anderson,1990)和加涅(E.Gagne et al.,1993)從雙基看兩類知識ACT-R對知識的分類陳述性知識策略性知識程序性知識基礎(chǔ)知識基本技能雙基典型例題兩個需要探討的問題：陳述性知識=基礎(chǔ)知識？程序性知識=基本技能？典型例題在雙基教學(xué)中的作用是什么？知識體系與經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)四邊形平行四邊形矩形菱形正方形有一個直角有一個直角一組鄰邊相等一組鄰邊相等兩組對邊平行有一個直角并且一組鄰邊相等知識體系中點(diǎn)四邊形對角線垂直對角線垂直對角線相等對角線相等原四邊形對角線垂直且相等經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)認(rèn)知結(jié)構(gòu)目標(biāo)層級（goal stack） 目標(biāo)層級的更新聚焦G4G4G1跳出G1G2

59、初始狀態(tài)G1嵌入G2G2嵌入G3G1G3結(jié)論1：練習(xí)是掌握雙基的必由之路 ACT-R對教學(xué)的建議，那就是練習(xí)、練習(xí)、再練習(xí)。實(shí)際上，并非只有ACT-R一家“拍賣”這個主張，大量的研究都表明，高層次的能力只能通過高強(qiáng)度的練習(xí)。特別地，研究表明，學(xué)生花在數(shù)學(xué)上的時間與他們的數(shù)學(xué)能力有很高的相關(guān)性。許多國際比較研究也都表明，美國學(xué)生數(shù)學(xué)表現(xiàn)糟糕的一個重要原因是他們花在數(shù)學(xué)上的時間遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如亞洲的學(xué)生（Stigler and Perry，1990；White, 1987）。 Ericsson等人的研究表明，不同的練習(xí)的效果是不一樣的，而只有所謂的“精致的練習(xí)”（deliberate practice）才

60、能導(dǎo)致真正的學(xué)習(xí)。他們把“精致的練習(xí)”界定為具有良好的動機(jī)、接受有意義的反饋、及仔細(xì)的不斷的指導(dǎo)與監(jiān)督。 通過反復(fù)練習(xí)才能牢固掌握技能單純擁有符號性知識并不等于能夠成功地運(yùn)用。知識的運(yùn)用還依賴一系列的激活程序。Anderson and Fincham (1994) and Anderson, Fincham, and Douglass (in press)研究了產(chǎn)生式規(guī)則如何通過練習(xí)而逐漸生效的過程，他們發(fā)現(xiàn)，一個規(guī)則在練習(xí)了40次左右后變得穩(wěn)定和可靠。 下面的公式描述了練習(xí)、遺忘和倍乘關(guān)系的指數(shù)律。表現(xiàn) = ANcT-d （表現(xiàn)方程）其中，N是練習(xí)的總量，T是保持的時間間隔，兩個因素的倍乘關(guān)