1、不等式講座系列之均值不等式的待定系數(shù)篇撰寫人：張平在處理一些不等式問題的時候，往往難以直接使用均值不等式，這就需要我們根據(jù)題目自身的結(jié)構(gòu)特點來進行適當?shù)呐錅?，一種被稱之為待定系數(shù)法均值的方法就這樣產(chǎn)生了。在配的時候要牢牢把握住“正，定，等”。這個純屬個人一些觀點，高手直接pass掉。我的用意是在普及的基礎上能幫助一些朋友有所提高，不至于有那么多，??！啊！??！1.設x,y,z,w是不全為零的實數(shù)，求廠+2yz+zw的最大值X2+y2+z2+W2分析：顯然只需考慮x0,y0,z0,w0的情形直接均值顯然不行，我們是不是可以這么考慮，引入待定的正參數(shù)a,卩滿足X2+y2+z2+W2=(X2+ay2)

2、+(l-a)y2+Pz2+(1一P)z2+W21:axy+(1-a)Pyz+2J(1-P)zw121故依據(jù)取等條件丄=2=1=t顯然參數(shù)t就是我們要求的最2坂2j(1-a)P21一P大值。消去a,卩我們得到一個方程4t2-4t-1=0此方程的最大根為我們所求的最大值解之得t=上2我們再來看一個類似的，相信你已經(jīng)找到了怎么處理這個問題了2.設x,y,z是不全為零的正實數(shù)，求16X+九2Xy+9333的最大值x+2y+z是的同我們依然可以引進參數(shù)a,P,丫使其滿足x+2y+z=(1-aP)x+ax+丫y+Px+(2y)y+z(1aP)x+2：ayxy+3創(chuàng)P(2y)xyz依據(jù)取等條件我們有161a

3、P9332、両3-3P(2y)=t消去參數(shù)a,P,y我們得到一個方程(t-18)(16t5-224t4-584t3-1440t2+13771-1458)=0這個方程的最大根為我們所求的目標。解之得t=18呵呵扯到這里，或許你說天啊，這個方程好恐怖，是的很遺憾這個題目手工解我認為很困難解決，當然我們可以借助計算機求解這個高次方程。有了這個待定系數(shù)我們也可以冒充一回高手，你可以很輕飄飄的對這個題目來個一行秒殺。你也可以打出這么一個讓別人，??！啊！?。∮心居械慕獯?。16x+9而+9隔=16x+3弋吋+轉(zhuǎn)小嚴6x+2y+zx+2y+z16x+呼丄x+18y+36z+2x+2y+z=18當且僅當x:y:

4、z=1:18:36取等。好了，我相信通過這兩個例題你對待定系數(shù)均值有了個大致的思路了，那我們開始來處理下面的幾個問題吧！3.設x,y,z是正實數(shù)，求10 x2+10y2+62的最小值。xy+yz+zx解：我們考慮引進參數(shù)k使其滿足：10 x2+10y2+z2=kx2+ky2+(10一k)x2+號+(10一k)y2+寸2kxy+2(10一k)(xz+yz)依據(jù)取等條件我們有：2k=*：2(10-k)=tnt=4故10 x2+10y2+z2的最小值為4xy+yz+zx4.設x,y,z是正實數(shù)且滿足x+y+z=3，求x2+y2+z3的最小值解：觀察題目的結(jié)構(gòu)考慮到x,y地位的平等性，引進參數(shù)k,lx

5、2+k22xk2yknx2+y2+z3+2(k2+13)2k(x+y)+3l2zz3+13+133zl2由取等條件我們有：2k=3l2,x=k,y=k,z=ln2k+l=3解之得k=19-丙.-1+丙,1=1262317+43朽718由取等條件：1=21k2k所以x2+y2+z32k(x+y)+3l2z一2(k2+13)二6k一2(k2+13)二當然了這個題目明顯可以拉格朗日數(shù)乘法來解決，這也從另外一個角度啟示我們某些條件極值是可以用待定系數(shù)均值來解決的.5.設x,y為正實數(shù)，且x+y=1，求丄+蘭的最小值x2y2分析：這個題玩過不等式的會說權方和秒！今天我們從待定系數(shù)均值的角度也來玩一玩?？?/p>

6、慮x+y=1和為定值，我們?yōu)榱耸褂镁?，可以這樣引進參數(shù)18181kxkx8kykyk2因止匕+k=+k(x+y)=+9甲TOC o 1-5 h zx2y2x2y2x222y222V41kxx22由取等條件：93竺-k=27x2y2V46.若x+2*；xy0,y0恒成立，求a的最小值。解：x+2jxy0,y0恒成立所以x+2xy0,y0恒成立x+y下面我們依然可以待定均值x+y=(1-k)x+kx+y(1-k)x+2：kxy消去k我們得到：12t1=0方程的最大根及為我們所求解之得t=因此a的最小值為土12讀到這里也許有讀者會說：你每次解那個比例式方程為什么說那個比值就是我們要求的目標呢？這個

7、問題我想不用我解釋吧，這太顯然了！是不是？為了加深對這個方法的認識和應用，我們來看一個大家都很熟悉的問題：7.若a-,b且a+b=1，求證:、+1+2b+12222好吧！你也許會說哥用柯西一行就秒了。是的，今天在這里我用待定系數(shù)來處理一下這個問題?？紤]這樣引進參數(shù)m2a+12a+1=m2a+1m22a+1m2+2b+1m2v2b+1=m.2b+1x2a+1+2b+12m2m22a+1m2=m2考慮取等條件：m2=竺主1=a=b=,m2=42m22a+b=12所以.2a+1+辿:2b+1b)的長方體紙板，在四個角各裁去一個大小相同的正方形，把四邊折起做成一個無蓋的盒子，要使紙盒的容積最大，問裁去

8、的正方形的邊長應為多少？分析：這是一個很old的問題了，大多可以建立函數(shù)模型用導數(shù)解決之。今天我們換個角度用均值，對還是用均值來killit!解：設裁去正方形的邊長為x則做成的無蓋長方體容積為bV=x(a-2x)(b-2x)(0 x)同樣引入?yún)?shù)m,nmx+n(a-2x)+(b-2x)3mn27mnV=丄(mx)n(a-2x)(b-2x)(3=伽_鮎_2)x+加+bmn考慮取等情況：mx=n(a-2x)=b-2x當m-2n-2二0時，右邊為常數(shù)故當二者同時成立時函數(shù)有最大值。消去參數(shù)得到：12x2-4(a+b)x+ab=0解之得：x二(a+b)土a2ab+b2,(0 x0)的最小值。2x分析：

9、這個單變量的函數(shù)，話說單變量都可以導數(shù)的嘛，你明白的在這里我還是想說均值可以killit解：考慮引進參數(shù)九011X九/九k1九、c|九2J1九y=x2+x+=x2+x+=(x2+)+(x+)n3s+21-2x2x2x4x4x2xv16V2X1X由取等條件：x2=,x=消去參數(shù)得：4x3+2x21=04x2x即(2x1)(2x2+2x+1)=0解得x=217此時X=，y=2min4兀10.問0(090y=cos20sin0=1aab(1sin0)b(1+sin0)sin0(a+b+(b+1一a)sin0)327ab考慮取等條件：a(1sin0)=b(1+sin0)=sin0b+1a=0=e$施0耳j=曲沖,a=23+131，b=丁y=cos20si