1、函數(shù)與四邊形綜合類(lèi)型題教案老師姓名輔導(dǎo)科目授課時(shí)間教材版本教輔材料蘇初四數(shù)學(xué)人教版老師選印教學(xué)目標(biāo)1、 學(xué)會(huì)對(duì)函數(shù)綜合題如何分析的一般規(guī)律；把握二次函數(shù)與四邊形綜合題的解題思路及分析方法；授課綱要及重、難點(diǎn)提示通過(guò)對(duì)典型二次函數(shù)綜合題的剖析,使其把握一般的解題分析方法及技巧,提高綜合分析解決問(wèn)題的才能；重難點(diǎn)是敏捷把握二次函數(shù)大型綜合題的解題思路及分析方法的把握；教學(xué)過(guò)程一、 復(fù)習(xí)二、典例分析（一）、與平行四邊形相關(guān)例 1如圖,已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C1,0,直線 y=x+m 與該二次函數(shù)的圖象交于A、B 兩點(diǎn),其中 A 點(diǎn)的坐標(biāo)為 3,4,B 點(diǎn)在軸 y 上. （1）求 m 的值及這個(gè)

2、二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）P 為線段 AB 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn) P 與 A 、B 不重合）,過(guò) P 作 x 軸的垂線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn) E 點(diǎn),設(shè)線段 PE 的長(zhǎng)為 h ,點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 x ,求 h 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量 x 的取值范疇；（3）D 為直線 AB 與這個(gè)二次函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn),在線段 AB 上是否存在一點(diǎn) P,使得四邊形 DCEP 是平行四形？如存在,懇求出此時(shí) P 點(diǎn)的坐標(biāo)；如不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由 . y D yC A E P F B x AMOBCxO M 例 2 圖例 1 圖 例 3 圖例2、拋物線 y x 22 x 3 與 x 軸相交于 A 、

3、 B 兩點(diǎn)（點(diǎn) A 在 B 的左側(cè)）,與 y 軸相交于點(diǎn) C ,頂點(diǎn)為 D . （1）直接寫(xiě)出 A 、 B 、 C 三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；（2）連接 BC ,與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn) E ,點(diǎn) P 為線段 BC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 過(guò)點(diǎn) P 作 PFDE 交拋物線于點(diǎn) F ,設(shè)點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為 m ：用含 m 的代數(shù)式表示線段 PF 的長(zhǎng),并求出當(dāng) m 為何值時(shí),四邊形 PEDF 為平行四邊形？設(shè)BCF 的面積為 S ,求 S 與 m 的函數(shù)關(guān)系式解：（1）A（- 1,0）,B（3, 0）,C（0,3）,拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是：x=1（ 2）設(shè)直線 BC 的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b 把 B（3,0

4、）,C（0,3）分別代入得：3 k b 0,解得： k= - 1,b=3所以直線 BC 的函數(shù)關(guān)系式為：y x 3b 3當(dāng) x=1 時(shí), y= - 1+3=2 , E（1,2）當(dāng) x m 時(shí),y m 3,2P（ m,m+3）在 y x 2 x 3 中,當(dāng) x 1 時(shí),y 4 D 1 4, 當(dāng)xm時(shí),y2 m2m3, F m,2 m2 m3線段DE=4- 2=2,線段PF2 m2 m3m32 m3 m PFDE,當(dāng) PFED 時(shí),四邊形 PEDF 為平行四邊形由m23 m2,解得：m 12,m 21（不合題意,舍去） 因此,當(dāng)m2時(shí),四邊形 PEDF 為平行四邊形設(shè)直線 PF 與 x 軸交于點(diǎn)

5、M ,由B3 0, ,O0 0, ,可得：OBOMMB3SSBPFSCPF即S1PF BM1PF OM1PFBMOM1PF OB 2222S132 m3 m32 m9m0m3222例3、在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線經(jīng)過(guò)A4, ,B0,4,C2, 三點(diǎn)（1）求拋物線的解析式；（2）如點(diǎn) M 為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)為 m ,AMB 的面積為 S 求 S 關(guān)于 m 的函數(shù)關(guān)系式,并求出 S 的最大值 （ 3）如點(diǎn) P 是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn) Q 是直線 y x 上的動(dòng)點(diǎn),判定有幾個(gè)位置能夠使得點(diǎn)P,Q,B, 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,直接寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn) Q 的坐標(biāo)yAOCxM

6、B例 4、解（ 1）略；例 5、已知：如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy 中,直線y3x6與 x 軸、 y 軸的交點(diǎn)分別為 A、B,將OBA對(duì)折,4使點(diǎn) O 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) H 落在直線 AB 上,折痕交 x 軸于點(diǎn) C .（1）直接寫(xiě)出點(diǎn) C 的坐標(biāo),并求過(guò) A、 、C 三點(diǎn)的拋物線的解析式； （2）如拋物線的頂點(diǎn)為 D ,在直線 BC 上是否存在點(diǎn) P ,使得四邊形 ODAP 為平行四邊形？如存在,求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；如不存在,說(shuō)明理由；（3）設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與直線 BC 的交點(diǎn)為 T, 為線段 BT 上一點(diǎn),直接寫(xiě)出 QA QO 的取值范疇yB11PCGAxOMD例 5 圖yy,BBPQH11NCE

7、GAx11CAxOODK圖 9 T圖 10 解：（1）點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 3,0 . - 點(diǎn) A、B 的坐標(biāo)分別為A 8,0,B0,6, 可設(shè)過(guò) A、B、C 三點(diǎn)的拋物線的解析式為ya x3x8. 將x0,y6代入拋物線的解析式,得a1. 過(guò) A、 B、C 三點(diǎn)的拋物線的解析式為4y1x211x6. 44（2）可得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x11,頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)為11,25,設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x 軸的交點(diǎn)為G.2216直線 BC 的解析式為y2x6,設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 , 2x6. 解法一：如例5 圖,作 OP AD 交直線 BC 于點(diǎn) P,連結(jié) AP,作 PMx 軸于點(diǎn) M. OP AD,25 POM

8、 =GAD ,tanPOM=tanGAD .PMDG GA,即2x6816 11. OMx2解得x16. 經(jīng)檢驗(yàn)x16是原方程的解 . 此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為16 10 ,7 7.77但此時(shí)OM16,GA5,OM GA.OPcosOM,ADcosGA,POMGAD,72POMGAD OPAD,即四邊形的對(duì)邊OP 與 AD 平行但不相等, 直線 BC 上不存在符合條件的點(diǎn)P.解法二：如圖9,取 OA 的中點(diǎn) E,作點(diǎn) D 關(guān)于點(diǎn) E 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) P,作 PNx 軸于點(diǎn) N. 就 PEO=DEA,PE=DE. 可得 PEN DEG 由OEOA4,可得 E 點(diǎn)的坐標(biāo)為 4,0 . 2NE=EG=3 2,

9、 ON=OE NE=5 2,NP=DG=25. 點(diǎn) P 的坐標(biāo)為5 25 ,2 16. x=5 2時(shí),2x625612516216 點(diǎn) P 不在直線 BC 上. 直線 BC 上不存在符合條件的點(diǎn)P .（3） QAQO 的取值范疇是0QAQO4. 例 6、y B A O C D x 例 6 圖例 8 圖例 7 圖（二）、與菱形相關(guān)例 7、如圖,平行四邊形 ABCD 在平面直角坐標(biāo)系中,AD 6,如 O A、 OB 的長(zhǎng)是關(guān)于 x 的一元二次方程 x 2 7 x 12 0 的兩個(gè)根,且 OA OB（1）求 sin ABC的值（2）如 E 為 x 軸上的點(diǎn), 且 SAOE 16,求經(jīng)過(guò)D、E兩點(diǎn)的直

10、線的解析式,并判定AOE 與DAO 是否相像？3（3）如點(diǎn) M 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),就在直線 AB 上是否存在點(diǎn) F,使以 A 、C 、 F 、 M 為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？如存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出 F點(diǎn)的坐標(biāo)；如不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1）解 x 27 x 12 0 得 x 1 4,x 2 3,所以 OA 大于 OB, OA 4,OB 3 在 RtAOB 中,由勾股定理有 AB OA 2OB 25 , sin ABC OA 4AB 5（2）點(diǎn) E 在 x 軸上,SAOE 16, 1 AO OE 16, OE 8, E 8, 或 0 E 8,由已知可知 0 D（6,4）3 2 3 3 3 34 6 k

11、 b k 6設(shè) y DE kx b,當(dāng) E 83,0 時(shí) 有 ,0 83 k b 解 得b 5165 , y DE 65 x 165 , 同 理 E 8 03 時(shí) ,y DE 6 x 16在AOE 中,AOE 90,OA 4,OE 8,在AOD 中,OAD 90,OA 4,OD 6 , 13 13 3,AOEDAO；（3）滿意條件的點(diǎn)有四個(gè) F 1 3 8,；F 2 3 0,；F 3 75,22；F 4 42,4414 7 25 25例 8、（三）、與梯形相關(guān)2例 9、直線 y kx b k 0 與坐標(biāo)軸分別交于 A 、 B 兩點(diǎn), OA 、 OB 的長(zhǎng)分別是方程 x 14 x 48 0 的兩

12、根（OA OB）,動(dòng)點(diǎn) P 從 O 點(diǎn)動(dòng)身,沿路線 O B A 以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng),到達(dá) A 點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止（1）直接寫(xiě)出 A 、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒 , OPA的面積為 S ,求 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式 （不必寫(xiě)出自變量的取值范疇）；（3）當(dāng) S 12 時(shí),直接寫(xiě)出點(diǎn) P的坐標(biāo),此時(shí),在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn) M,使以O(shè)、A、P、M為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？如存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn) M的坐標(biāo)；如不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由解： . 1 A 8 , 0 , B 0 , 6 . y2 OA 8,OB 6,AB 10 B當(dāng)點(diǎn) P 在 OB 上運(yùn)動(dòng)時(shí),OP1 t,1 1

13、 P1 P2S OA OP 1 8 t 4 t2 2當(dāng)點(diǎn) P 在 BA上運(yùn)動(dòng)時(shí),作 P2 D OA 于點(diǎn) D ,O D A xP 2 D AP 2有BO ABAP 2 6 10 t 16 t,P 2 D 48 3 tS 1OA P 2 D 18 48 3 t 12t 1925 2 2 5 5 5（3）當(dāng) 4t 12 時(shí),t 3,1P 0 3, ,此時(shí),過(guò) AOP 各頂點(diǎn)作對(duì)邊的平行線,與坐標(biāo)軸無(wú)其次個(gè)交點(diǎn),所以點(diǎn) M 不存在,當(dāng) 12 t5 1925 12 時(shí),t 11,P 2 4 , 3 ,此時(shí),M 1 ,0 3 、M 2 0 , 6 ；例 10、如圖, 在菱形 ABCD 中,AB 2 cm

14、 ,BAD 60,E 為 CD 邊中點(diǎn), 點(diǎn) P 從點(diǎn) A 開(kāi)頭沿 AC 方向以每秒 2 3 cm的速度運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn) Q 從點(diǎn) D 動(dòng)身沿 DB 方向以每秒 1 cm 的速度運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn) P 到達(dá)點(diǎn) C 時(shí), P, 同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 x 秒（1）當(dāng)點(diǎn) P 在線段 AO 上運(yùn)動(dòng)時(shí)請(qǐng)用含 x 的代數(shù)式表示 OP 的長(zhǎng)度；如記四邊形 PBEQ 的面積為 y ,求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量的取值范疇）；2）明顯,當(dāng) x 0 時(shí),四邊形 PBEQ 即梯形 ABED ,請(qǐng)問(wèn),當(dāng) P 在線段 AC 的其他位置時(shí),以 P, ,E, 為頂點(diǎn)的四邊形能否成為梯形？如能,求出全部滿意

15、條件的x 的值；如不能,請(qǐng)說(shuō)明理由DAPDECAHPECADEPCQQHOOBBQODQEBHAPOCB（1）由題意得BAO=30 , ACBD AB=2 OB=OD=1, OA=OC= 3OP= 3 2 3x過(guò)點(diǎn) E 作 EH BD,就 EH為 COD的中位線,EH 1OC 3DQ=x BQ=2-x 2 21 1 3 2 11 3 3 3y S BPQ S BEQ 2 x 3 2 3 2 x 3 x x2 2 2 4 2（2）能成為梯形,分三種情形：當(dāng) PQ BE時(shí), PQO=DBE=30OPtan30 o 3OQ 3即 3 2 3 x 3x=2 此時(shí) PB不平行 QE, x=2 時(shí),四邊形

16、 PBEQ為梯形 . 1 x 3 5 5當(dāng) PE BQ時(shí), P 為 OC中點(diǎn)AP=3 3,即 2 3 x 3 3x 3 此時(shí),BQ=2-x=5 PE,x=32 2 4 4 4時(shí),四邊形 PEQB為梯形 . 當(dāng) EQ BP時(shí), QEH BPO HE QH2 3 x 12OP BO 2 3 x 3 1x=1（ x=0 舍去）此時(shí), BQ不平行于 PE, x=1 時(shí),四邊形 PEQB為梯形 . 綜上所述,當(dāng) x=2 或3 或 1 時(shí),以 P,B,E,Q為頂點(diǎn)的四邊形是梯形 . 5 4例 11、如圖, P 為正方形 ABCD 的對(duì)稱(chēng)中心,A 0, ,B 1, ,直線 OP 交 AB 于 N , DC

17、于 M ,點(diǎn) H 從原點(diǎn) O 出發(fā)沿 x 軸的正半軸方向以 1 個(gè)單位每秒速度運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn) R 從 O 動(dòng)身沿 OM 方向以 2 個(gè)單位每秒速度運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 求：（1） C 的坐標(biāo)為；（2）當(dāng) t 為何值時(shí),ANO 與DMR 相像？（3）求HCR 的面積 S 與 t 的函數(shù)關(guān)系式；并求以 A, ,C, 為頂點(diǎn)的四邊形是梯形時(shí) t 的值及 S 的最大值y D（1）（,）APRM時(shí), 3, 點(diǎn)（ 3, 0）ONCBHx（ 2）當(dāng) MDR45時(shí), 2, 點(diǎn)（ 2,0）當(dāng) DRM451（） 21 （） ；（1 分） 2（）當(dāng) 時(shí),13,439 32當(dāng) 時(shí),9,A9 8當(dāng) 時(shí),1,11 18）

18、32例 12、如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy 中,點(diǎn) 3 ,1關(guān)于 x 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C,AC與x軸交于點(diǎn)B,將OCB沿OC翻折后,點(diǎn) B落在點(diǎn)D處（1）求點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過(guò)O、D、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）如拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與 OC 交于點(diǎn) E ,點(diǎn) P 為線段 OC 上一點(diǎn), 過(guò)點(diǎn) P 作 y 軸的平行線, 交拋物線于點(diǎn) Q 當(dāng)四邊形 EDQP 為等腰梯形時(shí),求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；當(dāng)四邊形 EDQP 為平行四邊形時(shí),直接寫(xiě)出點(diǎn) P 的坐標(biāo) . yAO2M 1 P2 E 6P143BxNQ287Q1CD解：（1）如下列圖, 點(diǎn) A 3 ,1 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 C ,AC 與 x 軸交于點(diǎn) B , AC x 軸于 B , 3 , 0,C 3 , 1BC AB 1 , OB 3OC 2 , 1 30 , 3 60,由題意可知 2 1 30,OD OB 3NOD 30過(guò)點(diǎn) D 作 DM x軸于M,1 3 3 3DN y 軸于 N ,在 Rt OND 中,DN OD , ON 3 DN由矩形 ONDM 得 OM DN2 2 2 2點(diǎn) D 在第四象限D(zhuǎn) 3, 3 2 22 3a 3b 3,（2）設(shè)經(jīng)過(guò) O 、 D 、 B 三點(diǎn)的拋物線的解析式為 y ax bx . 依題意得 4 2 23 a 3 b 0.a 2, 2解得此拋物