1、3.2.1復(fù)數(shù)的加法與減法教學(xué)案1教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：掌握復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算及意義過程與方法：理解并掌握實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算的規(guī)律，了解復(fù)數(shù)加減法運(yùn)算的幾何意義情感、態(tài)度與價(jià)值觀：理解并掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(復(fù)數(shù)集、代數(shù)形式、虛數(shù)、純虛數(shù)實(shí)部、虛部)理解并掌握復(fù)數(shù)相等的有關(guān)概念；畫圖得到的結(jié)論，不能代替論證，然而通過對(duì)圖形的觀察，往往能起到啟迪解題思路的作用教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)加法運(yùn)算，復(fù)數(shù)與從原點(diǎn)出發(fā)的向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)數(shù)加法運(yùn)算的運(yùn)算率，復(fù)數(shù)加減法運(yùn)算的幾何意義。教具準(zhǔn)備：多媒體、實(shí)物投影儀。教學(xué)設(shè)想：復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)惟一的一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有惟一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng)。復(fù)數(shù)

2、z=a+bi(a、bWR)與有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系”這是因?yàn)閷?duì)于任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a、bGR)，由復(fù)數(shù)相等的定義可知，可以由一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)惟一確定.教學(xué)過程：學(xué)生探究過程：1虛數(shù)單位i:(1)它的平方等于-1,艮卩i2=-1;(2)實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立i與一1的關(guān)系：i就是一1的一個(gè)平方根，即方程X2=1的一個(gè)根，方程X2=1的另一個(gè)根是一ii的周期性：i4n+1=i,i4n+2=-1,I4n+3=-i,I4n=1*復(fù)數(shù)的定義：形如a+bi(a,beR)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，a叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫復(fù)數(shù)的虛部全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)

3、數(shù)集，用字母C表示*3.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi(a,beR)，把復(fù)數(shù)表示成a+bi的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.4.復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關(guān)系：對(duì)于復(fù)數(shù)a+bi(a,beR)，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，復(fù)數(shù)a+bi(a、bR)是實(shí)數(shù)a；當(dāng)b工0時(shí)，復(fù)數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且b工0時(shí),z=bi叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)，z就是實(shí)數(shù)0.5復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：礙ZWQ呈婷C.6.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等即：如果a,b,c,dR,那么a+bi=c+dioa=c,b=d、一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說相等

4、或不相等，而不能比較大小.如果兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，就可以比較大小*只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)才不能比較大/小bZ(a,b)oxax7.復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a,縱坐標(biāo)是b,復(fù)數(shù)z=a+bi(a、bWR)可用點(diǎn)Z(a,b)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面,也叫高斯平面,x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù).對(duì)于虛軸上的點(diǎn)要除原點(diǎn)外,因?yàn)樵c(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為(0,0),它所確定的復(fù)數(shù)是z=0+0i=0表示是實(shí)數(shù).故除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)“復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,即復(fù)數(shù)z二a+bi對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)這是因?yàn)?

5、每一個(gè)復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)惟一的一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)；反過來,復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn),有惟一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng).這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法8.若A(x,y),O(0,0)，則OA二(x,y)9.若a二(,yi)，b-(,叮，則a+b二W+X2,yi+U)，a-b=(x-x,y-y)1212兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差10.若A(x,y),B(x,y)，則aB=(x-x,yy)11222121一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)即AB=OBOA=(x2,y2)(x1,y1)=(x2-X,y-y1)*講解新課：一復(fù)數(shù)代數(shù)形

6、式的加減運(yùn)算1復(fù)數(shù)z1與z2的和的定義：Z+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.復(fù)數(shù)z1與z2的差的定義：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律:z1+z2=z2+z1.證明：設(shè)z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2，b2R).*/z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i.z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i.又Va1+a2=a2+a1,b1+b2=b2+b1./z1+z2=z2+z1.即復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律.4.

7、復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)證明：設(shè)z1=a1+b1i.z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2，a3，b1，b2，b3R).(z1+z2)+z3=(a1+b1i)+(a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+a2)+(b1+b2)i+(a3+b3)i=(a1+a2)+a3+(b1+b2)+b3i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i.z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+(a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+b1i)+(a2+a3)+(b2+b3)i=a1+(a2+a3)+b1+(b2+b3)i=(a1+a2+a3)+(b1+

8、b2+b3)iT(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3),(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3).(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律講解范例：例1計(jì)算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-l-4)i=11i，例2計(jì)算：(12i)+(2+3i)+(34i)+(4+5i)+-+(2002+2003i)+(20032004i)解法一：原式=(12+34+2002+2003)+(2+34+5+20032004i)=(20031001)+(10012004)i=10021003i.解法二:

9、T(12i)+(2+3i)=1+i,(34i)+(4+5i)=1+i，(20012002i)+(2002+2003)i=1+i.相加得(共有1001個(gè)式子)：原式=1001(l+i)+(20032004i)=(20031001)+(10012004)i=10021003i-二.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算的幾何意義復(fù)數(shù)的加(減)法(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i.與多項(xiàng)式加(減)法是類似的.就是把復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部，虛部與虛部分別相加(減).1.復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)一一對(duì)應(yīng)平面向量OZ2.復(fù)數(shù)z=a+bi對(duì)應(yīng)平面向量OZ3.復(fù)數(shù)加法的幾何意義：設(shè)復(fù)數(shù)z1=a+bi，z=c+di，在復(fù)

10、平面上所對(duì)應(yīng)的向量為OZ、OZ,1212即OZ、OZ的坐標(biāo)形式為OZ=(a，b)，OZ=(c，d)以O(shè)Z、OZ121212OZ=OZ+OZ12為鄰邊作平行四邊形OZZZ2，則對(duì)角線OZ對(duì)應(yīng)的向量是OZ，=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)=(a+c)+(b+d)i124.復(fù)數(shù)減法的幾何意義復(fù)數(shù)減法是加法的逆運(yùn)算，設(shè)z=(ac)+(bd)i,所以zz1=z2,z2+z1=z，由復(fù)數(shù)加法幾何意義，以O(shè)Z為一條對(duì)角線，渥為一條邊畫平行四邊形，那么zz1的差(ac)+(bd)i對(duì)應(yīng)由這個(gè)平行四邊形的另-邊OZ2所表示的向量OZ2就與復(fù)數(shù)于OZ=ZZ，所以，兩個(gè)復(fù)數(shù)的差zz1與連接這兩個(gè)向量終點(diǎn)

11、并指向被減數(shù)的向量對(duì)應(yīng).211例3已知復(fù)數(shù)z1=2+i,z2=1+2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B,求AB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z,z在平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限？解：z=z2z1=(1+2i)(2+i)=1+i，Vz的實(shí)部a=10,虛部b=10,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限內(nèi).點(diǎn)評(píng)：任何向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù),總是這個(gè)向量的終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)減去始點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)所得的差.即AB所表示的復(fù)數(shù)是而BA所表示的復(fù)數(shù)是zAzB，故切不可把被減數(shù)與減數(shù)搞錯(cuò)盡管向量AB的位置可以不同，只要它們的終點(diǎn)與始點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的差相同，那么向量AB所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是惟一的，因此我們將復(fù)平面上的向量稱之自由向量，即它只與其方向和長

12、度有關(guān)，而與位置無關(guān)例4復(fù)數(shù)z1=1+2i，z2=2+i，z3=12i，它們?cè)趶?fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，求這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).分析利用AD=BC,求點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù).解法一：設(shè)復(fù)數(shù)Z、z2、z3所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A、B、C,正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為x+yi(x,yWR)，是：AD=OD-OA=(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i;BC=OCOB=(-1-2i)-(2+i)=1-3i.*.*AD=BC，即(x-1)+(y2)i=1-3i,x1二1,、y2=_3,x二2,解得y=1故點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2-i.分析二：利用原點(diǎn)O正好是正方形ABCD的中心來解

13、.解法二：因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以原點(diǎn)O為正方形的中心，于是(-2+i)+(x+yi)=0,.x=2,y=-1.故點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2-i.點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題意畫圖得到的結(jié)論，不能代替論證，然而通過對(duì)圖形的觀察，往往能起到啟迪解題思路的作用鞏固練習(xí)：1.已知復(fù)數(shù)z1=2+i,z2=1+2i，則復(fù)數(shù)z=z2-z1在復(fù)平面內(nèi)所表示的點(diǎn)位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2在復(fù)平面上復(fù)數(shù)一3-2i,-4+5i,2+i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A、B、C,則平行四邊形ABCD的對(duì)角線BD所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是A.5-9iB.-5-3iC.7-11iD.-7+11i3已知復(fù)平面上AAOB的頂點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的復(fù)

14、數(shù)為1+2i，其重心G所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+i,則以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線長為A3込B.22C.24復(fù)平面上三點(diǎn)A、B、C分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)1,2i,5+2i，則由A、B、C所構(gòu)成的三角形是A.直角三角形B.等腰三角形C.銳角三角形D.鈍角三角形一個(gè)實(shí)數(shù)與一個(gè)虛數(shù)的差()A.不可能是純虛數(shù)B.可能是實(shí)數(shù)C.不可能是實(shí)數(shù)D.無法確定是實(shí)數(shù)還是虛數(shù)計(jì)算(-近+J3i)+(罷-冋-(-邁)+J2)i=_.計(jì)算：(2x+3yi)(3x2yi)+(y2xi)3xi=(x、y丘R).計(jì)算(12i)(23i)+(34i)(20022003i).9.已知復(fù)數(shù)z1=a23+(a+5)i,z2=a1+(a2+

15、2a1)i(aR)分別對(duì)應(yīng)向量OZ】、OZ(O為原點(diǎn))，若向量量ZZ對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求a的值.12解:翠對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z2Z1，則z2z1=a1+(a2+2a1)ia23+(a+5)i=(aa2+2)+(a2+a6)i*z2z1是純虛數(shù)解得a=1.Jaa2+2=0a2+a6豐010.已知復(fù)平面上正方形的三個(gè)頂點(diǎn)是A(1,2)、B(2,1)、C(1,2),求它的第四個(gè)頂點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).解：設(shè)D(x,y),則ADODOA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(x+yi)(1+2i)=(x1)+(y2)iBCOCOB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為：(一12i)(2+i)=13iADBC(x1)+(y2)i=13ix11y23Ix2，解得|y1.D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2i。答案：1.B2.C3.A4.A5.C6.2：2i7.(yx)+5(yx)i8.解：原式=(12+34+-+20012002)+(2+34+2002+2003)i=1001+1001=課后作業(yè)：課本第112頁習(xí)題3.21,2,3教學(xué)反思：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，即：如果a,b,c,dR,那么a+bi=c+dia=c，b=d一般地,兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說相等或不相等,而