1、數(shù)學(xué)建模B實(shí)驗(yàn)名稱：數(shù)學(xué)規(guī)劃模型學(xué)生班級：學(xué)生姓名：班內(nèi)序號: 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?）著重于數(shù)學(xué)建模的角度，介紹如何建立若干實(shí)際優(yōu)化問題的模型（2）在用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)軟件求解后，對結(jié)果做一些分析.二、實(shí)驗(yàn)題目題目一：某公司用兩種原油（A和B）混合加工成兩種汽油（甲和乙）甲、乙兩種汽油含原油A的最低比例分別為50%和60%,售價(jià)分別為4800元/t和5600元/t.該公司現(xiàn)有原油A和B的庫存量分別為500t和10001,還可以從市場上買到不超過15001的原油A.原油A的市場價(jià)為：購買量不超過5001時的單價(jià)為10000元/t；購買量超過5001但不超過10001時，超過5001的部分8000

2、元/1；購買量超過10001時，超過10001的部分6000元/1.該公司應(yīng)如何安排原油的采購和加工?題目二：某電力公司經(jīng)營兩座發(fā)電站，發(fā)電站分別位于兩個水庫上位置如圖水源B水源A0水庫0發(fā)電站:水庫。發(fā)電站AB已知發(fā)電站A可以將水庫A的10000m3的水轉(zhuǎn)換為400千度電能，發(fā)電站B只能將水庫B的10000m3的水轉(zhuǎn)換為200千度電能發(fā)電站A,B每個月的最大發(fā)電能力分別是60000千度,35000千度每個月最多有50000千度電能夠以200元/千度的價(jià)格售出，多余的電能只能夠以140元/千度的價(jià)格售出水庫A,B的其他有關(guān)數(shù)據(jù)如下表（單位：104m3）水庫A水庫B水庫最大畜水里20001500

3、水源流入水量本月20040下月13015水庫最小畜水量1200800水庫目前畜水量1900850請你為該電力公司制定本月和下月的生產(chǎn)經(jīng)營計(jì)劃。(千度是非國際單位制單位1千度=103kWh)三、問題分析問題一：安排原油采購、加工的目標(biāo)只能是利潤最大，題目中給出的是兩種汽油的售價(jià)和原油A的采購價(jià)，利潤為銷售汽油的收人與購買原油A的支出之差.這里的難點(diǎn)在于原油A的采購價(jià)與購買量的關(guān)系比較復(fù)雜，是分段函數(shù)關(guān)系，能否以及如何用線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃模型加以處理是關(guān)鍵所在.題目二：制定生產(chǎn)經(jīng)營計(jì)劃是為了獲利達(dá)到最大。本題要解決的關(guān)鍵在于如何對水庫水量的調(diào)度，同時，兩座發(fā)電站又有各自不同的資源和效益。根據(jù)對兩水

4、庫各項(xiàng)數(shù)據(jù)的分析，建立目標(biāo)函數(shù)，即線形規(guī)劃方程。深入分析本月和下月兩水庫供應(yīng)兩電站的水量、本月和下月兩水庫放走的水量、本月和下月結(jié)束時兩水庫的水量以及本月和下月高、低價(jià)售出的電量列出所有滿足目標(biāo)函數(shù)的約束條件。利用LINGON軟件對其求解，可得最優(yōu)解，此時電力公司收益最大。四、模型建立題目一：設(shè)原油A的購買量為x，根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)，將采購支出c(x)表示為如下函數(shù)：10 x(0 x500)1000+8x(500 x1000)(1)3000+6x(1000 x1500)設(shè)原油A用于生產(chǎn)甲、乙兩種汽油的數(shù)量分別為x和x，原油B用于生產(chǎn)1112甲、乙兩種汽油的數(shù)量分別為x和x，則總收入為4.8(x+

5、x)+5.6(x+x)。212211122122于是目標(biāo)函數(shù)利潤為maxz=4.8(x+x)+5.6(x+x)-c(x)(2)11121112約束條件為兩種汽油用的原油A、B庫存量的限制，原油A購買量的限制,以及兩種汽油包含原油A的限制，如下：3）（4）（5）（6）（7）（8）x+x500+x1112x+x10002122x0.5x+x1121x120.6x+x1222x,x,x,x,x011122122題目二：假設(shè)水源的流入是在每月月初開始就有的，水庫中的水允許不發(fā)電就流出x:A水庫本月發(fā)電用水量。(單位：萬m3)x:A水庫下月發(fā)電用水量。X:TOC o 1-5 h za1a2b1B水庫本月

6、發(fā)電用水量。x:B水庫下月發(fā)電用水量。y:A水庫本月直接放b2a1走的水量。y:A水庫下月直接放走的水量。y:B水庫本月直接放走的水量。a2b1y:B水庫下月直接放走的水量。z:本月結(jié)束時A水庫的水量。z:下月結(jié)b2a1a2束時A水庫的水量。z:本月結(jié)束時B水庫的水量。z:下月結(jié)束時B水庫的b1b2水量。u:本月以高價(jià)出售的電量。u:下月以高價(jià)出售的電量。v:本月以121低價(jià)出售的電量。v:下月以低價(jià)出售的電量。2根據(jù)線性規(guī)劃的基本模型，結(jié)合數(shù)學(xué)建模知識，我們可以得出目標(biāo)函數(shù)為:max=200（u+u）+140（v+v）1212 （9） 其中，約束條件為：（1）當(dāng)月賣出的電量不能高于生產(chǎn)出的電

7、量：400 x+200 x=u+v,400 x+200 x=u+va1b111a2b222（2）水庫水量守恒：x+y+z=1900+200,a1a1a1x+y+z=850+40+x+y,b1b1b1a1a1x+y+z=z+130,a2a2a2a1x+y+z=x+y+z+15,b2b2b2a2a2b2（3）發(fā)電站發(fā)電能力的限制：400 x60000,a1400 x60000,a2200 x35000,b1200 x35000,b2（4）每個水庫蓄水量限制：1200z2000,a11200z2000,a2800z1500,b1800z1500,b2（5）最高價(jià)出售電量的限制：u50000,1u0;

8、只有當(dāng)u=50000時，才有v0。即只1122有總電量超過50000度時，剩余的電量以140元的價(jià)格售出。五、模型求解題目一：解法1：一個自然的想法是將原油A的采購量x分解為三個量，即用x,x,x123分別表示以價(jià)格10千元/t、8千元/t、6千元/t采購的原油A的數(shù)量，總支出為c（x）=10 x+8x+6x，且123x=x+x+x123這時(10)改變?yōu)榫€性函數(shù)maxz=4.8(x+x)+5.6(x+x)-(10 x+8x+6x)(10)11211222123應(yīng)當(dāng)注意到，知有以10千元/t的價(jià)格購買x=500t時，才能以8千元/t的價(jià)1格購買x這個條件可以表示為2TOC o 1-5 h z(

9、x-500)x=0(11)12同理，只有以8千元/t的價(jià)格購買x=500t時，才能以6千元的價(jià)格購買x，23(x-500)x=0(12)23此外，OWxxx500(13)1,2,3將該模型輸入LINGO：model:max=4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-10*x1-8*x2-6*x3;x11+x12x+500;x21+x220;0.4*x12-0.6*x220;x=x1+x2+x3;(x1-500)*x2=0;(x2-500)*x3=0;x1500;x2500;x3500;end輸出結(jié)果Localoptimalsolutionfound.Objectiveva

10、lue:4800.000Infeasibilities:0.5560952E-11Totalsolveriterations:24VariableValueReducedCost X11500.00000.000000X21500.00000.000000X120.0000000.2666667X220.0000000.000000X10.0000000.4000000X20.0000000.000000X30.0000000.000000X0.0000000.000000最優(yōu)解是用庫存的500t原油A、500t原油B生產(chǎn)1000t汽油甲，不購買新的原油A,利潤為4800000元。但只得到局部

11、最優(yōu)解，全劇最優(yōu)解如下Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:5000.001Objectivebound:5000.001Infeasibilities:0.1225483E-06Extendedsolversteps:12Totalsolveriterations:533VariableValueReducedCostX110.0000000.9000000X210.0000000.000000X121500.0000.000000X221000.0000.000000X1500.00000.000000X2499.99960.000000X30

12、.3500690E-030.000000X1000.0000.000000 全局的最優(yōu)解是，購買1000t原油A和庫存的500t原油A和1000t原油B生產(chǎn)2500t汽油乙，利潤為5000000元。解法2：引入0-1變量將（11）（12）轉(zhuǎn)化為線性約束。令yi=0,y2=0,y3=0分別表示以10千元/t、8千元/t、6千元/t的價(jià)格采購原油A,則約束（11）（12）可以替換為TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 500yx500y（14）500yx500y(15)322 HYPERLINK l bookmark26 o

13、 Current Document x500y(16)33y,y,y=0或1(17)123(3)(10),(13)(17)構(gòu)成整數(shù)線性規(guī)劃模型，將該模型輸入LINGO軟件如下：model:max=4.8*x11+48*x21+5.6*x12+5.6*x22-10*x1-8*x2-6*x3;x11+x12x+500;x21+x220;0.4*x12-0.6*x220;x=x1+x2+x3;x1500*y1;x2500*y2;x3500*y2;x2500*y3;bin(y1);bin(y2);bin(y3);end 運(yùn)行程序得到：Globaloptimalsolutionfound.Objecti

14、vevalue:5000.000Objectivebound:5000.000Infeasibilities:0.2273737E-12Extendedsolversteps:3Totalsolveriterations:12VariableValueReducedCostX110.0000000.000000X210.0000000.000000X121500.0000.000000X221000.0000.000000X1500.00000.000000X2500.00000.000000X30.0000000.000000X1000.0000.000000Y11.0000000.0000

15、00Y21.000000200.0000Y30.000000-1400.000全局最優(yōu)解是購買1000t原油A,與庫存的500t原油A和1000t原油B一起，共生產(chǎn)2500t汽油乙，利潤為5000000元。解法3：直接處理分段函數(shù)如圖所示在bx0,c(x)=zc(b)+zc(b)；121122在bx0,c(x)=zc(b)+zc(b)；232233在bx0,3434c(x)=zc(b)+zc(b)。3344對于變量V(k=l,2,3)當(dāng)X在第k個小區(qū)間時，yk=1，否則yk=0.這樣Z,k，kk1Z，Z，Z，V1，V2，V3應(yīng)滿足23412TOC o 1-5 h zzy,zy+y,zy+y,z

16、0(k=1,2,3,4)(19)1234ky+y+y=1,y,y,y=0或1(20)123123此時x和c(x)可以統(tǒng)一表示為x=zb+zb+zb+zb=500z+1000z+1500z(21)1122334423422)c(x)=zc(b)+zc(b)+zc(b)+zc(b)11223344=5000z+9000z+12000z234(2)(8),(18)(22)也可構(gòu)成一個整體規(guī)劃模型將其輸入LINGO如下model:maX=4.8*X11+4.8*X21+5.6*X12+5.6*X22-5000*Z2-9000*Z3-12000*Z4;x11+x12x+500;X21+X220;0.4*

17、x12-0.6*x220;y1Z1;y1+y2Z2;y2+y3z3;y3z4;z1+z2+z3+z4=1;y1+y2+y3=1;x=500*z2+1000*z3+1500*z4;bin(y1);bin(y2);bin(y3);運(yùn)行程序得到如下：Globaloptimalsolutionfound.5000.0005000.0000.2273737E-12318Objectivevalue:Objectivebound:Infeasibilities:Extendedsolversteps:Totalsolveriterations:VariableValueReducedCostX110.00

18、00000.000000X210.0000001.400000X121500.0000.000000X221000.0000.000000Z20.0000000.000000Z31.0000000.000000Z40.0000000.000000X1000.0000.000000Y10.000000-4000.000Z10.0000000.000000Y20.000000-1000.000Y31.0000000.000000結(jié)果與上一解相同。題目二：利用建立的模型將其輸入LINGO如下:model:max=200*(u1+u2)+140*(v1+v2);400*xa1+200*xb1=u1+v1;400*xa2+200*xb2=u2+v2;xa1+ya1+za1=1900+200;xb1+yb1+zb1=850+40+xa1+ya1;xa2+ya2+za2=za1+130;xb2+yb2+zb2=zb2+15+xa2+ya2;400*xa1=60000;400*xa2=60000;200*xb1=35000;200*xb1=35000;za1=12