1、可靠性數(shù)學(xué)根本知識(shí)電力可靠性管理中心 李霞二一一年八月 貴陽(yáng)CER8/27/20221中文網(wǎng)址: 國(guó)家電力監(jiān)管委員會(huì)電力可靠性管理中心英文網(wǎng)址:主要內(nèi)容電力可靠性根本概念概率根本知識(shí)元件的可靠性分析系統(tǒng)可靠性分析簡(jiǎn)介 一、電力可靠性根本概念組成系統(tǒng)的元件個(gè)數(shù)單個(gè)元件可靠性99.999%99.99%99.9%99%系統(tǒng)可靠性1099.99%99.90%99.00%90.44%10099.90%99.01%90.48%36.60%25099.75%97.53%77.87%8.11%50099.50%95.12%60.64%0.66%100099.01%90.48%36.77%0.1%1000090

2、.48%36.79%0.1%0.1%10000036.79%0.1%0.1%0.1%10000000.1%0.1%0.1%100 =0 x100計(jì)算這種燈泡的期望壽命。解： 許多標(biāo)準(zhǔn)型分布可用作各種可靠性參數(shù)的數(shù)學(xué)模型，但通過(guò)實(shí)踐證明最常用的統(tǒng)計(jì)分布為二項(xiàng)分布、泊松分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布、威布爾分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布，這些分布能滿足大局部可靠性分析工作的需要。常用的分布二項(xiàng)分布 如果某個(gè)試驗(yàn)只有成功和失敗兩種結(jié)果，且假設(shè)成功的概率是p，失敗的概率是q，那么對(duì)于n次試驗(yàn)有 稱(chēng)其為二項(xiàng)分布，并滿足以下條件 (1) 有限的試驗(yàn)次數(shù) (2) 每次試驗(yàn)只出現(xiàn)兩種結(jié)果之一 (3) 所有試驗(yàn)結(jié)果有相同概率 (

3、4) 每次均為獨(dú)立試驗(yàn)二項(xiàng)分布 例：某發(fā)電廠有三臺(tái)機(jī)組，容量分別為100，150，200兆瓦，故障概率分別為，。該廠的負(fù)荷為250兆瓦，求該廠喪失負(fù)荷的概率。 機(jī)組參數(shù)機(jī)組號(hào)容量/兆瓦故障概率11000.0121500.0232000.03二項(xiàng)分布計(jì)算表機(jī)組可用容量/兆瓦停運(yùn)容量/兆瓦公式概率失負(fù)荷/兆瓦1（100兆瓦）2 （150兆瓦）3 （200兆瓦）完好完好完好45000.99*0.98*0.970.9410940故障完好完好3501000.01*0.98*0.970.0095060完好故障完好3001500.99*0.02*0.970.0192060完好完好故障2502000.99*0

4、.98*0.030.0291060故障故障完好2002500.01*0.02*0.970.00019450故障完好故障1503000.01*0.98*0.030.000294100完好故障故障1003500.99*0.02*0.030.000594150故障故障故障04500.01*0.02*0.030.000006250二項(xiàng)分布 負(fù)荷損失期望值為：E負(fù)荷損失兆瓦泊松分布泊松分布描述給定時(shí)間或空間內(nèi)發(fā)生率為常數(shù)，一定次數(shù)單個(gè)事件發(fā)生的頻率。它與二項(xiàng)分布的主要區(qū)別是只考慮事件的發(fā)生。如果利用泊松分布來(lái)模擬失效過(guò)程，這時(shí)常將其參數(shù)稱(chēng)為故障率。因此。令dt是一個(gè)足夠小的時(shí)間單元，使得在這個(gè)時(shí)間單元內(nèi)

5、多于一次的故障概率可以忽略，那么可得密度分布函數(shù)： 即，泊松分布是二項(xiàng)分布的近似，主要用于分析單位時(shí)間的故障率，求在時(shí)段0,t中發(fā)生x次的概率Pxt。泊松分布例：某大型網(wǎng)絡(luò)處理系統(tǒng)的平均故障率是每三個(gè)月一次，求一年1次的概率和發(fā)生5次以上的概率。解： =4次/年一年發(fā)生1次的概率： P11=4e-4一年發(fā)生5次以上的概率:=1- P01- P11- P21- P31- P41- P51=1-e-4-4e-4 - 42e-4 /2- 43e-4 /3- 44e-4 /4- 45e-4 /5正態(tài)分布 正態(tài)概率分布又稱(chēng)高斯分布，是最廣泛使用的分布之一，它的概率密度函數(shù)對(duì)均值完全對(duì)稱(chēng)，其形狀和位置由均

6、值和標(biāo)準(zhǔn)差唯一確定。正態(tài)分布密度函數(shù) 正態(tài)分布的主要特點(diǎn)是當(dāng)隨機(jī)變量為時(shí)，概率為，因之是正態(tài)分布的均值，而且由于確定了曲線的橫坐標(biāo)位置，常稱(chēng)它為位置參數(shù)； 確定了離散度的大小，常稱(chēng)其為尺度參數(shù)，也就是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差。正態(tài)分布 正態(tài)分布通常是用數(shù)值積分由計(jì)算機(jī)解算，并編制了不同積分限時(shí)曲線下面積的標(biāo)準(zhǔn)表，查表進(jìn)行計(jì)算。標(biāo)準(zhǔn)表的依據(jù)是用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量Z進(jìn)行以下代換 正態(tài)分布例：某城鎮(zhèn)新安裝2000盞公用照明燈具，其平均壽命為1000小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為200小時(shí)。投入使用700小時(shí)后，需要準(zhǔn)備多少燈具作為更換可能損壞的燈具之用？解：設(shè)燈具的使用壽命服從正態(tài)分布，那么燈具使用700小時(shí)后可能損壞的概率可由

7、圖的陰影面積表示。那么有 圖 正態(tài)分布曲線 正態(tài)分布據(jù)此可從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中查得相關(guān)數(shù)據(jù)，按下式計(jì)算出相應(yīng)的概率Q(-1.5)： Q(-1.5) = 0.5 0.4332 = 0.0668 從而得到使用700小時(shí)后燈具的期望故障數(shù)是即，使用700 小時(shí)后大約需要134盞燈具作更換損壞燈具的備用。指數(shù)分布 一般所說(shuō)的指數(shù)分布，可看成是泊松分布的特殊情況，即只考慮第一次故障概率的情況。指數(shù)使用故障率為常數(shù)或者說(shuō)與時(shí)間無(wú)關(guān)的假設(shè)。應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，如果是研究與時(shí)間相關(guān)的概率，分布是系統(tǒng)可靠性問(wèn)題中用得最廣泛的一種分布，目前工程實(shí)用中為簡(jiǎn)化計(jì)算，常常不加證明地不同的分布會(huì)得到明顯不同的結(jié)果。 可靠度 故障

8、密度函數(shù) 指數(shù)分布均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為指數(shù)分布 例：如圖的單個(gè)可維修元件系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)，設(shè)其故障率和修復(fù)率均為常數(shù)，試研究該系統(tǒng)的風(fēng)險(xiǎn)概率和頻率指標(biāo)。 指數(shù)分布那么根據(jù)概率根本定義可得穩(wěn)態(tài)可用度A和穩(wěn)態(tài)不可用度U為 頻率指數(shù)分布 根據(jù)指數(shù)分布假設(shè)得時(shí)刻 t 的工作和失效狀態(tài)概率密度函數(shù)，并建立相應(yīng)的微分方程并解出瞬時(shí)可用度和不可用度分別為指數(shù)分布從R(t)和A(t)的函數(shù)關(guān)系圖中，可看出它們之間概念上的區(qū)別。 圖 可靠度和時(shí)間相關(guān)可用度 三、元件的可靠性分析 元件、設(shè)備和系統(tǒng)根據(jù)使用過(guò)程的不同，可分為可修復(fù)和不可修復(fù)兩大類(lèi)。不可修復(fù)元件、設(shè)備和系統(tǒng)：損壞后無(wú)法修復(fù)或無(wú)修復(fù)價(jià)值者。對(duì)不可修

9、復(fù)元件、設(shè)備和系統(tǒng)，常用在規(guī)定條件下和規(guī)定時(shí)間內(nèi)未發(fā)生故障這一事件的概率作為可靠性指標(biāo)，稱(chēng)為可靠度(t)。可修復(fù)元件、設(shè)備和系統(tǒng)：損壞后經(jīng)過(guò)修理能恢復(fù)到原有功能而可以再投入使用。對(duì)可修復(fù)元件、設(shè)備和系統(tǒng)可靠度，除了要測(cè)度它們發(fā)生故障的概率，還要計(jì)算他們?cè)诎l(fā)生故障后可修復(fù)的概率，因此，它們的可靠性指標(biāo)常用可用度來(lái)表示?？捎枚龋嚎尚迯?fù)元件、設(shè)備和系統(tǒng)在長(zhǎng)期運(yùn)行中處于或準(zhǔn)備處于工作狀態(tài)的時(shí)間所占的比例?？煽慷?t):在規(guī)定的條件下和規(guī)定的時(shí)間區(qū)間t1,t2內(nèi)無(wú)故障持續(xù)完成規(guī)定功能的概率。不可靠度Q(t):不能完成規(guī)定功能的概率。 (t)+ Q(t)=1 或者：Q(t)=1-(t) 由：(t)+ Q(

10、t)=1求導(dǎo)得： 式中f(t)是故障概率密度函數(shù)。故障率函數(shù)：工作到t時(shí)刻尚未故障的元件，在該時(shí)刻t后單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生失效的概率。 可靠性函數(shù)的形狀 典型故障率曲線對(duì)大量不同類(lèi)型元件的故障數(shù)據(jù)的研究說(shuō)明， 曲線呈浴盆形狀，通常稱(chēng)為“浴盆曲線，該曲線分為三個(gè)階段：可靠性函數(shù)的形狀 初期損壞期調(diào)試階段：這個(gè)階段的故障大多是由于設(shè)計(jì)、采料、和制造、安裝過(guò)程中的缺陷造成的。正常使用或有效壽命期：故障率可以近似看作常數(shù)，故障的發(fā)生屬偶然事件，適用于指數(shù)分布。衰耗期或元件疲勞屈服階段：元件耗損嚴(yán)重，受命即將終結(jié)。所以：應(yīng)對(duì)元件進(jìn)行有效的維護(hù)或更換，以改善故障率曲線。四、系統(tǒng)可靠性分析簡(jiǎn)介系統(tǒng)可靠性的概述系統(tǒng)

11、是由元件組成，原件按一定的目的連接在一起完成一定的功能。系統(tǒng)的可靠性取決于個(gè)元件的可靠性及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式即各元件的結(jié)合形式。系統(tǒng)中各元件的可靠度可用前面所講的方法求的，因此系統(tǒng)的可靠性分析主要研究系統(tǒng)結(jié)構(gòu)對(duì)系統(tǒng)可靠性的影響?？煽慷龋合到y(tǒng)元件在規(guī)定的條件下和規(guī)定的時(shí)間區(qū)間內(nèi)完成規(guī)定功能的概率，一般為時(shí)間的函數(shù)，計(jì)作R(t)。 不可靠度：系統(tǒng)元件在規(guī)定的條件下和規(guī)定的時(shí)間區(qū)間內(nèi)失效的概率，計(jì)作Q(t) 。系統(tǒng)可靠性的概述例：如圖示，兩個(gè)電力元件組成一個(gè)系統(tǒng)，在規(guī)定的生產(chǎn)周期內(nèi)，L1的故障概率Q1， L2的故障概率Q2。1假設(shè)兩個(gè)元件都完好，系統(tǒng)才算完好，求此時(shí)系統(tǒng)的可靠度；2假設(shè)兩個(gè)元件中其中一個(gè)

12、完好，系統(tǒng)就算完好，求此時(shí)系統(tǒng)的可靠度。 L1L2系統(tǒng)可靠性的概述解：設(shè)X1為L(zhǎng)1完好， X2為L(zhǎng)2完好，X1為L(zhǎng)1故障， X2為L(zhǎng)2故障，且R1 ，R2 ，L1完好， L2完好時(shí)，P(X1X2)=R1R2L1故障，L2故障時(shí)， P(X1X2)=Q1Q21此時(shí)系統(tǒng)的可靠度即和都完好的概率，即有R= P(X1X22此時(shí)系統(tǒng)的可靠度即為和都完好的概率與和中有一個(gè)完好的概率，即有R=1- P(X1X2分析系統(tǒng)可靠性時(shí)，需建立系統(tǒng)的可靠性框圖，一般每個(gè)元件用以方塊表示?？驁D法-串聯(lián)系統(tǒng)假設(shè)系統(tǒng)由n個(gè)元件組成，其中任一元件發(fā)生故障都會(huì)導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)發(fā)生故障，稱(chēng)為串聯(lián)系統(tǒng)。假設(shè)任一元件的故障在統(tǒng)計(jì)上與其它任

13、何元件的故障或完好無(wú)關(guān)，此時(shí)可靠性架構(gòu)框圖如下：由定義可知，串聯(lián)系統(tǒng)可靠度：R(t)= R1(t) R2(t) R3(t) Rn(t)例：設(shè)一系統(tǒng)由400個(gè)元件串聯(lián)組成，每一元件在時(shí)刻t的可靠度為，求此時(shí)系統(tǒng)可靠度。解：400 從以上分析可以得出：串聯(lián)系統(tǒng)的壽命根本上是由最弱的元件的壽命所決定的，而且比最弱元件的壽命還要短。因此，要延長(zhǎng)整個(gè)系統(tǒng)的壽命，首先要延長(zhǎng)元件的壽命。如果由n個(gè)壽命相同的元件構(gòu)成串聯(lián)系統(tǒng)，那么系統(tǒng)的壽命也將縮短。元件越多，壽命縮短越顯著。因此從延長(zhǎng)系統(tǒng)壽命來(lái)看，串聯(lián)過(guò)多的元件是不利的?？驁D法-并聯(lián)系統(tǒng)R2(t)R1(t)Rn(t)假設(shè)系統(tǒng)由n個(gè)元件組成，當(dāng)所有元件都發(fā)生故

14、障時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)才發(fā)生故障，稱(chēng)為并聯(lián)系統(tǒng)。假設(shè)任一元件的故障在統(tǒng)計(jì)上與其它任何元件的故障或完好無(wú)關(guān)，此時(shí)可靠性架構(gòu)框圖如下：由定義可知，并聯(lián)系統(tǒng)不可靠度：Q(t)= Q1(t) Q2(t) Q3(t) Qn(t)而R(t)= 1- Q(t)例：設(shè)某一系統(tǒng)由5個(gè)元件并聯(lián)組成，每一元件在時(shí)刻t的可靠度為，求此時(shí)系統(tǒng)的可靠度。解：R(t， Q(t，那么R(t)=1- Q(t5可見(jiàn)，并聯(lián)系統(tǒng)可使系統(tǒng)到達(dá)極高的可靠性。例：一個(gè)系統(tǒng)由n個(gè)等可靠性的元件并聯(lián)組成，分別求n=1，2，3，4，5，6，10時(shí)系統(tǒng)的可靠度Rs，假定元件的失效概率分別為，。并聯(lián)元件數(shù)n12345678系統(tǒng)的可靠度Rs00.90.99q

15、i=0.8qi=0.6qi=0.3qi=0.1qi=0.010.9999并聯(lián)系統(tǒng)的可靠性Rs=f(n)說(shuō)明，可靠性高的元件并聯(lián)，系統(tǒng)可靠性提高得快，可靠性低的元件并聯(lián)，系統(tǒng)可靠性提高得緩慢。 綜合分析，并聯(lián)系統(tǒng)的可靠度比其中任一元件的可靠度都高，而串聯(lián)系統(tǒng)中的每一個(gè)元件的可靠度比系統(tǒng)的可靠度高。因此，提高系統(tǒng)可靠度的一種方法是對(duì)一個(gè)元件添加備用元件，在設(shè)計(jì)中稱(chēng)為冗余redundancy。 在并聯(lián)結(jié)構(gòu)中，雖然系統(tǒng)只需一個(gè)元件運(yùn)行，但實(shí)際上其它元件都處于運(yùn)行狀態(tài)，這種冗余方式稱(chēng)為工作冗余。如果工作元件處于運(yùn)行狀態(tài)，其它元件處于備用狀態(tài)，那么稱(chēng)為儲(chǔ)藏冗余?？驁D法-串并聯(lián)系統(tǒng)和并串聯(lián)系統(tǒng)假設(shè)系統(tǒng)由k個(gè)

16、并聯(lián)子系統(tǒng)串聯(lián)而成，稱(chēng)為串并聯(lián)系統(tǒng)。假設(shè)系統(tǒng)由k個(gè)串聯(lián)子系統(tǒng)并聯(lián)而成，稱(chēng)為并串聯(lián)系統(tǒng)。框圖法-復(fù)雜結(jié)構(gòu)不能化成串、并聯(lián)系統(tǒng)的系統(tǒng)稱(chēng)為復(fù)雜系統(tǒng)。例：如下圖的橋系統(tǒng)，只要信息能從A傳到B，那么系統(tǒng)完好，設(shè)元件Xii=1，25，在時(shí)刻t的可靠度分別為，求此時(shí)系統(tǒng)的可靠度R。x1Ax5x2x4x3B框圖法-復(fù)雜結(jié)構(gòu)x1Ax5x2x4x3Bx1Ax5完好x2x4x3Bx1Ax2x4x3BX5故障+x1Ax2x4x3Bx1Ax2x4x3B+框圖法-復(fù)雜結(jié)構(gòu)解：R=(1-QX1QX3)(1-QX2QX4)RX5+1-(1-RX1RX2)(1-RX3RX4) QX5馬爾科夫隨機(jī)過(guò)程模擬概念 馬爾科夫過(guò)程是一種常見(jiàn)的無(wú)后效性隨