1、傳熱學第二章導熱問題數(shù)學描述 2022/8/311第1頁，共23頁，2022年，5月20日，21點45分，星期日第二章 導熱問題的數(shù)學描述1、基本概念及傅里葉定律2、導熱系數(shù)3、導熱微分方程式及其定解條件第2頁，共23頁，2022年，5月20日，21點45分，星期日 導熱問題的求解目標與思路解決工程問題的數(shù)學方法一般有下列幾個步驟： 問題分析建立物理模型 根據(jù)問題的相關屬性建立數(shù)學模型求解傳熱學的主要任務是求解熱量傳遞速率和溫度變化速率，對應于導熱問題就是求解物體內(nèi)部的溫度場和熱流場。這就需要在深刻理解導熱規(guī)律前提下尋求各種具體問題的數(shù)學求解方法。第3頁，共23頁，2022年，5月20日，21

2、點45分，星期日1、基本概念及傅里葉定律1)溫度場溫度場物體中各點溫度的集合，在直角坐標系下的形式分類：與時間關系分為穩(wěn)態(tài)溫度場和非穩(wěn)態(tài)溫度場與空間關系分為一維、二維、三維溫度場。第4頁，共23頁，2022年，5月20日，21點45分，星期日2）等溫面：溫度場中同一瞬間溫度相同的點連成的面。其疏密程度可反映溫度場在空間中的變化情況。等溫線:任意截面與等溫面的交線。特點：不能相交；物體內(nèi)部內(nèi)部連續(xù)；沿等溫線（面）無熱量傳遞；等溫線的疏密可直觀反映出不同區(qū)域溫度梯度（即熱流密度）的相對大小。 tt-tt+t第5頁，共23頁，2022年，5月20日，21點45分，星期日3）方向導數(shù)與溫度梯度方向導數(shù)

3、: 函數(shù)在某點沿某一方向對距離的變化率 . 溫度場中某一點的最大方向導數(shù)為該點的溫度梯度，記為grad t。 梯度的性質：1方向導數(shù)等于梯度在該方向上的投影；2每點梯度都垂直于該點等溫面，并指向溫度增大的方向（法線方向）。第6頁，共23頁，2022年，5月20日，21點45分，星期日4）傅里葉定律 一般形式：傅里葉定律的文字表述為:在導熱現(xiàn)象中,單位時間內(nèi)通過給定截面的熱流量,正比于該截面法線方向的溫度變化率和截面面積,熱量傳遞的方向與溫度升高的方向相反.注：傅里葉定律是實驗定律，普遍適用于各向同性材料（導熱系數(shù)在各個方向是相同的）.第7頁，共23頁，2022年，5月20日，21點45分，星期

4、日2、導熱系數(shù)（ Thermal conductivity ）傅里葉定律給出了導熱系數(shù)的定義 :導熱系數(shù)在數(shù)值上等于單位溫度梯度作用下的熱流密度。 是物性參數(shù)，與物質結構和狀態(tài)密切相關，如溫度、 濕度、壓力、密度等，而與幾何形狀無關。反映了物質微觀粒子傳遞熱量的特性。 不同物質的導熱性能不同：0C時：第8頁，共23頁，2022年，5月20日，21點45分，星期日同一種物質的導熱系數(shù)因其狀態(tài)參數(shù)的不同而改變。一般把導熱系數(shù)僅僅視為溫度的函數(shù)，而且在一定溫度范圍還可以用一種線性關系來描述 一般將溫度不高于350oC時，不大于0.12 W/(m)的材料稱為保溫材料。高效能的保溫材料多為蜂窩狀多孔結構

5、。 第9頁，共23頁，2022年，5月20日，21點45分，星期日疏松物質的折合密度:疏松物質內(nèi)含不流動的氣體物質，由于氣體物質的低導熱性，疏松物質常用于隔熱保溫。若過于密實，空隙中的氣體被趕跑，導熱系數(shù)會加大；若過于蓬松，空隙中氣體的對流作用增強，也會使導熱系數(shù)加大，所以，為了得到較小的導熱系數(shù)，疏松物質應有一個適中的折合密度。多孔材料的含水率:水取代了孔中空氣而使導熱系數(shù)加大，所以保溫材料要防水，衣服要保持干燥。第10頁，共23頁，2022年，5月20日，21點45分，星期日住新房和舊房的感覺一樣么？答：因為水的導熱系數(shù)遠大于空氣的導熱系數(shù)，新房的墻壁含水較多，所以新房比較冷。第11頁，共

6、23頁，2022年，5月20日，21點45分，星期日簡述影響導熱系數(shù)的因素。答：導熱系數(shù)不僅與物質的種類有關，還與物質的物理結構和狀態(tài)有關。溫度、多孔材料的含水率、疏松物質的折合密度等都影響材料的導熱系數(shù)。同樣是 -6的氣溫，在南京比在北京感覺冷一些答：冬季南京的空氣濕度比北京的大，濕空氣由于含有水蒸汽而比干空氣的換熱能力強;加之衣物也因吸收空氣中水分使保溫效果下降。第12頁，共23頁，2022年，5月20日，21點45分，星期日3、導熱微分方程式及其定解條件理論基礎：傅里葉定律 + 能量守恒方程1）導熱微分方程的推導方法：微元體平衡假設：(1) 所研究的物體是各向同性的連續(xù)介質； (2) 熱

7、導率、比熱容和密度均為常數(shù)； (3) 物體內(nèi)具有均勻內(nèi)熱源。第13頁，共23頁，2022年，5月20日，21點45分，星期日導入微元體的凈熱量x方向導入微元體的熱量：x方向導出微元體的熱量： x方向導入微元體的凈熱量： 根據(jù)能量守恒定律，單位時間凈導入微元體的熱量 加上微元體內(nèi)熱源生成的熱量 應等于微元體內(nèi)能的增加量 。則第14頁，共23頁，2022年，5月20日，21點45分，星期日同理y方向和z方向凈熱量： 導入微元體的總凈熱量（以上三式之和）：微元體內(nèi)熱源生成熱: 式中：為單位體積內(nèi)熱源.微元體內(nèi)能增量（顯熱）：第15頁，共23頁，2022年，5月20日，21點45分，星期日整理得常物性

8、、非穩(wěn)態(tài)有內(nèi)熱源的導熱微分方程：（非穩(wěn)態(tài)項=擴散項+源項）式中：拉普拉斯算子由能量守恒定律第16頁，共23頁，2022年，5月20日，21點45分，星期日常見材料熱擴散率：木材：a=1.510-7;鋼：a=1.2510-5；銀：a=210-4。木材比鋼材的導溫系數(shù)小100倍，所以木材一端著火而另一端不燙手。 熱擴散率（導溫系數(shù)）:物性參數(shù).分子代表導熱能力，分母代表容熱能力，其值代表溫度波動在物體中的擴散速度。比如：a值大，即 值大或 c 值小，說明物體的某一部分一旦獲得熱量，該熱量能在整個物體中很快擴散。熱擴散率a 只對非穩(wěn)態(tài)過程才有意義, 因為穩(wěn)態(tài)過程溫度不隨時間變化，熱容大小對導熱過程沒

9、有影響。第17頁，共23頁，2022年，5月20日，21點45分，星期日常物性導熱微分方程式形式： 非穩(wěn)態(tài)： 無內(nèi)熱源： 穩(wěn)態(tài)： 穩(wěn)態(tài)： 非穩(wěn)態(tài)：有內(nèi)熱源：提示：導熱微分方程還有柱坐標、球坐標、變物性、一維、二維等形式。第18頁，共23頁，2022年，5月20日，21點45分，星期日2）定解條件導熱微分方程是描寫物體的溫度隨時間和空間變化的一般關系，沒有涉及具體、特定的導熱過程，是通用表達式。定解條件：確定唯一解的附加條件. 時間條件：某一時刻導熱物體的溫度分布，對起始時刻又稱初始條件。（對于穩(wěn)態(tài)導熱，時間條件沒有意義.） 邊界條件:表明物體邊界處的溫度或換熱情況 .第19頁，共23頁，2022年，5月20日，21點45分，星期日常見的三類邊界條件: a.第一類邊界條件:已知物體邊界上任何時刻的溫度分布， 最簡單的形式：恒壁溫，b.第二類邊界條件:已知物體邊界上任何時刻的熱流密度或溫度變化率，最簡單的形式：恒熱流，恒熱流的特例是絕熱邊界條件：第20頁，共23頁，2022年，5月20日，21點45分，星期日當:轉化為第一類邊界條件 （絕熱）轉化為第二類邊界條件當:導熱微分方程定解條件 求解溫度場熱流場由Newton定律： 由Fourier定律： c.第三類邊界條件: