1、 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)內(nèi)容解析 (一)課標(biāo)要求：雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程是人教A版普通高中課程選修2-1第二章的第三節(jié)內(nèi)容. 課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)本節(jié)內(nèi)容的要求是：了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想. (二)教材地位雙曲線與科研、生產(chǎn)以及人類生活有著密切的關(guān)系，因此，研究它的幾何特征及其性質(zhì)有著極其現(xiàn)實(shí)的意義。學(xué)生初步認(rèn)識(shí)圓錐曲線是從橢圓開始的，雙曲線的學(xué)習(xí)是對(duì)其研究?jī)?nèi)容的進(jìn)一步鞏固、深化和提高.如果雙曲線研究的透徹、清楚，那么拋物線的學(xué)習(xí)就會(huì)順理成章.所以說本節(jié)課的作用就是縱向承接橢圓定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的研究，橫向?yàn)殡p曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及進(jìn)一步學(xué)

2、習(xí)拋物線，解決更復(fù)雜的解析幾何綜合問題奠定良好的基礎(chǔ). 教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：理解和掌握雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程.教學(xué)難點(diǎn)：雙曲線定義的得出和標(biāo)準(zhǔn)方程的建立.突出重點(diǎn)的手段：通過畫圖揭示出雙曲線上的點(diǎn)所滿足的條件，再通過討論歸納得出雙曲線的定義；對(duì)于雙曲線的方程，可類比橢圓方程的推導(dǎo)得出方程并加以比較，加深認(rèn)識(shí).突破難點(diǎn)的策略：始終以“類比”作為主線，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、觀察、交流、歸納定義；回顧坐標(biāo)法求橢圓方程的步驟，親自體驗(yàn)建立雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的過程.二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置依據(jù)教材的地位與作用，以及新課改對(duì)教學(xué)目標(biāo)的要求，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為：1、理解雙曲線的定義并能獨(dú)立推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程；2、通過定義及

3、標(biāo)準(zhǔn)方程的挖掘與探究 ，使學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)類比、數(shù)形結(jié)合等思想方法的運(yùn)用，提高學(xué)生的觀察與探究能力；3、通過教師指導(dǎo)下的學(xué)生交流探索活動(dòng)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的理性和嚴(yán)謹(jǐn)，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是和鍥而不舍的鉆研精神，形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的積極態(tài)度.三、學(xué)生學(xué)情分析 從知識(shí)方面來說，學(xué)生從必修“平面解析幾何初步”到選修“圓錐曲線”，已經(jīng)學(xué)習(xí)直線、圓和橢圓，較為系統(tǒng)地研究了他們的性質(zhì)，對(duì)解析幾何的基本思想方法有了一定的認(rèn)識(shí)，基本掌握了求曲線方程的一般方法，能對(duì)含有兩個(gè)根式的方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，并對(duì)數(shù)形結(jié)合、類比推理的思想方法有一定的體會(huì).從能力方面來說，作為高二年級(jí)的學(xué)生，其學(xué)習(xí)能力與理性思維都達(dá)到了一定的水平.具備一定

4、的計(jì)算、推理、知識(shí)遷移、歸納概括和分析問題、解決問題的能力等能力，并對(duì)數(shù)形結(jié)合、類比等思想方法有了一定的感悟.四、教學(xué)策略分析著名數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為：“學(xué)習(xí)任何東西最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn).”雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓很類似，學(xué)生已經(jīng)有了一些學(xué)習(xí)橢圓的經(jīng)驗(yàn)，所以本節(jié)課采用了“啟發(fā)探究”、“類比教學(xué)”的教學(xué)方式，重點(diǎn)突出以下兩點(diǎn)：1、以類比思維作為教學(xué)的主線2、以自主探究作為學(xué)生的學(xué)習(xí)方式授之以“魚”不如授之以“漁”，教師只是課堂教學(xué)的引導(dǎo)者、啟發(fā)者，在新課程改革理念的指導(dǎo)下，要注重突出學(xué)生的主體作用.因此，在學(xué)習(xí)方法的制定上，將充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的作用，通過學(xué)生主動(dòng)探索、動(dòng)手實(shí)踐調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)

5、習(xí)的積極性，轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，形成理性、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕鉀Q問題的態(tài)度.五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）回顧舊知，實(shí)驗(yàn)探索師：前面我們學(xué)習(xí)了橢圓，回顧一下，橢圓是如何定義的？（請(qǐng)一位同學(xué)回答.）生：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓師：若將橢圓定義中的“距離之和”改為“距離之差”.即平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差等于非零常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么?學(xué)生表示不知道.師：我們不妨通過畫圖來探究.教師借助于拉鏈來說明作圖方法.（如圖）師：取一條拉鏈，拉開它的一部分，在拉鏈拉開的兩邊上各選擇一點(diǎn)，分別固定在紙板上的點(diǎn)F1 ，F(xiàn)2處，取拉頭處為M點(diǎn)，由于拉鏈兩段是等長(zhǎng)的，則，把筆尖放在點(diǎn)M處，隨著拉鏈的拉開或

6、閉攏，M點(diǎn)到F1 ，F(xiàn)2的距離的差為常數(shù).這樣的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么呢？【學(xué)生活動(dòng)】請(qǐng)一位同學(xué)上黑板演示(用兩段繩子來模擬拉鏈，進(jìn)行作圖)，其他同學(xué)觀察、思考.學(xué)生畫出一條曲線（如圖1）.教師帶領(lǐng)學(xué)生分析：這條曲線就是滿足下面條件的點(diǎn)的集合：師：如果使點(diǎn)M到F2的距離減去到點(diǎn)F1的距離所得的差等于同一個(gè)常數(shù)，就得到另一條曲線（圖2）.這條曲線是滿足什么條件的點(diǎn)的集合？生：. 圖2 圖1師：現(xiàn)在我們知道，平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離的差為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是這樣的兩條曲線.這兩條曲線合起來叫做雙曲線，每一條叫做雙曲線的一支.它是滿足這兩個(gè)條件的點(diǎn)的集合.能不能將這兩個(gè)條件統(tǒng)一起來呢？ 生：用絕對(duì)值.即.師：很好

7、.下面我們借助于幾何畫板來更直觀地感受一下雙曲線的形成. 【師生活動(dòng)】 教師用多媒體演示雙曲線的形成,引導(dǎo)學(xué)生觀察，在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過程中， 的差有什么特征？學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，這個(gè)差是一組相反數(shù)，即動(dòng)點(diǎn)M滿足條件.再次驗(yàn)證畫圖結(jié)果.（板書課題： 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 指明本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容.）【設(shè)計(jì)意圖】通過復(fù)習(xí)回顧橢圓概念，引出新問題.從學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)入手，激發(fā)學(xué)生的求知欲.通過畫圖讓學(xué)生直觀地感受雙曲線的形成，并通過優(yōu)美圖片的展示，滲透數(shù)學(xué)美的教育，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美的同時(shí)體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值. 再次激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.（二）抽象概括，歸納定義提出問題：剛才我們通過直觀演示，觀察到動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線

8、.你們能根據(jù)剛才畫雙曲線的過程，類比橢圓的定義，歸納概括出雙曲線的定義嗎？（出示橢圓圖形及定義，引導(dǎo)學(xué)生類比.）學(xué)生討論交流，很快可以得出結(jié)果：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距記為=2c.師生活動(dòng)若學(xué)生能夠得出常數(shù)小于 ，繼續(xù)后續(xù)問題，如果學(xué)生沒有發(fā)現(xiàn)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析. 師：我們通常將定義中的常數(shù)記為,也就是說，雙曲線就是點(diǎn)集：.【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)在學(xué)生經(jīng)歷雙曲線形成的基礎(chǔ)上，類比橢圓定義，歸納概括雙曲線定義，有助于學(xué)生對(duì)雙曲線定義的理解.在這個(gè)過程中，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)驗(yàn)?zāi)芰?、歸納概括能力

9、、對(duì)比分析能力，體會(huì)類比和數(shù)形結(jié)合思想方法.同時(shí)滲透數(shù)學(xué)美的教育，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美的同時(shí)體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值. 再次激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.（三）類比橢圓，建立方程師：得到了雙曲線的定義，知道了它的基本幾何特征，這只是一種“定性”的描述，但是對(duì)于這種曲線還具有哪些性質(zhì)，尚需進(jìn)一步研究. 根據(jù)解析幾何的基本思想方法，我們需要利用坐標(biāo)法先建立雙曲線的方程“定量”的描述，然后通過對(duì)雙曲線的方程的討論，來研究其幾何性質(zhì). 師：坐標(biāo)法建立橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟有哪些？ 師生活動(dòng)請(qǐng)學(xué)生回顧坐標(biāo)法建立橢圓方程的步驟，分析雙曲線的幾何特征.請(qǐng)一位同學(xué)回答. 提出探究?jī)?nèi)容：你能類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系

10、，推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？【師生活動(dòng)】這一環(huán)節(jié)是本節(jié)課的難點(diǎn)，但前面經(jīng)歷了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，學(xué)生不會(huì)感到太困難，因此本環(huán)節(jié)放手讓學(xué)生去嘗試，有困難可以互相討論.教師教師巡視、個(gè)別予以點(diǎn)撥指導(dǎo).絕大多數(shù)學(xué)生會(huì)選擇建立焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程.分析如下：(1)建系設(shè)點(diǎn):取過焦點(diǎn)的直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸(如圖所示)建立直角坐標(biāo)系,設(shè)為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距是，那么的坐標(biāo)分別是又設(shè)點(diǎn)M與F1、F2的距離的差的絕對(duì)值為.(2)寫動(dòng)點(diǎn)滿足的集合:由定義可知，點(diǎn)M滿足集合： (3)列方程（用坐標(biāo)表示條件）： ,(4)化簡(jiǎn)方程: 將這個(gè)方程移項(xiàng)，使式子兩邊平衡,再兩邊平方得： 類比橢

11、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的處理方式進(jìn)行簡(jiǎn)化,使其簡(jiǎn)潔美觀 ，即（教師待學(xué)生得到以上的結(jié)論時(shí)，請(qǐng)學(xué)生展示成果.講評(píng)關(guān)鍵點(diǎn). 特別強(qiáng)調(diào)在方程的形式上可以仿照橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的處理方式：由雙曲線定義， 即,設(shè)，代入上式，將式子進(jìn)一步簡(jiǎn)化,使其簡(jiǎn)潔、對(duì)稱，得到方程：.（5）驗(yàn)證說明（由教師帶領(lǐng)學(xué)生分析.）師：由推導(dǎo)過程可知，雙曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程，同時(shí)，以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)到雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為2a,即以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在雙曲線上.由曲線與方程的關(guān)系可知，該方程就是雙曲線的方程，我們把它叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.它表示的雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，這里.（教師板書兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程

12、）師：你能得到焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？ 生：類比橢圓，只要交換方程中的x和y即可.這樣就得到了焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程, 即為.（教師板書）得到了雙曲線的定義和方程.借助于表格進(jìn)行雙曲線再認(rèn)識(shí).強(qiáng)化概念. 定義圖象方程焦點(diǎn)a、b、c的關(guān)系【設(shè)計(jì)意圖】這一過程由學(xué)生自主完成，這樣設(shè)計(jì)使學(xué)生完全成了學(xué)習(xí)的主人，由被動(dòng)的接受變成主動(dòng)的獲取.通過雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，訓(xùn)練學(xué)生的運(yùn)算能力、推理論證能力、探究能力、分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.并感受雙曲線方程、圖形的對(duì)稱美，獲得成功的喜悅！ （四）初步應(yīng)用，例題講析師：學(xué)習(xí)了新知

13、識(shí)，就要應(yīng)用，來看習(xí)題.練習(xí)：例1.已知方程表示橢圓，則的取值范圍是_若此方程表示雙曲線，則取值范圍是_例2：已知下列雙曲線方程：，則，焦點(diǎn)坐標(biāo)為_,則，焦點(diǎn)坐標(biāo)為_例3、已知雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，雙曲線上一點(diǎn)到 的距離之差的絕對(duì)值等于6，求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.【師生活動(dòng)】先由學(xué)生獨(dú)2立去做，待大部分同學(xué)完成后，由學(xué)生敘述，教師板書.例1要強(qiáng)調(diào)待定系數(shù)法求雙曲線方程的步驟：先確定焦點(diǎn)位置，再待定出方程，然后求解方程中的a和b，最后寫出所求方程.練習(xí)是屬于概念辨析題，可以進(jìn)一步理解雙曲線的定義.例1主要是運(yùn)用待定系數(shù)法求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.例2在例1的基礎(chǔ)上再次強(qiáng)化待定系數(shù)法的應(yīng)用，同時(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行

14、分類討論數(shù)學(xué)思想的滲透，達(dá)到拓展知識(shí)、提高能力的目的.【設(shè)計(jì)意圖】 數(shù)學(xué)概念是要在運(yùn)用中得以鞏固的，通過例題使學(xué)生進(jìn)一步理解雙曲線的定義，掌握雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解方法，并在解題過程中滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.通過學(xué)生的主體參與，使學(xué)生深切體會(huì)到本節(jié)課的主要內(nèi)容和思想方法，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的再次深化.（五）知識(shí)總結(jié)，形成體系1.本節(jié)課你學(xué)到了什么知識(shí)？2.研究雙曲線用到了什么思想方法？讓學(xué)生自己進(jìn)行總結(jié)，相互補(bǔ)充，教師點(diǎn)評(píng)：本節(jié)課首先通過畫圖揭示出雙曲線上的點(diǎn)所滿足的條件，由此歸納概括出雙曲線的定義，運(yùn)用坐標(biāo)法建立了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，在習(xí)題中應(yīng)用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.在整個(gè)過程中，類比橢圓的

15、定義、圖象和標(biāo)準(zhǔn)方程的探究思路來處理雙曲線的類似問題.在這一學(xué)習(xí)過程中也進(jìn)一步體會(huì)了數(shù)形結(jié)合的思想.【設(shè)計(jì)意圖】 以問題形式來引導(dǎo)學(xué)生自我總結(jié).通過總結(jié)使學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)有一個(gè)完整的體系，突出重點(diǎn)，抓住關(guān)鍵，培養(yǎng)概括能力.同時(shí)，通過提煉數(shù)學(xué)的基本思想方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).（六）布置作業(yè)，鞏固提高必做題: 課本55頁 練習(xí)2，3題選做題: 課本61頁 習(xí)題A 組2題【設(shè)計(jì)意圖】 作業(yè)設(shè)計(jì)有梯度，分為必做題和選做題，注重不同層次的學(xué)生的認(rèn)知水平,學(xué)生可以根據(jù)自己的實(shí)際學(xué)習(xí)情況完成作業(yè)，盡量做到讓不同層次的學(xué)生都能有所收獲.課外作業(yè)為學(xué)生利用雙曲線性質(zhì)解決實(shí)際問題做準(zhǔn)備，既可以拓展學(xué)生的知識(shí)，又可以讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)中的廣泛應(yīng)用.板書設(shè)計(jì)：雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(一) 雙曲線的定義 (二) 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程探索畫圖：（三）例題分析例1六、教學(xué)設(shè)計(jì)說明1. 本節(jié)課以新課程的教學(xué)理念為指導(dǎo)，充分體現(xiàn)素質(zhì)