1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解曲線的切線的含義.2.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義(重、難點(diǎn)).3.會(huì)求曲線在某點(diǎn)處的切線方程(重、難點(diǎn)).4.理解導(dǎo)函數(shù)的定義，會(huì)用定義法求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).知識(shí)點(diǎn)1曲線的切線如圖所示，當(dāng)點(diǎn)Pn沿著曲線yf(x)無限趨近于點(diǎn)P時(shí)，割線PPn趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置的直線PT稱為點(diǎn)P處的切線.(1)曲線yf(x)在某點(diǎn)處的切線與該點(diǎn)的位置有關(guān)；(2)曲線的切線，并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，可以有多個(gè)，甚至可以有無窮多個(gè).【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】有同學(xué)認(rèn)為曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線l與曲線yf(x)只有一個(gè)交點(diǎn)，你認(rèn)為正確嗎？提示不正確.曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，

2、y0)處的切線l與曲線yf(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè)，如圖所示.知識(shí)點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xx0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)就是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處切線的斜率k，即keqo(,sdo4(x0) eq f(f（x0 x）f（x0）,x)f(x0).【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】(正確的打，錯(cuò)誤的打)1.若曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的導(dǎo)數(shù)不存在，則切線不存在.()提示切線存在，且切線與x軸垂直.2.若f(x0)0，則切線的傾斜角為銳角；若f(x0)f(xB) (xA)f(xB)(xA)f(xB) D.不能確定解析由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，f(xA)，f(xB)分別是切線在點(diǎn)A，B處切

3、線的斜率，由圖象可知f(xA)f(xB).答案B3.如圖，函數(shù)yf(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是yx8，則f(5)f(5)等于_.解析點(diǎn)P(5，y)在直線yx8上，f(5)3，又由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，f(5)1.f(5)f(5)312.答案24.已知曲線yf(x)2x24x在點(diǎn)P處的切線斜率為16，則P點(diǎn)坐標(biāo)為_.解析設(shè)點(diǎn)P(x0，2xeq oal(2,0)4x0)，則f(x0)eqo(,sdo4(x0) eq f(f（x0 x）f（x0）,x)eqo(,sdo4(x0) eq f(2（x）24x0 x4x,x)4x04，令4x0416得x03，P(3，30).答案(3，30)5.已知曲線y

4、x2，(1)求曲線在點(diǎn)P(1，1)處的切線方程；(2)求曲線過點(diǎn)P(3，5)的切線方程.解yeqo(,sdo4(x0) eq f(（xx）2x2,x)eqo(,sdo4(x0) eq f(x22xx（x）2x2,x)2x，(1)曲線在點(diǎn)P(1，1)處的切線的斜率為y|x12.曲線在點(diǎn)P(1，1)處的切線方程為y12(x1)，即2xy10.(2)點(diǎn)P(3，5)不在曲線yx2上，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則曲線在點(diǎn)(x0，y0)處的切線的斜率為y|xx02x0，切線方程為yy02x0(xx0)，由P(3，5)在所求直線上得5y02x0(3x0)，再由A(x0，y0)在曲線yx2上得y0 xeq oa

5、l(2,0)，聯(lián)立，得，x01或x05.從而切點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，1)或(5，25).當(dāng)切點(diǎn)為(1，1)時(shí)，切線的斜率為k12x02，此時(shí)切線方程為y12(x1)，即2xy10，當(dāng)切點(diǎn)為(5，25)時(shí)，切線的斜率為k22x010，此時(shí)切線方程為y2510(x5)，即10 xy250.綜上所述，過點(diǎn)P(3，5)且與曲線yx2相切的直線方程為2xy10或10 xy250.課堂小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線的斜率，即keqo(,sdo4(x0) eq f(f（x0 x）f（x0）,x)f(x0)，物理意義是運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度.2.“函數(shù)f(x)

6、在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)”是一個(gè)數(shù)值，不是變數(shù)，“導(dǎo)函數(shù)”是一個(gè)函數(shù)，二者有本質(zhì)的區(qū)別，但又有密切關(guān)系，f(x0)是其導(dǎo)函數(shù)yf(x)在xx0處的一個(gè)函數(shù)值.3.利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，要注意已知點(diǎn)是否在曲線上.如果已知點(diǎn)在曲線上，則以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知點(diǎn)不在切線上，則設(shè)出切點(diǎn)(x0，f(x0)，表示出切線方程，然后求出切點(diǎn).基礎(chǔ)過關(guān)1.下列說法正確的是()A.若f(x0)不存在，則曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處就沒有切線B.若曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處有切線，則f(x0)必存在C.若f(x0)不存在，則曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x

7、0)處的切線斜率不存在D.若曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處沒有切線，則f(x0)有可能存在解析kf(x0)，所以f(x0)不存在只說明曲線在該點(diǎn)的切線斜率不存在，而當(dāng)斜率不存在時(shí)，切線方程也可能存在，其切線方程為xx0.答案C2.在曲線yx2上切線傾斜角為eq f(,4)的點(diǎn)是()A.(0，0) B.(2，4)C.(eq f(1,4)，eq f(1,16) D.(eq f(1,2)，eq f(1,4)解析yeqo(,sdo4(x0) eq f(（xx）2x2,x)eqo(,sdo4(x0) (2xx)2x，令2xtan eq f(,4)1，得xeq f(1,2)，yeq blc(rc)

8、(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(2)eq f(1,4)，所求點(diǎn)的坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,4).答案D3.已知曲線yeq f(1,3)x3上一點(diǎn)P(2，eq f(8,3)，則該曲線在P點(diǎn)處切線的斜率為() C.4 解析因yeq f(1,3)x3，得yeqo(,sdo4(x0) eq f(y,x)eqo(,sdo4(x0) eq f(f(1,3)（xx）3f(1,3)x3,x)eq f(1,3)eqo(,sdo4(x0)3x23xx(x)2x2，故yx2，y|x2224，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線在P點(diǎn)處切線的斜率為4.答案A4.已

9、知函數(shù)yf(x)的圖象在點(diǎn)M(1，f(1)處的切線方程是yeq f(1,2)x2，則f(1)f(1)_.解析由在點(diǎn)M處的切線方程是yeq f(1,2)x2，得f(1)eq f(1,2)12eq f(5,2)，f(1)eq f(1,2).f(1)f(1)eq f(5,2)eq f(1,2)3.答案35.過點(diǎn)P(1，2)且與曲線y3x24x2在點(diǎn)M(1，1)處的切線平行的直線方程是_.解析曲線y3x24x2在點(diǎn)M(1，1)處的切線斜率ky|x1eqo(,sdo4(x0) eq f(3（1x）24（1x）2342,x)eqo(,sdo4(x0) (3x2)2.過點(diǎn)P(1，2)的直線的斜率為2，由點(diǎn)斜

10、式得y22(x1)，即2xy40.所求直線方程為2xy40.答案2xy406.求曲線yx2在點(diǎn)(1，1)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積.解由導(dǎo)數(shù)定義可得y|x12，曲線yx2在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為y12(x1)，即y2x1，則它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A(0，1)，Beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0)，SAOBeq f(1,2)|OA|OB|eq f(1,4)，即曲線yx2在點(diǎn)(1，1)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為eq f(1,4).7.已知直線l：y4xa和曲線C：yf(x)x32x23相切，求a的值及切點(diǎn)坐標(biāo).解設(shè)直線l與曲線C 相切于點(diǎn)P(x0，y0

11、)，f(x)eqo(,sdo4(x0) eq f(f（xx）f（x）,x)eqo(,sdo4(x0) eq f(（xx）32（xx）23（x32x23）,x)3x24x，kf(x0)3xeq oal(2,0)4x0.由題意可知k4，即3xeq oal(2,0)4x04，解得x0eq f(2,3)或x02，切點(diǎn)的坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，f(49,27)或(2，3).當(dāng)切點(diǎn)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，f(49,27)時(shí)，有eq f(49,27)4eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)a，解得aeq f(121,27

12、).當(dāng)切點(diǎn)為(2，3)時(shí)，有342a，解得a5.當(dāng)aeq f(121,27)時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，f(49,27)；當(dāng)a5時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為(2，3).能力提升8.若曲線f(x)x2的一條切線l與直線x4y80垂直，則l的方程為()y40 4y50y30 4y30解析由題意知，l的斜率為4，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則f(x0)eqo(,sdo4(x0) eq f(（x0 x）2xeq oal(2,0),x)eqo(,sdo4(x0) (2x0 x)2x04.x02，則y0 xeq oal(2,0)4，l的方程為y44(x2)，即4xy40.答案A9.

13、設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足eqo(lim,sdo4(x0) eq f(f（1）f（1x）,2x)1，則曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線斜率為() B.1 D.2解析eqo(lim,sdo4(x0) eq f(1,2)eq f(f（1）f（1x）,x)eq f(1,2)eqo(lim,sdo4(x0) eq f(f（1）f（1x）,x)eq f(1,2)f(1)1，f(1)2.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線斜率為2.答案D10.若曲線y2x24xm與直線y1相切，則m_.解析設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，1)，則f(x0)4x040，x01，即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1).2

14、4m1，即m3.答案311.設(shè)P為曲線C：yx22x3上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處的切線傾斜角的范圍為eq blcrc(avs4alco1(0，f(,4)，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為_.解析f(x)eqo(,sdo4(x0) eq f(（xx）22（xx）3（x22x3）,x)eqo(,sdo4(x0) eq f(（2x2）x（x）2,x)eqo(,sdo4(x0) (x2x2)2x2，可設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0，則曲線C在P點(diǎn)處的切線斜率為2x02.由已知得02x021，1x0eq f(1,2)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為eq blcrc(avs4alco1(1，f(1,2).答案eq blcrc(avs4

15、alco1(1，f(1,2)12.已知拋物線yx2和直線xy20，求拋物線上一點(diǎn)到該直線的最短距離.解法一設(shè)P(x，x2)為拋物線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線xy20的距離為deq f(|xx22|,r(2)eq f(r(2),2)eq blc|rc|(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)sup12(2)f(7,4)eq f(r(2),2)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)eq sup12(2)eq f(7r(2),8)，所以當(dāng)xeq f(1,2)時(shí)，d最小，最小值為eq f(7r(2),8).法二由題意設(shè)直線xyb0與拋物線yx2相切，則x

16、2xb0，由0得beq f(1,4)，所以直線xyeq f(1,4)0與xy20的距離為deq f(blc|rc|(avs4alco1(f(1,4)2),r(2)eq f(f(7,4),r(2)eq f(7r(2),8)，所以拋物線yx2上的點(diǎn)到直線xy20的最短距離為eq f(7r(2),8).法三根據(jù)題意可知，與直線xy20平行的拋物線yx2的切線對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)到直線xy20的距離最短，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，xeq oal(2,0)，則y|xx0eqo(,sdo4(x0) eq f(（x0 x）2xeq oal(2,0),x)2x01，所以x0eq f(1,2)，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為eq blc(rc

17、)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,4)，切點(diǎn)到直線xy20的距離deq f(blc|rc|(avs4alco1(f(1,2)f(1,4)2),r(2)eq f(7r(2),8)，所以拋物線上的點(diǎn)到直線xy20的最短距離為eq f(7r(2),8).創(chuàng)新突破13.已知直線l1為曲線yx2x2在點(diǎn)(1，0)處的切線，l2為該曲線的另一條切線，且l1l2.(1)求直線l2的方程；(2)求由直線l1，l2和x軸所圍成的三角形的面積.解(1)yeqo(,sdo4(x0) eq f(y,x)eqo(,sdo4(x0) eq f(（xx）2（xx）2（x2x2）,x)2x1，y|x13，直線l1的方程為y3(x1)，即y3x3.設(shè)直線l2與曲線yx2x2的切點(diǎn)為P(x0，xeq oal(2,0)x02)，則直線l2的方程為y(xeq oal(2,0)x02)(2x01)(xx0).l1l2，3(2x