1、尋找高斯趣題與梯形面積公式的連接點蘇教版數(shù)學(xué)五年級上冊第25頁有這樣一道探索題：小明 參觀鋼鐵廠時看到許多鋼管堆成如右下圖的形狀。最上層有9 根，最下層有16根，共有8層?？梢杂檬裁捶椒ㄓ嬎愠鲞@堆鋼 管一共有多少根呢？教師用書上是這樣建議的：可以先畫出完整的截面示意圖， 讓學(xué)生通過觀察，明確這堆鋼管排列的規(guī)律，然后讓學(xué)生嘗試著 計算。學(xué)生用不同方法計算后，組織交流。在交流中，進(jìn)一步啟 發(fā)學(xué)生想象：如果把兩堆這樣的鋼管像兩個完全一樣的梯形拼成 平行四邊形那樣合在一起，那么每層有幾根，有幾層？每層的根 數(shù)可以怎樣簡便地計算出來？使學(xué)生領(lǐng)悟到可以用“（最上層根 數(shù)+最底層根數(shù)）X層數(shù)！2”來計算。至

2、此，學(xué)生能很自然地把 這一方法與梯形面積公式的推導(dǎo)過程聯(lián)系起來，討論教材中提出 的問題也就水到渠成了。對于教師用書上的建議，我非常贊成。但我進(jìn)一步深入思考： 為什么不是計算這個鋼管堆的橫截面面積，卻同樣可以用面積公 式呢？鋼管根數(shù)與面積大小之間到底有沒有本質(zhì)聯(lián)系呢？如果 我們能讓學(xué)生通過自主探索發(fā)現(xiàn)計算鋼管根數(shù)與面積大小之間 的本質(zhì)聯(lián)系，那么學(xué)生對為什么可以這樣計算鋼管根數(shù)的理解是 不是可以更深一層。教材中提供的是用梯形面積公式計算圓形鋼管的根數(shù)這樣 一個實際問題，我想，如果把面積公式作為一個結(jié)論直接讓學(xué)生 去計算，如何運用或許沒有問題，多出幾道類似的問題，反復(fù)運 用幾次后學(xué)生一定會熟練起來，

3、但怎么想到用面積公式這樣一個 幾何圖形的知識來解決鋼管的根數(shù)這樣一個與圖形沒有任何聯(lián) 系的問題的呢？這或許才是這一課探究的真正價值所在。為此我 想要把兩者聯(lián)系起來，還需要通過一系列課程開發(fā)，豐富相應(yīng)的 課程資源，打通面積公式與計算圓形鋼管根數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系， 于是我嘗試設(shè)計了如下一些問題：（1）下圖中每個小正方形的面積是1平方厘米，圖1的面 積是多少平方厘米？圖2呢？這兩個圖形的形狀不同，為什么面 積一樣？（2）圖3中每個小正方形的面積是1平方厘米，整個圖形 的面積是多少平方厘米？怎么算有多少個小正方形？（要求有多 少個小正方形，可以用這樣的算式：1+2+3+4+5+6。）（3）在第（2）題的

4、基礎(chǔ)上進(jìn)行變形（如圖4）。圖4的面 積是多少？追問：圖4的形狀變了，為什么面積沒變？（突出雖然形狀變了，但是小正方形的個數(shù)沒有變，所以圖 形的面積沒有變。）（4）在第4題的基礎(chǔ)上進(jìn)一步變形（如圖5）。如果一個 小圓圈的面積是1平方厘米，那么圖5的面積是多少平方厘米？（由正方形變成圓形，總個數(shù)不變，面積單位沒變，總面積 也不變。）然后出示高斯趣題：1+2+3+4+97+98+99+100二？怎么算？為什么能這樣算？你能結(jié)合圖形給予解釋嗎？學(xué)生都能想到用（1+100）X100!2=101X100!2=5050。理 由是根據(jù)梯形的面積計算公式，用（上底+下底）X高-2=梯形 的面積。用圖形來解釋就是

5、相當(dāng)于這樣一個梯形，上底是1個小圓 圈，下底是100個小圓圈，一共有100層高（如圖6）。到此我沒有結(jié)束探究，而是繼續(xù)深入。（5）圖7的面積可以怎么求？ （1個小正方形的面積是1 平方厘米）還有沒有其他不同的求法？如果把圖7變成圖8,你 準(zhǔn)備怎么求？如果是1+3+5+95+97+99= ？你準(zhǔn)備怎么求？為什么？（6）體育運動節(jié)，學(xué)校準(zhǔn)備大型隊列表演，有一個隊列是 這樣設(shè)計的（如圖9）,你能求出參加表演的一共有多少人嗎？ 如果讓你設(shè)計，還可以變換成哪些隊列圖形？試著畫一個。教學(xué)反思由此我想到數(shù)學(xué)文化。數(shù)學(xué)文化體現(xiàn)在“和二（首項+末項） X項數(shù)-2”這樣一個抽象的數(shù)學(xué)模型上，它不是冷酷無情的， 而

6、是具有悠久的歷史文化背景的。高斯趣題是許多學(xué)生耳熟能詳 的數(shù)學(xué)故事，我們在講解這樣的故事時，往往被數(shù)學(xué)家聰明的頭 腦所吸引，而忽視了積極思考、勤于探索的過程，更忽視了探索 過程中可能遇到的挫折，好像數(shù)學(xué)家的成功完完全全依靠自己的 天資，而不是自己的努力。如果抱著這樣的認(rèn)識，那么介紹數(shù)學(xué) 故事無疑是一種“我不能”的情感體驗，不能樹立學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 的信心。數(shù)學(xué)家是怎么想到這樣的計算方法的呢？我們普通人能 不能通過自己的努力也獲得這樣的方法呢？如果通過合適的教 學(xué)設(shè)計，能讓學(xué)生體驗、感受到像數(shù)學(xué)家那樣的成功，那么這就 是優(yōu)質(zhì)教學(xué)的魅力，也是數(shù)學(xué)文化的魅力所在。我想到了幾何直觀。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說

7、過：“數(shù)缺形 時難具體，形缺數(shù)時難入微。”數(shù)學(xué)是有關(guān)數(shù)與形的學(xué)科，數(shù)與 形是數(shù)學(xué)發(fā)展的兩翼，只有兩者互相依靠、和諧發(fā)展，才能使數(shù) 學(xué)學(xué)習(xí)飛得更高、更遠(yuǎn)。而新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)的幾何直觀，或許就 是要求我們充分利用數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中數(shù)與形的兩種不同功能，因為數(shù) 學(xué)的本質(zhì)是抽象，而學(xué)生的年齡特點是形象，幾何直觀可以成為 抽象與形象之間的橋梁。等差數(shù)列的求和公式對于小學(xué)生來說是 很抽象的，但如果能與梯形的面積公式建立起實質(zhì)性的聯(lián)系，那 么抽象的公式就有了幾何直觀的形象支撐，對抽象公式的靈活運 用就不再那么無依無靠。我想到了課程資源。當(dāng)今社會是信息化的，為我們的課堂教 學(xué)提供了非常豐富的課程資源，許多要用的資料只要

8、到網(wǎng)上查一 查，就可以輕易獲取，作為教師首先要有合理取舍的意識與能力。 同時教學(xué)手段的現(xiàn)代化，可以幫助我們制作出一些我們所需要的 直觀圖，通過觀察、思考這樣的直觀圖，學(xué)生就容易抓住知識間 的本質(zhì)聯(lián)系。教師的作用就是為學(xué)生的探索與實踐提供豐富而有 吸引力的課程資源，讓學(xué)生的探索與實踐變得簡單而富有意義。 隨著教師的職業(yè)不斷走向?qū)I(yè)化，對教師本體性知識的要求也在 不斷提高，作為一個優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師必須有優(yōu)秀的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。面 對一個數(shù)學(xué)知識，學(xué)生或許只能看到一個點、一塊石，但教師必 須看到一張網(wǎng)、一座山。我想到了數(shù)學(xué)建模，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)如何建模，但如何幫 助學(xué)生構(gòu)建起屬于自己能夠理解的“模”，必須基于學(xué)生原有的 知識經(jīng)驗基礎(chǔ)，因為任何有意義的建構(gòu)都必須找到其建模的生長 點。建模應(yīng)該是意義上的自然生長，而不是形式上的生拉硬扯， 建立模型的外形或許不難，但模型內(nèi)涵的建立需要遵循一定的路 徑，不能操之過急。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生不可能有老師那么豐富的知識背景， 能夠站在一定的高度來俯視等差數(shù)列的求和方法與梯形面積公 式之間的本質(zhì)聯(lián)系，而老師開發(fā)的豐富的課程資源不但可以充分