1、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和【考綱說明】1、理解等差數(shù)列的概念，學(xué)習(xí)等差數(shù)列的基本性質(zhì).2、探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3、體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.4、本部分在高考中占5-10分左右.【知識(shí)梳理】一、等差數(shù)列的相關(guān)概念1、等差數(shù)列的概念 如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差通常用字母d表示。2、等差中項(xiàng) 如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)即：或推廣：3、等差數(shù)列通項(xiàng)公式 若等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差是，則 推廣：，從而。4、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式 等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式： = 1 * GB3 ； = 2 *

2、 GB3 5、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系( 數(shù)列的前n項(xiàng)的和為).二、等差數(shù)列的性質(zhì) 1、等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系 當(dāng)公差時(shí)， (1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù),斜率為； (2)前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0。 2、等差數(shù)列的增減性 若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列， 若公差，則為常數(shù)列。 3、通項(xiàng)的關(guān)系 當(dāng)時(shí),則有， 特別地，當(dāng)時(shí)，則有.注： 4、常見的等差數(shù)列 （1）若、為等差數(shù)列，則都為等差數(shù)列。 （2）若是公差為的等差數(shù)列，則，也成等差數(shù)列（公差為）。 （3）數(shù)列為等差數(shù)列,每隔項(xiàng)取出一項(xiàng)仍為等差數(shù)列。 5、前n項(xiàng)和的性質(zhì) 設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，為公差，是

3、奇數(shù)項(xiàng)的和，是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和，是前項(xiàng)的和.當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，則 當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則 （其中是項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列的中間項(xiàng)）6、求的最值（或求中正負(fù)分界項(xiàng)）（1）因等差數(shù)列前項(xiàng)是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性.（2）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和 即當(dāng)，由可得達(dá)到最大值時(shí)的值.“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和. 即當(dāng)，由可得達(dá)到最小值時(shí)的值.三、等差數(shù)列的判定與證明1、等差數(shù)列的判定方法：（1）定義法：若或(常數(shù))是等差數(shù)列；（2）等差中項(xiàng)：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）數(shù)列是等差數(shù)列（其中是常數(shù)）；（4）數(shù)列是等差數(shù)列,（其中

4、、是常數(shù)）.2、等差數(shù)列的證明方法：定義法：若或(常數(shù))是等差數(shù)列題型一：性質(zhì)的應(yīng)用例1（1）是等差數(shù)列，若，求 （2）是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，若，求例2（2010山東）已知等差數(shù)列滿足：，的前項(xiàng)和為. （）求及； （）令（），求數(shù)列的前項(xiàng)和為.題型二：求最值例3是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，若,求使得最大的的值.例4是等差數(shù)列，求的最小值.題型三：證明例5已知數(shù)列，是其前項(xiàng)和，且滿足，求證：是等差數(shù)列.等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和重要知識(shí)點(diǎn)：定義：，為數(shù)列的公比等比中項(xiàng)：若成等比數(shù)列，那么A叫做與的等比中項(xiàng)。提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有同號(hào)兩數(shù)才存在等比中項(xiàng)，且有兩個(gè)。如已知兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)為A

5、，等比中項(xiàng)為B，則A與B的大小關(guān)系為_（答：AB）等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：等比數(shù)列前項(xiàng)和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比是否為1時(shí)，要對分和兩種情形討論求解。4.等比數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)時(shí)，則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有.（2）一公比為的等比數(shù)列，其和成等比數(shù)列，公比為.(3)若，則為遞增數(shù)列；若, 則為遞減數(shù)列；若 ，則為遞減數(shù)列；若, 則為遞增數(shù)列；若，則為擺動(dòng)數(shù)列；若，則為常數(shù)列.(4) 當(dāng)時(shí)，這里，但，這是等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的一個(gè)特征，據(jù)此很容易根據(jù)，判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列。如若是等比數(shù)列，且，則 （答：1）如果數(shù)列

6、既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列.等差數(shù)列的判定定義法：等比中項(xiàng)；(，)注：i. ，是a、b、c成等比的雙非條件，即a、b、c等比數(shù)列.ii. （ac0）為a、b、c等比數(shù)列的充分不必要.iii. 為a、b、c等比數(shù)列的必要不充分.iv. 且為a、b、c等比數(shù)列的充要.注意：任意兩數(shù)a、c不一定有等比中項(xiàng)，除非有ac0，則等比中項(xiàng)一定有兩個(gè).一些常用公式1+2+3 +n = 注：熟悉常用通項(xiàng)：9，99，999，； 5，55，555，.例1數(shù)列中，=4+1 ()且=1，若，求證：數(shù)列是等比數(shù)列。例2等比，設(shè)，證明等差求的前項(xiàng)和和的通項(xiàng)公式、 等差，等比數(shù)列練習(xí)1（01天津理，2）設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn=n2，則an是（ ）A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列2（06全國I）設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，則（ ）A B C D3.（06全國II）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若，則( )A B C D4（02京）若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3