1、PAGE Chapter 12 球坐標(biāo)系下的分離變量法Legendre多項式和球諧函數(shù)Abstracts正交曲線坐標(biāo)系及在此坐標(biāo)系下Laplace算術(shù)的表示； 球極坐標(biāo)系下的變量分離法及由此得出的特殊函數(shù)（例如，Legendre函數(shù)、連帶Legendre函數(shù)和球諧函數(shù)等）。函數(shù)空間概念(復(fù)習(xí))3D：基矢：；正交：；表示：,這是3D Euclid space，直觀、簡單、符合常識。(3+1)D：是加，還是加如何去加？時空觀的變革：相對運動，不但有了相對時空位置，還有了scaling（標(biāo)尺）、不變性和時空彎曲等概念。D：基矢是，帶權(quán)的正交歸一性如下：D：Hilbert space. 基矢亦是函數(shù)，

2、并且straight scalingcurve scaling.j：quantum numbers. 抽象、復(fù)雜、沖破常識！對于任意函數(shù)只要其定義域與的相同，總有其中is a representation!當(dāng)已知時，是上式；當(dāng)是的線性組合時，是其系數(shù)。D向量空間: 有D向量的集合.表述：個獨立的單位矢量排成基向量，選為正交歸一基矢，即，則和（在上的坐標(biāo)值表示）。內(nèi)積：模方：基矢的完備性：D空間有1D矢量系，若不能在此空間找出一個簡單向量，使與正交，則稱為完備系，.函數(shù)空間（Hilbert space）：在域上分段連續(xù)、平方可積的函數(shù)有限的集合所排成的空間稱為Hilbert space.正交函數(shù)

3、系：如 = 1 * GB3 內(nèi)的和 = 2 * GB3 內(nèi)的均為完備基。一般帶權(quán)正交函數(shù)系的定義：設(shè),在上有，則稱是在上的帶權(quán)正交函數(shù)系。把稱為模之平方，若（對于所有的）稱為為正交歸一函數(shù)系(A set of orthogonal complete normalized function bases).廣義Fourier展開(expansion)：若是上的正交完備系，則上任意分段連續(xù)（平方可積）的函數(shù)均可表示為 其中 正交曲線坐標(biāo)系從直角坐標(biāo)系到正交曲線坐標(biāo)系球坐標(biāo)系關(guān)系: 柱坐標(biāo)系關(guān)系: 一般曲線坐標(biāo)系關(guān)系:滿足Jacobi行列式如果三族坐標(biāo)線是處處相互正交的，則稱這種坐標(biāo)系為正交曲線坐標(biāo)系

4、。如何判斷一個坐標(biāo)系是否為正交坐標(biāo)系？可以通過計算弧元長度:其中，. 如果，則稱此坐標(biāo)系為正交曲線坐標(biāo)系。這是因為沿坐標(biāo)軸的弧元長度為，而稱為坐標(biāo)曲線的度規(guī)因子； 如果即各個坐標(biāo)曲線的相互投影為零，則它們之間相互正交。例如，對于球坐標(biāo)系，球坐標(biāo)系是正交曲線坐標(biāo)系，.對于柱坐標(biāo)系，柱坐標(biāo)系也是正交曲線坐標(biāo)系，且，.函數(shù)在正交曲線坐標(biāo)系中的表達(dá)式在直角坐標(biāo)系中，.設(shè)點對應(yīng)于直角坐標(biāo)系的新坐標(biāo)為，即，并設(shè)在點附近為連續(xù)的任意函數(shù)，按函數(shù)的定義，有左邊的積分可以作變量代換，而右邊的函數(shù)作上述變量代換，有另一方面，由函數(shù)的定義，又有比較上面兩式，由于f是任意函數(shù)，得到即在一般正交曲線坐標(biāo)系中，函數(shù)的表達(dá)

5、式為在正交曲線坐標(biāo)系中，由六個面所構(gòu)成的體積元為因此，. 球坐標(biāo)系中，,.柱坐標(biāo)系中，,.平面極坐標(biāo)系中，,.由體積元知道，球坐標(biāo)系中體積元為權(quán)重函數(shù)分別為柱坐標(biāo)系中體積元為權(quán)重函數(shù)分別為場量的梯度(grade:)，散度(divergence:)，旋度(rotation:)和Laplace算符等在正交曲線坐標(biāo)系中的表達(dá)式（1）標(biāo)量的梯度是一個矢量，在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式是，其中分別是3D實空間中三個坐標(biāo)軸的單位矢量。 在一般正交曲線坐標(biāo)系中，的三個分量定義為沿三條坐標(biāo)軸的變化率，如以分別表示點沿三條坐標(biāo)線的單位矢量，就有. （2）矢量的散度是一個標(biāo)量，定義為：以記體積元的邊界面，表示大小為，方

6、向為面積元外法線方向的矢量，則是通過邊界面的通量，而點的散度是.通過坐標(biāo)面的通量是，通過坐標(biāo)面的通量是；通過坐標(biāo)面的通量是，通過坐標(biāo)面的通量是；通過坐標(biāo)面的通量是，通過坐標(biāo)面的通量是.因此，（3）矢量的旋度是一個矢量，它在方向的分量定義為：以l記坐標(biāo)面上的面積元的邊界線，其走向是關(guān)于成右手螺旋的，則 因為，所以，.，可以類似（指標(biāo)輪換）地定義并推導(dǎo)出。最后有，（4）Laplace算符利用和，得到.球坐標(biāo)系中，,.柱坐標(biāo)系中，,.平面極坐標(biāo)系中，, .二、分離變量對坐標(biāo)系的要求1）方程和邊界條件都必須是可分離變量的（例如兩者均是齊次的）；2）既取決于方程的形式和邊界條件，也與坐標(biāo)系的選擇有關(guān)；3

7、）選擇坐標(biāo)系的原則便于邊界條件處理：立方系：直角坐標(biāo)系；球面系：球坐標(biāo)系；橢球面系：橢球坐標(biāo)系；平面圓系：極坐標(biāo)系；柱面系：柱坐標(biāo)系。三、圓形區(qū)域內(nèi)Laplace方程的定解問題例1. 利用分離變量法求解定解問題（2+0D）設(shè) ，代入方程并分離變量，得由此得到兩個方程:，,其中，極角方向的方程與周期性邊界條件構(gòu)成本征值問題。這是因為，一般來說，場量是單值的，應(yīng)當(dāng)滿足，. 因此 所以和（這些邊界條件不同于界面銜接條件）. 這一本征值問題的本征值和本征函數(shù)分別為，().現(xiàn)在解分離變量以后的徑向方程(Euler型方程)，其特點是，階導(dǎo)數(shù)的各項又乘以自變量的次方(=0,1,2). 解法如下：令，代入方程

8、后得關(guān)于的代數(shù)方程，解出可得方程的特解。，消去，得.解得 ，從而得方程的兩個特解，. 當(dāng)時，則兩個特解為.(好比和)當(dāng)時，. 當(dāng)時，.則一般解為*對于本題定解問題的圓內(nèi)問題，有自然邊界條件，因此， (). 這時，一般解為，其中由邊界條件給出，它們是：偶函數(shù)部分：，奇函數(shù)部分：*對于下面例題的圓外問題，上述一般解也適用，但需要增加邊界條件：有界，或是具體問題需要具體確定。例2. 在電場強度為的均勻電場中，放入一個半徑為的無限長導(dǎo)體圓柱，其軸線垂直于，單位長度的帶電量為. 求導(dǎo)體圓柱外的電勢分布。解：分析：以圓柱的軸線為軸，顯然這是平面問題，因為這個問題本身與無關(guān)(2+0D). 以方向為軸方向取極

9、坐標(biāo)系，電勢所滿足的定解問題是這里我們選取導(dǎo)體表面為電勢零點。第二個邊界條件的右端第一項是待定常數(shù)；第二項是均勻電場的電勢第三項是單獨一個帶電導(dǎo)體在遠(yuǎn)處所產(chǎn)生的電勢，記為 當(dāng)時，無窮多個點電荷在處產(chǎn)生的電勢(需要將電勢零點位移，即定義為零電勢):(對數(shù)發(fā)散)。雖然新物理量不再發(fā)散，但是將吸收到中, 即 物理上2D的對數(shù)發(fā)散， 見Chapter. 14. 用分離變量法，可得此定解問題的一般解為（Note:）由即可得， (). Note: 各是相互獨立的。于是，.再利用，有比較各個（是相互獨立的，這個方法等價于用正交性積分來確定系數(shù)）關(guān)于的系數(shù)得， (), 以及 這就是信息通過邊界傳到體內(nèi)！從而，

10、本定解問題的物理解為：,其中第一項是無限長帶電導(dǎo)體所產(chǎn)生的電勢，當(dāng)時，它猶如電荷集中到軸線上所產(chǎn)生的勢；第二項是原來的均勻電場的電勢；第三項是圓柱面上的感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電勢，它對應(yīng)二維平面上位于原點的電偶極子所產(chǎn)生的勢。四、球坐標(biāo)系下的分離變量法1. 球坐標(biāo)系的穩(wěn)定問題(Laplace方程，3+0D)或 如果問題可分離變量，則令，其中將被稱為球諧函數(shù)（見第六節(jié)）。將代入上述Laplace方程且乘以得兩個方程從而有 (Euler方程，下節(jié)解之) (球函數(shù)方程)再令 ，代入上述球函數(shù)方程且乘以，得從而有,它與周期邊界條件構(gòu)成本征值問題： 而另一個方程（帶參數(shù)） 記，代入上面的方程并除以，得，這是l

11、階締合(連帶)Legendre方程，其求解見第六節(jié)的球諧函數(shù)。 若有， 這正是l階Legendre方程。它與自然邊界條件有界，即 有界，構(gòu)成了本征值問題。它的本征值和本征函數(shù)分別為2. 球坐標(biāo)系的非穩(wěn)定問題（3+1D振動或輸運問題的齊次方程），或 如果問題可分離變量，令，得 或 從而有，或 （這些方程易求解）以及 ，（Helmholtz方程）。再令，代入Helmholtz方程且乘以得，從而有(見下)以及 這是l階球Bessel方程，對其求解見下章。這個方程還可以簡化如下：令, 即得(自證)：進一步作代換，可將其化為階Bessel方程（對其求解見下章），即(自證)： 五、軸對稱問題 Legend

12、re多項式1. 軸對稱問題 Legendre多項式（復(fù)習(xí)）設(shè)物理問題關(guān)于球以及某坐標(biāo)軸是對稱的，以此坐標(biāo)軸為軸，取球坐標(biāo)系。這時場量與無關(guān)，我們可直接設(shè)，將其代入物理方程，并分離變量后，可得徑向方程，這個Euler方程的解為：,注意這個解包含了時的解系 分離變量后的角度方向的方程為.記和，代入上面方程并除以，得， l階Legendre方程（實際上，這就是的情況，這是因為與無關(guān)，必有與無關(guān)，因此一定有）. 它與自然邊界條件有界，即有界，構(gòu)成本征值問題。即它的本征值和本征函數(shù)分別為，.當(dāng)時，;當(dāng)時，2. Legendre多項式的常用性質(zhì)（1）特殊值、奇偶性和圖形PlotLegendrePl,x,x

13、,-1,1，, , （2）微分公式： Rodrigues公式證：利用二項式定理將展開，得.對上式求導(dǎo)次后，的原來冪次低于的項變?yōu)?，而不為零的項必須滿足，即. 這樣，當(dāng)時，有當(dāng)時，有（3）積分公式：由Legendre多項式的微分表示式，并利用Cauchy高階導(dǎo)數(shù)公式，得其中為包含的任一閉曲線，這叫作施雷夫列（Schlafli）積分公式。若取以點為圓心，半徑為的圓作為積分回路先驗地，則 ，于是叫作Laplace積分表示式：其中（4）母函數(shù)（生成函數(shù)）：引進參量，設(shè)，將Laplace積分表示式代入，得其中 (請自證)當(dāng)時，利用留數(shù)定理，可求得該積分等于習(xí)作.因此，.稱為Legendre多項式的生成

14、函數(shù)（母函數(shù)）。*從生成函數(shù)可以方便地引出一系列遞推公式。*同理，.對應(yīng)的物理問題：在以原點為中心的單位球面與軸的交點處放置一個電量為的點電荷，求球內(nèi)（球坐標(biāo)系）任意一點的電勢. 一方面，其中，. 另一方面，應(yīng)滿足方程，且與無關(guān)（軸對稱問題），.由于原點處不存在電荷，應(yīng)是有限的，必須有, 所以上式成為.因此，.為定出系數(shù)，取，并注意到，有.所以，.因此，將上式中的r換成，即得，或類似地討論球外問題也可得到上式。（為何要多此一舉？左邊的意義是清楚的，要右邊干嗎？-表示理論，今日科學(xué)亦如此?。?）遞推公式* 證明：將式兩邊對x求導(dǎo)，有,將代入上式，然后兩邊乘以，得到，比較兩端的系數(shù)相互獨立，得.

15、再將式兩邊對求導(dǎo)，有.將代入上式，然后兩邊乘以得到 .對求導(dǎo)，經(jīng)整理后得 .比較兩端項的系數(shù)，得到.與前述 消去項，得，* 證明思路：將母函數(shù)表達(dá)式對求導(dǎo)，乘以，再應(yīng)用母函數(shù)表達(dá)式，比較系數(shù)即得。* .* .* 遞推公式一般用來計算含的積分，以及用來由低階Legendre多項式得到高階Legendre多項式的表達(dá)式。例如:已知，由遞推公式 可得，.（6）正交性和完備性在區(qū)間上，為正交完備集:;或:. 這是S-L本征值問題，前面已經(jīng)告之，下面證明模方 :證明：在上述第二個遞推公式中令代替l，乘以，得.又將上面的遞推公式直接乘以，得.兩式相減，得.將此式在區(qū)間積分，并利用正交性得以此為遞推公式，可

16、得計算中要求，但由驗算知也成立。（7）廣義Fourier級數(shù) 定義在區(qū)間上的任何平方可積函數(shù)，均可按展為收斂的廣義Fourier級數(shù)：，例1.在勻強電場（電場強度為）中，放入一個半徑為、帶電量為的導(dǎo)體球。求球體外的電勢分布。解：分析：以球心為原點，以方向為z軸取球坐標(biāo)系。顯然電勢與無關(guān)，并且（而不是圖中的）?，F(xiàn)在的定解問題是這里我們選取球面為電勢零點。是待求常數(shù)，是均勻電場的電勢。單獨一個帶電球體在無窮遠(yuǎn)處所產(chǎn)生的電勢為零（如此選擇電勢零點是因為其自身處的電勢發(fā)散）。用分離變量法，可得此定解問題的一般解為eigenvalue eigenfunction , Euler solution , i

17、ndependents on and .將該通解代入邊界條件，得到.因此，.并非所有 再將這個形式的解代入邊界條件，得 所以，. 于是得到這個定解問題的解為.物理意義：第三項顯然是均勻電場的電勢，第四項是球面上的感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的場，相當(dāng)于在球心處有一電偶極矩為的電偶極子(自證)。下面來看前二項的物理意義：首先求出球外電場的徑向分量：.在球面附近，將此結(jié)果代入Gauss定理：，其中是包圍球體且半徑趨于的球面，得到(靜像法告訴我們此常數(shù)的物理意義是顯而易見的，引進它是為了)。由此可見解的第二項，正是球體作為點電荷在空間產(chǎn)生的電勢?？傊?，例2.半徑為的均勻帶電細(xì)圓環(huán)所帶總電量為.求空間的電勢分布。解

18、：以圓環(huán)中心為原點取球坐標(biāo)系，它的軸與圓環(huán)平面垂直。顯然電勢與無關(guān)?，F(xiàn)在的定解問題分為球內(nèi)、外兩個，一個是另一個是 用分離變量法，可得此定解問題的一般解為.由邊界條件，可得為定出其中的系數(shù)，需具體計算軸上的電勢，即和.（注意在軸正半軸上直接展其為Laurent級數(shù)，或者利用有與在的形式做比較，得，.最后得到，這個解的表達(dá)式只含有偶數(shù)階的，偶數(shù)階是對稱的，所以它也滿足條件.六、非軸對稱問題 球諧函數(shù)1. 締合（連帶）Legendre函數(shù)在球坐標(biāo)系中，Laplace方程為.令，其中稱為球諧函數(shù)，則.從而有， （Euler方程） （球函數(shù)方程）再令，則.從而有這個方程與周期性邊界條件和 構(gòu)成本征值問

19、題。本征值和本征函數(shù)分別為：在一般情況下，即沒有球極（軸）對稱性，還有方程記，代入上面方程并除以，得l階締合Legendre方程。是方程的常點，當(dāng)然可以直接用冪級數(shù)方法求解。然而，同Legendre方程一樣，它與自然邊界條件有界，即有界，一同構(gòu)成本征值問題。即因此，只有特定的值時，它才有本征函數(shù)解。這時，利用Legendre方程的結(jié)果，就比較容易得出連帶Legendre方程的本征函數(shù)解：令，于是得（練習(xí)）.另一方面，將Legendre方程利用Leibniz求導(dǎo)公式，對求導(dǎo)次后，得（練習(xí)）.將此與的方程比較，即可看出，.因此，連帶Legendre方程的解為.用符號表示m階l次(m order,

20、l degree)連帶Legendre多項式，即.當(dāng)不等于整數(shù)時，是多值函數(shù)，枝點在（它們都是Legendre方程的正則奇點）。當(dāng)時，就是Legendre多項式。此外，由于的最高次冪是，因而當(dāng)時，.綜上所述，在固定的情況下，連帶Legendre方程所構(gòu)成的本征值問題的本征值和本征函數(shù)分別為：， 在量子力學(xué)中，2. 連帶Legendre多項式的性質(zhì)（1）微分公式 Rodrigues公式.（2）可取負(fù)值連帶Legendre方程在換成時不變，所得函數(shù)也應(yīng)是方程的解。當(dāng)然不能直接用這是因為這種求導(dǎo)數(shù)沒有意義。作為二階常微分方程，連帶Legendre方程可以有兩個線性獨立解。滿足自然邊界條件的解一般只有

21、一個，例如Bessel方程解為有限的解為 這是因為 但是當(dāng)考慮的問題不包括時，需要兩個線性獨立解的組合。 與求Bessel方程一樣，由于Legendre方程的指標(biāo) 所以第二解為(為Euler函數(shù)，為函數(shù)的對數(shù)導(dǎo)數(shù))(吳崇試，數(shù)學(xué)物理方法，北京大學(xué)出版社，2003，p.226). 還有與滿足同樣一個方程，并且本征值也一樣，應(yīng)當(dāng)就是，兩者最多差一個常數(shù)因子為了求出常數(shù)，利用乘積函數(shù)的次微商的Leibnitz公式：有（）要使上述兩個微商不同時為零，必須滿足，即所以作求和指標(biāo)代換有同樣利用Leibnitz公式有二微商式子相比較得 因此,有.（3）積分公式施雷夫列（Schlafli）積分公式：其中，為包含的任一閉曲線。Laplace積分表示式：證明方式同Legendre多項式的積分公式.（4）遞推公式*.證明思路：由Legendre