1、剛體定軸轉(zhuǎn)動概述剛體定軸轉(zhuǎn)動概述第一節(jié) 剛體定軸轉(zhuǎn)動運動學(xué)一、剛體運動1、平動當(dāng)剛體中所有點的運動軌跡都保持完全相同時，或者說剛體內(nèi)任意兩點間的連線總是平行于它們的初始位置間的連線時，剛體的運動叫作平動。此時可以用一個點的運動代表剛體的運動2、轉(zhuǎn)動剛體中所有的點都繞同一條直線作圓周運動，這種運動稱為轉(zhuǎn)動。這條直線叫作轉(zhuǎn)軸。第一節(jié) 剛體定軸轉(zhuǎn)動運動學(xué)一、剛體運動1、平動當(dāng)剛體中所有瞬時轉(zhuǎn)軸：轉(zhuǎn)軸的位置或方向隨時間變化一般轉(zhuǎn)動固定轉(zhuǎn)軸：轉(zhuǎn)軸的位置或方向不隨時間變化剛體定軸轉(zhuǎn)動3、剛體的一般運動可看成平動和轉(zhuǎn)動的合成 定軸轉(zhuǎn)動 (本章討論) 非定軸轉(zhuǎn)動分為瞬時轉(zhuǎn)軸：轉(zhuǎn)軸的位置或方向隨時間變化一般轉(zhuǎn)動

2、3、剛體的一轉(zhuǎn)動平面：任一垂直于定軸的平面。轉(zhuǎn)動中心：轉(zhuǎn)動平面與定軸的交點。pro轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)軸 X參考方向二 剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述(運動學(xué)問題)1.轉(zhuǎn)動平面 可用圓周運動的角量描述剛體的整體運動 定軸轉(zhuǎn)動的特點： 各質(zhì)點都在各自的轉(zhuǎn)動平面內(nèi)做圓周運動； 各質(zhì)點運動的線量一般不同,但角量完全相同（角位移、角速度和角加速度 ）4轉(zhuǎn)動平面：任一垂直于定軸的平面。pro轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)軸 X二2、剛體轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度角位置角速度角加速度0三、勻變速轉(zhuǎn)動當(dāng)剛體定軸轉(zhuǎn)動時，如果在任意相等的時間間隔內(nèi)，角速度的增量都是相等的，這種變速轉(zhuǎn)動叫做勻變速轉(zhuǎn)動。角加速度 角速度 角位移 角位置 三、勻變速轉(zhuǎn)動當(dāng)剛體定

3、軸轉(zhuǎn)動時，如果在任意相等的時間間隔內(nèi)，四、角量與線量的關(guān)系r速度切向加速度法向加速度四、角量與線量的關(guān)系r速度切向加速度法向加速度 第二節(jié) 轉(zhuǎn)動定律 一、力矩1、引入外力對剛體轉(zhuǎn)動的影響，不僅與力的大小有關(guān)，而且還與力的作用點的位置有關(guān)，也和力的方向有關(guān)。力通過轉(zhuǎn)軸：轉(zhuǎn)動狀態(tài)不改變力離轉(zhuǎn)軸遠：轉(zhuǎn)動狀態(tài)容易改變力離轉(zhuǎn)軸近：轉(zhuǎn)動狀態(tài)不易改變 第二節(jié) 轉(zhuǎn)動定律 一、力矩1、引入外力對剛體轉(zhuǎn)O2.力矩（力對轉(zhuǎn)軸的力矩）zP*Fv M軸 = r F 根據(jù)經(jīng)驗，力可以使物體轉(zhuǎn)動。但使物體轉(zhuǎn)動的作用，不僅與力的大小有關(guān)，還與力的方向和力的作用線與轉(zhuǎn)軸的距離有關(guān)。 設(shè)力 F 在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，作用點在 P 方向：

4、沿軸 (由右手定)； 轉(zhuǎn)動半徑 r 是 OP 大小：FdF rM=qsin9O2.力矩（力對轉(zhuǎn)軸的力矩）zP*Fv M軸 = r 討論2）合力矩等于各分力矩的矢量和 1）若力 不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個分量 Fv 其中 對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故 對轉(zhuǎn)軸的力矩FvFzv+=FFFzvvv=Fvr vM軸vO=iMMvv10討論2）合力矩等于各分力矩的矢量和 1）若力 思考.合力為零時，其合力矩是否一定為零？合力矩為零時，合力是否一定為零？不一定11思考.合力為零時，其合力矩是否一定為零？不一定13二、轉(zhuǎn)動定律1、一個質(zhì)點的情況法向力 Fn=man，通過轉(zhuǎn)軸，力矩為零切向力

5、Ft=mat=mr對轉(zhuǎn)軸的力矩為 M= Ft r= mr2質(zhì)點的角加速度與質(zhì)點所受的力矩成正比2、內(nèi)力矩dff 剛體內(nèi)任意兩點之間的相互作用力，大小相等，方向相反，在同一條直線上。兩力的力臂相等，因而兩力的力矩相等，方向相反。故兩個內(nèi)力的合力矩為零。推廣：剛體的內(nèi)力力矩之和為零。二、轉(zhuǎn)動定律1、一個質(zhì)點的情況法向力 Fn=man，通過轉(zhuǎn) 外力Fi 內(nèi)力 Fi 應(yīng)用牛頓第二定律，可得：O采用自然坐標(biāo)系，上式切向分量式為：O剛體看作是由很多質(zhì)元組成，對剛體中任一質(zhì)量元設(shè) 和 均在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)內(nèi)力 Fi 外力Fi受力:3、剛體的情況13 外力Fi 內(nèi)力 Fi 應(yīng)用牛頓第二定律，可得：O采用自將切向分量

6、式兩邊同乘以r，變換得 對所有質(zhì)元求和有各質(zhì)元所受的外力矩之和,即剛體所受的外力矩,用M表示 各項的意義:各質(zhì)元所受的內(nèi)力矩之和為0稱剛體的轉(zhuǎn)動慣量,以 I 表示 單位為 kgm2OO第1項右邊的第2項14將切向分量式兩邊同乘以r，變換得 對所有質(zhì)元求和有各質(zhì)元所定義轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動定律：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，剛體的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比。說明：1)合外力矩和轉(zhuǎn)動慣量都是相對于同一轉(zhuǎn)軸而言的； a.力矩是使剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)發(fā)生改變而產(chǎn)生角加速度的原因。 b.內(nèi)力矩不改變剛體定軸轉(zhuǎn)動的狀態(tài)2)轉(zhuǎn)動定律的地位與質(zhì)點動力學(xué)中牛頓第二定律相當(dāng)，是解決剛體定軸轉(zhuǎn)動問題的基本方程。比

7、較牛頓第二定律：剛體定軸轉(zhuǎn)動定律定義轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動定律：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，剛體的角加速度與它所三、轉(zhuǎn)動慣量1、定義 剛體的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體上各質(zhì)點的質(zhì)量與各質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸距離平方的乘積之和。2、說明 轉(zhuǎn)動慣量是標(biāo)量； 轉(zhuǎn)動慣量有可加性； 單位：kgm2 3 、物理意義：轉(zhuǎn)動慣性的量度 . I 大 轉(zhuǎn)動慣性大 三、轉(zhuǎn)動慣量1、定義 剛體的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體上各質(zhì)點的質(zhì)量與m1m2OO 例：如圖m1 ，m2繞OO轉(zhuǎn)動，它們距軸的距離分別為 、 則，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量為若質(zhì)量離散分布若質(zhì)量連續(xù)分布4、轉(zhuǎn)動慣量的計算17m1m2OO 例：如圖m1 ，m2繞OO轉(zhuǎn)質(zhì)量連續(xù)分布計算方法如下：dm為質(zhì)量元質(zhì)量為線分布質(zhì)

8、量為面分布質(zhì)量為體分布其中、分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。線分布面分布體分布質(zhì)量連續(xù)分布計算方法如下：dm為質(zhì)量元質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分例2、求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。RO解：dm例1、求長為L、質(zhì)量為m的均勻細棒對圖中不同軸的轉(zhuǎn)動慣量。ABLXABL/2L/2CX解：取如圖坐標(biāo)，dm=dx例2、求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。軸與圓環(huán)平面例2、求質(zhì)量為m、半徑為R、厚為l 的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：取半徑為r寬為dr的薄圓環(huán),lORrdr可見，轉(zhuǎn)動慣量與l無關(guān)。所以，實心圓柱對其軸的轉(zhuǎn)動慣量也是mR2/2。

9、例2、求質(zhì)量為m、半徑為R、厚為l 的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。軸5、幾種剛體的轉(zhuǎn)動慣量垂直于桿的軸通過桿的中心 I=M l 2/2垂直于桿的軸通過桿的端點 I=M l 2/12對通過盤心垂直盤面的轉(zhuǎn)軸 I=MR 2/2 6、影響剛體轉(zhuǎn)動慣量的因素剛體的總質(zhì)量：形狀、大小和轉(zhuǎn)軸都相同的勻質(zhì)剛體，總質(zhì)量越大，則轉(zhuǎn)動慣量越大；剛體的質(zhì)量分布：形狀、大小和轉(zhuǎn)軸都相同的剛體，質(zhì)量分布離軸越遠，轉(zhuǎn)動慣量越大；轉(zhuǎn)軸位置：同一剛體，對不同位置的轉(zhuǎn)軸，其轉(zhuǎn)動慣量是不同的。5、幾種剛體的轉(zhuǎn)動慣量垂直于桿的軸通過桿的中心 四、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用題目類型1.已知轉(zhuǎn)動慣量和力矩，求角加速度；2.已知轉(zhuǎn)動慣量和角加

10、速度，求力矩；3.已知力矩和角加速度，求轉(zhuǎn)動慣量。解題步驟1.確定研究對象；2.受力分析；3.選擇參考系與坐標(biāo)系；4.列運動方程；5.解方程；6.必要時進行討論。注意以下幾點：1.力矩與轉(zhuǎn)動慣量必須對同一轉(zhuǎn)軸而言的；2.要選定轉(zhuǎn)軸的正方向，以便確定已知力矩或角加速度、角速度的正負；3.當(dāng)系統(tǒng)中既有轉(zhuǎn)動物體又有平動物體時，則對轉(zhuǎn)動物體按轉(zhuǎn)動定律建立方程，對于平動物體按牛頓定律建立方程。四、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用題目類型解題步驟注意以下幾點 例1: 一定滑輪的質(zhì)量為 m ，半徑為 r，一輕繩兩邊分別系 m1 和 m2 兩物體掛于滑輪上，繩不伸長，繩與滑輪間無相對滑動。不計軸的摩擦，初角速度為

11、零，求滑輪轉(zhuǎn)動角速度隨時間變化的規(guī)律。已知：求：思路：質(zhì)點平動與剛體定軸轉(zhuǎn)動關(guān)聯(lián)問題，隔離法，分別列方程，先求角加速度, 再23 例1: 一定滑輪的質(zhì)量為 m ，半徑為 r，一輕繩兩解：在地面參考系中，分別以為研究對象，用隔離法，分別以牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動定律建立方程。對于 m 1思考：因為重滑輪加速轉(zhuǎn)動對于 m 2對于滑輪 m另外，繩與滑輪間無相對滑動，由角量和線量的關(guān)系：24解：在地面參考系中，分別以對于 m 1思考：因為重滑輪加速聯(lián)立求解得：25聯(lián)立求解得：27例2、一個質(zhì)量為M、半徑為R的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為m的物體而下垂。忽略軸處

12、摩擦，求物體m由靜止下落高度h時的速度和此時滑輪的角速度。mg解：例2、一個質(zhì)量為M、半徑為R的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有例3、一根長為l、質(zhì)量為m 的均勻細直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺角時的角加速度。解：棒下擺為加速過程，外力矩為重力對O 的力矩。 棒上取質(zhì)元dm,當(dāng)棒處在下擺角時，重力矩為：XOdmgdmx據(jù)質(zhì)心定義例3、一根長為l、質(zhì)量為m 的均勻細直棒，其一端有一固定的光重力對整個棒的合力矩與全部重力集中作用在質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣。重力對整個棒的合力矩與全部重力集中作用在質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣重點總結(jié)剛體模型轉(zhuǎn)動慣量

13、I 物理意義: 物體轉(zhuǎn)動慣性的量度 取決因素: 剛體的質(zhì)量，剛體的質(zhì)量分布， 軸的位置。 地位與質(zhì)點運動中 m 相當(dāng)剛體定軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動定律 地位與質(zhì)點運動中牛頓第二定律相當(dāng)29重點總結(jié)剛體模型31大小一 質(zhì)點的角動量定理沖量、動量、動量定理. 第三節(jié) 角動量 角動量守恒定律力矩的時間累積效應(yīng)質(zhì)點的角動量(質(zhì)點對點的角動量）O 定義（動量動量臂） 又稱動量矩方向符合右手螺旋法則單位：千克 米2/秒 （kg m2 s-1）力的時間累積效應(yīng)沖量矩、角動量、角動量定理30大小一 質(zhì)點的角動量定理沖量、動量、動量定理. 第三節(jié) 說明角動量是自然界最基本最重要的概念之一，它不僅在經(jīng)典力學(xué)中很重要，而且在近代

14、物理中的運用更為廣泛。角動量不僅與質(zhì)點的運動有關(guān)，還與參考點有關(guān)。作圓周運動的質(zhì)點的角動量 Lmrv質(zhì)點作勻速直線運動時，盡管位置矢量r變化，但是質(zhì)點的角動量L保持不變。P Lro說明角動量是自然界最基本最重要的概念之一，它不僅在經(jīng)典力學(xué)中2、質(zhì)點的角動量定理設(shè)質(zhì)點的質(zhì)量為m，在合力F的作用下，運動方程考慮到2、質(zhì)點的角動量定理設(shè)質(zhì)點的質(zhì)量為m，在合力F的作用下，運動得所以Mdt 為力矩和作用時間的乘積，叫作沖量矩。對上式積分得角動量定理（微分形式）：質(zhì)點所受的合外力矩等于它的角動量對時間的變化率。質(zhì)點的角動量定理：對同一參考點，質(zhì)點所受的沖量矩等于質(zhì)點角動量的增量。成立條件：慣性系得所以Md

15、t 為力矩和作用時間的乘積，叫作沖量矩。對上式積分3、質(zhì)點的角動量守恒定律若質(zhì)點所受的合外力矩為零，即 M=0，角動量守恒定律：當(dāng)質(zhì)點所受的對參考點的合外力矩為零時，質(zhì)點對該參考點的角動量為一恒矢量。外力矩為零有兩種情況：a、質(zhì)點所受的外力為零；b、質(zhì)點所受的外力不為零，但是在任意時刻外力對于固定參考點的合力矩為零。特例：在向心力的作用下，質(zhì)點對力心的角動量都是守恒的；勻速直線運動。rLv3、質(zhì)點的角動量守恒定律若質(zhì)點所受的合外力矩為零，即 M=0二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律1、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量剛體上的一個質(zhì)元,繞固定軸做圓周運動角動量為：所以剛體繞此軸的角動量為：剛體對固

16、定轉(zhuǎn)動軸的角動量L,等于它對該軸的轉(zhuǎn)動慣量J 和角速度 的乘積。比較動量二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律1、剛體定軸轉(zhuǎn)動2、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理由轉(zhuǎn)動定律 得積分得當(dāng)轉(zhuǎn)動慣量一定時當(dāng)轉(zhuǎn)動慣量變化時剛體的角動量定理：當(dāng)轉(zhuǎn)軸給定時，作用在剛體上的沖量矩等于剛體角動量的增量。2、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理由轉(zhuǎn)動定律 得積分得當(dāng)轉(zhuǎn)動慣量一3、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律若剛體所受的合外力矩為零，即M=0角動量守恒定律：當(dāng)剛體所受的的合外力矩為零，或者不受合外力的作用，則剛體的角動量保持不變。討論：分兩種情況：1)剛體繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動時，如果轉(zhuǎn)動慣量不變，剛體作勻速轉(zhuǎn)動；2)剛體繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動時，如

17、果轉(zhuǎn)動慣量發(fā)生改變，則剛體的角速度隨轉(zhuǎn)動慣量也發(fā)生變化，但二者的乘積不變。當(dāng)轉(zhuǎn)動慣量變大時，角速度變??；當(dāng)轉(zhuǎn)動慣量變小時，角速度變大?；踊\動員的旋轉(zhuǎn)表演跳水運動員茹可夫斯基凳直升飛機3、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律若剛體所受的合外力矩為零，即384039414042 例1 A、B 兩圓盤繞各自的中心軸轉(zhuǎn)動，角速度分別為：wA = 50 rad.s-1, wB = 200 rad.s-1。已知A 圓盤半徑RA= 0.2 m, 質(zhì)量mA = 2 kg, B 圓盤的半徑RB = 0.1 m, 質(zhì)量mB = 4 kg. 試求兩圓盤對心銜接后的角速度w . 解：以兩圓盤為系統(tǒng)，盡管在銜接過程中有重

18、力、軸對圓盤支持力及軸向正壓力，但他們均不產(chǎn)生力矩；圓盤間切向摩擦力屬于內(nèi)力。因此系統(tǒng)角動量守恒，得到41 例1 A、B 兩圓盤繞各自的中心軸轉(zhuǎn)動，角速度分別為例1、如圖所示,一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入一靜止懸于頂端長棒的下端,穿出后速度損失3/4,求子彈穿出后棒的角速度。已知棒長為l,質(zhì)量為M 。v0vmM解:以f 代表棒對子彈的阻力,對子彈有:子彈對棒的反作用力對棒的沖量矩為：因 f = - f由兩式得例1、如圖所示,一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入一靜止懸于頂端例2、如圖所示，將單擺和一等長的勻質(zhì)直桿懸掛在同一點，桿的質(zhì)量m與單擺的擺錘相等。開始時直桿自然下垂，將單擺的擺錘拉到高度h0

19、，令它自靜止?fàn)顟B(tài)下垂,于鉛垂位置和直桿作彈性碰撞。求碰撞后直桿下端達到的高度h。chchh=3h0/2bamlhol解:碰撞前單擺擺錘的速度為例2、如圖所示，將單擺和一等長的勻質(zhì)直桿懸掛在同一點，桿的質(zhì)令碰撞后直桿的角速度為，擺錘的速度為v。由角動量守恒，有在彈性碰撞過程中機械能也是守恒的:二式聯(lián)立解得：按機械能守恒，碰撞后擺錘達到的高度顯然為而桿的質(zhì)心達到的高度滿足由此得令碰撞后直桿的角速度為，擺錘的速度為v。由角動量守恒，有小結(jié)剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律質(zhì)點的角動量定理和角動量守恒定律小結(jié)剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角小結(jié)剛體的概念剛體的平動和轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量小結(jié)剛體的概念力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量44 力矩作功 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理一、力矩作功剛體在外力F的作用下，繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過的角位移為d，這時力F的作用點位移的大小為ds=rd。根據(jù)功的定義式，可知力F在這段位移內(nèi)所作的功為，說明：力矩作功的實質(zhì)仍然是力作功。只是對于剛體轉(zhuǎn)動的情況，這個功不是用力的位移來表示，而是用力矩的角位移來表示。44 力矩作功 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理一、力矩作功剛二、力矩的功率1、定義：單位時間內(nèi)力矩對剛體所作的功。2、公式3、意義表示力