1、第3章線 性 方 程 3.1 引言 3.2 解的存在性與唯一性 3.3 齊次線性方程組通解的結(jié)構(gòu) 3.4 非齊次線性方程組通解的結(jié)構(gòu) 3.5 邊值問題和周期解 3.6 高階線性方程 3.7 線性微分方程的一些求解方法 3.8 線性方程的復(fù)值解 3.1引言 在第2章中，我們介紹了解微分方程的一些初等積分法，利用這些方法，人們可以求得方程的通解表達(dá)式.然而，能用初等積分法解出的微分方程是很少的.這就迫使人們將注意力轉(zhuǎn)移到直接根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)以及出現(xiàn)在方程中的函數(shù)的性質(zhì)去探索解的各種性質(zhì)，建立方程的各種理論.本章至第5章所要講述的就是沿著這個(gè)方向建立的基本理論和基本方法. 本章研究一類具有特殊結(jié)構(gòu)的方

2、程，即線性方程.這類方程，雖然結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，但一般不能用初等積分法求得它的通解表達(dá)式.然而，人們可直接根據(jù)方程的特點(diǎn)，從理論上推斷它的通解具有簡(jiǎn)單而清晰的結(jié)構(gòu).這一重要事實(shí)不僅是線性方程理論的基石，而且在非線性方程的研究中也有著重要的應(yīng)用. 由于高階微分方程式總可以化成一階微分方程組，因此本章將首先研究一階線性微分方程組，然后將一階線性微分方程組的結(jié)果應(yīng)用到高階線性微分方程式上.所謂一階線性微分方程組,是指形如 (3.1) 的方程組，它的右端是x1,xn的線性函數(shù)，這里aij、fi (i,j=1,n)都是區(qū)間I上的已知函數(shù).為了書寫方便，引進(jìn)向量和矩陣記號(hào).記則方程組(3.1)可以簡(jiǎn)寫為 (3.2

3、) 其中,A(t)和f(t)分別稱為系數(shù)矩陣和非齊次項(xiàng).當(dāng)非齊次項(xiàng)f(t)0時(shí)，式(3.2)變成 (3.3) 它稱為齊次線性微分方程組.而當(dāng)非齊次項(xiàng) ，即fi(t)(i=1,n)不都恒等于零時(shí)，式(3.2)稱為非齊次線性微分方程組.初值條件也可簡(jiǎn)記為 其中為維列向量，即向量的轉(zhuǎn)置.以后凡談到向量，如無特殊說明，都是指列向量. 為了便于對(duì)寫成向量和矩陣形式的微分方程組(3.2)進(jìn)行討論，我們引進(jìn)一些記號(hào)和概念. 稱一矩陣（包括作為特殊矩陣的向量）函數(shù)是連續(xù)（或可微，或連續(xù)可微，等等）的，指的是它的每一個(gè)元素都是連續(xù)（或可微，或連續(xù)可微，等等）的；一矩陣函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或積分，或極限）,是指這樣一個(gè)矩

4、陣函數(shù)，它的各個(gè)元素是原矩陣的相應(yīng)元素的導(dǎo)數(shù)（或積分，或極限）；稱一矩陣函數(shù)序列是收斂（或在區(qū)間上一致收斂）的，指的是它的每一個(gè)相應(yīng)元素作成的序列是收斂（或在區(qū)間I上一致收斂）的.如果則記 而依次稱為向量x和矩陣A的模，也稱為范數(shù).從定義出發(fā)，容易推出如下幾個(gè)不等式：(1)|Ax|A|x|.(2)若B也是nn矩陣，則|AB|A|B|；特別對(duì)任意自然數(shù)m，有 (3)三角不等式：若y也是n維向量，則|x+y|x|+|y|.(4)若x(t)是n維向量，且在atb上連續(xù)，則 3.2解的存在性與唯一性對(duì)于一個(gè)不能用初等積分法求解的微分方程，首要問題是，它是否有解？更明確地說，是否有滿足給定初值條件的解？

5、進(jìn)而還要問：滿足給定初值條件的解是否唯一？這些問題得不到滿意的回答，就很難再談關(guān)于這一方程的其他研究.下面的定理就線性方程組的情形對(duì)上述問題給出了完滿的回答，它是線性微分方程理論的基礎(chǔ). 定理3.1設(shè)A(t)和f(t)均在區(qū)間I上連續(xù)，則對(duì)任一t0I和任意n維常向量,方程組(3.2)恒有定義在整個(gè)區(qū)間I上且滿足初值條件式(3.4)的解.此外，方程組(3.2)也只能有一個(gè)解滿足初值條件式(3.4). 證明這個(gè)定理的證明分4步完成.(1)把初值問題式(3.2)、(3.4)化成下述等價(jià)的積分方程組： (3.5) 等價(jià)的意思是：如果x=(t)是初值問題式(3.2)、(3.4)的解，則它是積分方程組(3

6、.5)的連續(xù)解；反之，如果x=（t)是積分方程組(3.5)的連續(xù)解，則它必是初值問題式(3.2)、(3.4)的解.這樣一來，我們就只需證明：積分方程組(3.5)在區(qū)間I上有連續(xù)解，且只能有一個(gè)連續(xù)解. (2)用逐步逼近法構(gòu)造皮卡（Picard,1856-1941）序列，即 用數(shù)學(xué)歸納法容易證明，k(t)(k=1,2,)在區(qū)間I上有定義且連續(xù). (3)證明序列k(t)在區(qū)間I內(nèi)一致收斂（即在I的任意有限閉子區(qū)間上一致收斂），且其極限函數(shù)是積分方程組(3.5)在區(qū)間I上的連續(xù)解.事實(shí)上，假設(shè)I1是I的一個(gè)任意給定的有限閉子區(qū)間，且t0I1.由序列與級(jí)數(shù)的關(guān)系知，只需證明無窮級(jí)數(shù) (3.7) 在I1

7、上一致收斂.以K表示|A(t)|和|A(t)+f(t)|在I1上的一個(gè)公共上界.于是當(dāng)tI1時(shí),有 用數(shù)學(xué)歸納法容易證明，對(duì)任意自然數(shù)m，有 (4)證明唯一性，即證明：如果x=(t)，在區(qū)間 上是方程組(3.5)的連續(xù)解，且t0I0，則在I0上必有 (3.8) (3.9) 于是我們有 把它代入式(3.9)右端，進(jìn)而得到 用數(shù)學(xué)歸納法容易證明，對(duì)任意自然數(shù)m，有將定理3.1應(yīng)用于方程組(3.3)特別就有 引理3.1方程組(3.3)的解，若在區(qū)間I的某點(diǎn)處為零（向量），則必在區(qū)間I上恒等于零（向量）.證明設(shè)x=x(t)是方程組(3.3)在I上的解，它在t0I處為零（向量）,則x=x(t)是方程組(

8、3.3)滿足初值條件x(t0)=0的解.由于x=0也是此方程組滿足同一初值條件的解，因此根據(jù)定理3.1所指出的唯一性即知，必有引理證完.注3.2皮卡迭代序列提供了近似求解方程組(3.2)的初值問題的方法.注3.3設(shè)I=R1且A(t)和f(t)是以正數(shù)為周期的周期函數(shù),x=(t)是方程組(3.2)在R1上的解，則(t)是以為周期的周期函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)(0)=(). 例3.1半徑為R的球一半沉入水中，用手將其稍微向下按后放手，球即上下振動(dòng)，求振動(dòng)周期.解以球原位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，x為球心位移.球密度 (kg/m3)，水密度=1(kg/m3)，則有因x0(微振動(dòng))，故取近似微分方程為 3.3 齊次線性方程

9、組的通解的結(jié)構(gòu)本節(jié)研究齊次線性方程組(3.3)的所有解所構(gòu)成的集合的結(jié)構(gòu).因?yàn)槿魏谓舛寄苎油氐絀上，所以我們只考慮那些在I上有定義的解.齊次線性方程組的最基本的性質(zhì)是它的解具有可疊加性，即下面的結(jié)論成立. 也是方程組(3.3)的解.但它未必是方程組(3.3)的通解.例如當(dāng)1(t)0時(shí)，上式變成 它只含有個(gè)任意常數(shù)，又如當(dāng) 時(shí)，上式變成 它實(shí)際上也只有n-1個(gè)任意常數(shù).因此為了使它能構(gòu)成方程組(3.3)的通解，必須對(duì)解組1(t),n(t)之間的關(guān)系作適當(dāng)限制，這就引出了一組向量函數(shù)線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念. 如果有不全為零的常數(shù)1,m,使得 (3.10) 則稱向量函數(shù)1(t),m(t)在區(qū)間I上

10、是線性相關(guān)的.否則，要想式(3.10)成立，除非1=m=0，便稱此m個(gè)向量函數(shù)在區(qū)間I上是線性無關(guān)的. (3.11) 是方程組(3.3)的通解，確切地說，是方程組(3.3)的全部解的共同表達(dá)式，即對(duì)任意常數(shù)c1,cn，向量函數(shù)(3.11)都是方程組(3.3)的解；反之，方程組(3.3)的任一解，都可以寫成式(3.11)的形式. 這表明解x(t)可以通過在式(3.11)中適當(dāng)選取c1,cn而得到. 注3.4定理3.2表明，方程組(3.3)的解的全體構(gòu)成一個(gè)n維線性空間.方程組(3.3)的任意n個(gè)線性無關(guān)的解合起來稱為它的一個(gè)基本解組.如果以它們作為列向量排成一個(gè)n階矩陣，則此矩陣稱為方程組(3.

11、3)的一個(gè)基本解矩陣.若以(t)表示方程組(3.3)的一個(gè)基本解矩陣，則可將表達(dá)式(3.11)簡(jiǎn)寫為 其中c=(c1,cn)T是任意的n維常向量.作為方程組(3.3)的基本解矩陣，(t)滿足: (3.12) (3.13) 式(3.12)之所以成立，是因?yàn)?t)的每一列都是方程組(3.3)在I上的解；式(3.13)之所以成立，是因?yàn)?t)的每一列都是方程組(3.3)的解，而且這n個(gè)解是線性無關(guān)的.順便指出，對(duì)于n個(gè)一般的n維向量函數(shù)，線性無關(guān)并不包含相應(yīng)的n階行列式不等于零，例如二維向量函數(shù): 在任意區(qū)間上線性無關(guān)，可是相應(yīng)的行列式卻恒等于零. 設(shè)有n個(gè)定義在區(qū)間I上的向量函數(shù)： 由它們排列而成

12、的行列式: 稱為這n個(gè)向量函數(shù)的朗斯基(Wronski,1776-1853)行列式. 引理3.4(劉維爾公式)若1(t),n(t)是方程組(3.3)的解，則它們的朗斯基行列式W(t)可表示為 其中t0I可任意取定，而 證明由行列式的微商公式知 可見x=W(t)是下述初值問題的解 所以引理的結(jié)論成立.這個(gè)引理加強(qiáng)了前面的結(jié)論式(3.13). 注3.5設(shè)1(t)和2(t)是方程組(3.3)在區(qū)間I上的兩個(gè)基本解矩陣,則存在非奇異常矩陣C，使得 注3.6設(shè)I.若方程組(3.3)的基本解矩陣(t)滿足初值條件()=E(n階單位矩陣），則(t)稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣.顯然，對(duì)任一基本解矩陣(t),(t,)=(

13、t)-1()是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣.容易證明：(1)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t,)與基本解矩陣(t)的選擇無關(guān)；(2)(t,)關(guān)于變量t是矩陣方程 滿足初值條件Y()=E的唯一解； (3)對(duì)任意t,I,(t,)是非奇異的，并且-1(t,)=(,t)；(4)對(duì)任意t,I,有(t,)=(t,)(,)；(5)方程組(3.3)的解x(t,)有表達(dá)式 例3.2證明函數(shù)組 在區(qū)間(-,+)上線性無關(guān)，但它們的朗斯基行列式恒為零.證明要證明1(x)、2(x)在(-,+)上線性無關(guān)，只需證明等式11(x)+22(x)=0對(duì)一切x成立，必須取1=2.實(shí)際上，若取10，對(duì)于x0,有 即對(duì)所有的x，恒有W(x)=0.例3.3設(shè)在方程

14、y+p(x)y+q(x)y=0中，p(x)在某區(qū)間I上連續(xù)且恒不為零，試證：它的任意兩個(gè)線性無關(guān)的解的朗斯基行列式是區(qū)間I上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù).證明設(shè)y1(x)、y2(x)是已知方程的定義在區(qū)間I上的任意兩個(gè)線性無關(guān)的解.根據(jù)劉維爾公式，有 其中W(x0)0.考察 例3.4求微分方程 下面給出通過建立數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題的例子.先介紹幾個(gè)基本概念.出生（死亡）率:單位時(shí)間內(nèi)每N個(gè)成員中出生（死亡）的成員數(shù)與N之比.增長(zhǎng)率:單位時(shí)間內(nèi)每N個(gè)成員中增長(zhǎng)的成員數(shù)與N之比，其中N是一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)，例如1000. 顯然以上三者有關(guān)系: 增長(zhǎng)率=出生率-死亡率 （3.14） 設(shè)時(shí)刻t某物種的成員數(shù)為y，即y=

15、y(t),則從t到t+t時(shí)成員數(shù)增長(zhǎng) 所以，從t到t+t這段時(shí)間中的平均增長(zhǎng)率為 當(dāng)成員可數(shù)時(shí)，成員數(shù)是非負(fù)整數(shù).如果對(duì)一系列時(shí)間t1,t2,知道相應(yīng)的成員數(shù)y(t)為 則我們把y(t)開拓為實(shí)變數(shù)t的非負(fù)實(shí)數(shù)值y的函數(shù)y=y(t)，并且使y(t)連續(xù)，有連續(xù)導(dǎo)數(shù).這樣一來，就得到 （3.15） (1)增長(zhǎng)率是常數(shù)(0).此時(shí)根據(jù)式（3.15），物種成員數(shù)y=y(t)應(yīng)滿足微分方程: 即 （3.16） 設(shè)t=0時(shí)，成員數(shù)為y(0)，則滿足此初始條件的解為顯然，只要y(0)0，就有.也就是說，物種的成員會(huì)無限地增長(zhǎng).(2)增長(zhǎng)率依賴于主要食物供給量(0).設(shè)維持該物種生存的最低食物供應(yīng)量為0.例

16、如，某種貓靠食鼠為生.要捕食鼠首先就要有機(jī)會(huì)遇到鼠，因此維持這種貓的生存就要在它的活動(dòng)范圍內(nèi)有一個(gè)最低的鼠的只數(shù)0.當(dāng)0時(shí),增長(zhǎng)率為正；當(dāng)0時(shí)，物種成員將無限增長(zhǎng)；當(dāng)=0時(shí)，物種成員將維持不變；而當(dāng)0時(shí)，此物種將滅絕.由此可見，同一個(gè)物種在不同的環(huán)境里將有不同的前途. (3)增長(zhǎng)率與物種的成員數(shù)有關(guān).例如成員多，就有居住擁擠,疾病易于傳染,社會(huì)摩擦(負(fù)的社會(huì)現(xiàn)象)；當(dāng)然也有利于集體捕食，抵御外來物種的攻擊，正的社會(huì)現(xiàn)象.現(xiàn)在我們只考慮社會(huì)摩擦.設(shè)成員數(shù)有一個(gè)極限值，即當(dāng)成員數(shù)超過時(shí)增長(zhǎng)率為負(fù)的.取 于是物種成員數(shù)滿足極限增長(zhǎng)方程: （3.18） 方程右端出現(xiàn)了非線性項(xiàng)cy2，它反映社會(huì)摩擦.顯

17、然，y0,y都是方程(3.18)的解.而當(dāng)t=0時(shí),y=y(0)(y(0)0,y(0)的解是 當(dāng)t+時(shí),y.亦即，若開始時(shí)物種成員數(shù)為0或，則分別保持此成員數(shù).而開始時(shí)，不論成員數(shù)是多于還是少于，終將達(dá)到極限值.3.4非齊次線性方程組通解的結(jié)構(gòu) 引理 3.5 非齊次線性方程組(3.2)的解與相應(yīng)的齊次線性方程組(3.3)的解之和仍是(3.2)的解.(3.2)的兩個(gè)解之差是相應(yīng)的(3.3)的解.利用這一關(guān)系和相應(yīng)的(3.3)的通解就可得到(3.2)的通解.定理3.3設(shè)(t)是方程組(3.2)的一個(gè)解，(t)是相應(yīng)的方程組(3.3)的一個(gè)基本解矩陣，則含n維任意常向量c的表達(dá)式 (3.19) 是方

18、程組(3.2)全部解的共同表達(dá)式.證明首先，由引理3.5知對(duì)任意n維常向量c，式(3.19)是方程組(3.2)的解.其次，若x(t)是方程組(3.2)的任意給定的解，則由引理3.5知x(t)-(t)是相應(yīng)的方程組(3.3)的解.再由定理3.2知存在n維常向量c0，使得 這表明解x(t)可通過在式(3.19)中適當(dāng)選取c而得到.定理證完. 根據(jù)定理3.3，假如已知相應(yīng)的方程組(3.3)的一個(gè)基本解矩陣，則求方程組(3.2)的通解的問題就歸結(jié)為求它的任意一個(gè)特解.為求方程組(3.2)的特解，我們可采用常數(shù)變易法.利用這種方法，實(shí)際上不僅只得到方程組(3.2)的一個(gè)特解，而且同時(shí)可得到它的通解. 定

19、理3.4（常數(shù)變易公式）設(shè)(t)是與方程組(3.2)相應(yīng)的方程組(3.3)的一個(gè)基本解矩陣，則方程組(3.2)的全部解的共同表達(dá)式可以寫成 (3.20) 其中c是任意的n維常向量，t0I可任意取定.證明我們知道方程組(3.3)的通解可表示為 其中c=(c1,cn)T為任意的n維常向量.現(xiàn)在將常向量c換成向量函數(shù)c(t)，考慮形如 (3.21) 的向量函數(shù)，而設(shè)法在這種形式的函數(shù)中去求方程組(3.2)的解，其中c(t)是待定的可微向量函數(shù).將式(3.20)代入方程組(3.2)，得到因?yàn)?t)是方程組(3.3)的基本解矩陣，故上式可簡(jiǎn)化為 這是一個(gè)關(guān)于的線性代數(shù)方程組.由于det(t)0，故可解出

20、 任取t0I，積分上式得到 (3.22) 其中c是任意的n維常向量.取c=0，并將 代入式(3.21)，可得到方程組(3.2)的一個(gè)特解再由定理3.3便得到所要證明的結(jié)論.實(shí)際上，將式(3.22)代入式(3.21)就可直接得到定理的結(jié)論.注3.7利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t)，初值問題式(3.2)和(3.4)的解可表示為 (3.23) 例3.5驗(yàn)證微分方程組 (3.24) 的通解為 (3.25) 證明事實(shí)上，不難驗(yàn)證 (3.26) 是齊次線性微分方程組(3.24)在區(qū)間-x0或x0,00，且皆是常數(shù).我們把方程改寫為 (3.28) 設(shè)食x的食物是充分供給的，有一個(gè)穩(wěn)定的出生率A.x的死亡率等于單位時(shí)間

21、內(nèi)食的x成員中的死亡數(shù)與x之比.而單位時(shí)間內(nèi)食的x成員中的死亡數(shù)應(yīng)該與x及y都是成正比的，是Bxy.這是因?yàn)閮杀兜呢垖⒊缘魞杀兜氖?；鼠有兩倍就使貓有兩倍的機(jī)會(huì)遇到鼠.于是由式（3.14）得 從而得到食x滿足的微分方程:(3.29) 聯(lián)合方程(3.28)與(3.29)得到Volterra-Lotka的捕食方程: (2)考慮社會(huì)摩擦.由于考慮社會(huì)摩擦，因此要增加非線性項(xiàng)，由方程（3.30）進(jìn)而得到極限增長(zhǎng)的捕食方程：3.5邊值問題和周期解 周期邊值條件： 兩點(diǎn)邊值條件： 其中,a、bI,L、N為nn階常矩陣.與初值問題不同，一般來說，邊值問題不一定有解，即使有，也不一定唯一.但我們有下面的基本結(jié)果

22、. 定理3.5若方程組(3.3)的邊值問題僅有平凡解x=0，則對(duì)任何f(t)，方程組(3.2)的邊值問題恒有解.證明先考慮周期邊值條件.由定理3.4知，方程組(3.2)的解可表示成 (3.34) 由此知，它滿足周期邊值條件當(dāng)且僅當(dāng)向量c滿足 即 (3.35) 對(duì)于齊次方程組(3.3)，(3.35)變成 (3.36) 按假設(shè)，方程組(3.3)只有平凡解滿足周期邊值條件，即關(guān)于c的線性代數(shù)方程組(3.36)只有零解c=0，故必有 從而可由式(3.35)把c解出，代入式(3.34)便得到方程組(3.2)滿足周期邊值條件的解.假如所考慮的是兩點(diǎn)邊值條件，則代替式(3.35)和式(3.36)的分別是 和

23、其余同理.定理證完. 注3.8從定理3.5的證明可知,齊次方程組(3.3)只有零解x=0滿足周期邊值條件（兩點(diǎn)邊值條件）的充要條件是:(b)-(a)L(a)+N(b)是非奇異矩陣.下面討論方程組(3.2)的周期解.問題是：如果A(t)和f(t)都在R1上有定義，并且是周期函數(shù)，即以為周期的周期函數(shù)，這里0為某常數(shù)，那么在何種條件下，方程組(3.2)存在周期解？下述馬塞拉 (Massera,1915-2002)準(zhǔn)則給出了回答. 定理3.6若A(t)和f(t)在R1上有定義，并且是周期函數(shù)，則方程組(3.2)存在周期解的充要條件是：方程組(3.2)有一個(gè)在R1上有界的解.證明必要性是顯然的.只需證

24、明充分性.設(shè)x=x0(t)是方程組(3.2)在R1上的有界解.由A(t)和f(t)的周期性知，對(duì)任何正整數(shù)k,x0t+(k-1)是方程組(3.2)滿足初值條件x(0)=x0(k-1)的解，故由式(3.23)有其中(t)是方程組(3.3)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，特別就有 (3.37) 其中 方程組(3.2)的任何解都可由式(3.20)表示出，它是周期解，當(dāng)且僅當(dāng) 注意到(0)=E，上式就可寫成 (3.38) 假如方程組(3.2)沒有周期解，則關(guān)于c的線性代數(shù)方程組(3.38)必?zé)o解.由線性代數(shù)的知識(shí)我們知道，必存在非零向量u，使得 (3.39) (3.40) 聯(lián)合式(3.37)和式(3.39)可以證明(

25、3.41) 但由于有式(3.40),而x0(t)又是有界的，當(dāng)k充分大時(shí)，式 (3.41)不可能成立，這一矛盾就表明方程組(3.2)必有周期解.下面由式(3.37)和式(3.39)推導(dǎo)式(3.41).假設(shè)當(dāng)k=m時(shí)，式(3.41)成立.利用當(dāng)k=m+1時(shí)的式(3.37)可得 故當(dāng)k=m+1時(shí)，式(3.41)也成立.利用當(dāng)k=1時(shí)的式(3.37)容易驗(yàn)證當(dāng)k=1時(shí)，式(3.41)也成立.總之，式(3.41)對(duì)任何正整數(shù)k都成立.至此，定理證明完畢.下面給出通過建立數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題的例子。以下對(duì)兩個(gè)競(jìng)爭(zhēng)物種的情況進(jìn)行討論.兩個(gè)物種x與y競(jìng)爭(zhēng)共同的食物.設(shè)它們的增長(zhǎng)方程為 （3.42） 其中,

26、x與y的增長(zhǎng)率M與N都是非負(fù)變量x、y的函數(shù).設(shè)它們對(duì)x、y連續(xù)，有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足以下三個(gè)條件：（1）一種物種的成員數(shù)增加時(shí)另一物種的增長(zhǎng)率下降，所以 （2）任一物種的成員數(shù)過多，兩物種都不能增長(zhǎng).所以存在常數(shù)K0，使得：當(dāng)xK或yK時(shí)，有 M(x,y)0,N(x,y)0 （3）只有一個(gè)物種時(shí)，按極限增長(zhǎng).所以存在常數(shù)a0,b0，使得當(dāng)x0；當(dāng)xa時(shí)，M(x,0)0.當(dāng)y0；當(dāng)yb時(shí)，N(0,y)0.它們的求解方法讀者可參照相關(guān)書籍. 3.6高階線性方程本節(jié)討論形如 (3.43) 的n階線性微分方程，其中x,a1(t),an(t),f(t)都是區(qū)間I上的純量函數(shù).當(dāng)f(t)0時(shí)，式(3

27、.43)變成 (3.44) 它稱為階齊次線性微分方程.我們要討論它們解的結(jié)構(gòu)以及關(guān)于周期解和邊值問題的一些基本結(jié)果. 1.通解的結(jié)構(gòu) 由于引進(jìn)個(gè)未知函數(shù) 后，方程(3.43)化成等價(jià)方程組：(3.45) 這里說的等價(jià)指的是：如果x=(t)(tI)是方程(3.43)的解，則 是(3.45)的解.反之，如果 是方程組(3.45)的解，則x=1(t)是方程(3.43)的解.利用這種等價(jià)關(guān)系，容易把前幾節(jié)的結(jié)果搬到方程(3.43)和方程(3.44)上. 定理3.7設(shè)a1(t),an(t)和f(t)均在區(qū)間I上連續(xù)，則對(duì)任一t0I和任意n個(gè)常數(shù)0,1,n-1,方程(3.43)恒有定義在整個(gè)區(qū)間I上且滿足

28、初值條件 的解.此外，方程(3.43)也只能有一個(gè)解滿足此初值條件.以下我們總認(rèn)為a1(t),an(t)和f(t)均在區(qū)間I上連續(xù).引理3.6若在區(qū)間I的某點(diǎn)處，齊次線性方程(3.44)的解及其直到n-1階微商均為零，則它必在區(qū)間I上恒等于零.引理3.7(疊加原理)若x=1(t)和x=2(t)都是方程(3.44)的解，則對(duì)任意常數(shù)c1、c2,函數(shù)x=c11(t)+c22(t)都是方程(3.44)的解.如果有不全為零的常數(shù)1,m,使得(3.46) 則稱函數(shù)1(t),m(t)在區(qū)間I上線性相關(guān)，否則，要想式(3.46)成立，除非1=m=0，便稱這m個(gè)函數(shù)在區(qū)間I上線性無關(guān).引理3.8設(shè)t0I,1(

29、t),m(t)是區(qū)間I上齊次線性方程(3.44)的m個(gè)解,則解組1(t),m(t)在I上線性相關(guān)的充要條件是向量組 線性相關(guān). 定理3.8如果1(t),n(t)是方程(3.44)在區(qū)間I上的n個(gè)線性無關(guān)的解，則含任意常數(shù)c1,cn的表達(dá)式 是方程(3.44)的通解，確切地說，是方程(3.44)的全部解的共同表達(dá)式. 注3.9定理3.8表明，n階齊次線性方程(3.44)的解的全體，構(gòu)成一個(gè)n維線性空間.齊次線性方程(3.44)的任意n個(gè)線性無關(guān)的解合起來，稱為它的一個(gè)基本解組.設(shè)有n個(gè)定義在區(qū)間I上且n-1次可微的函數(shù)1(t),n(t)，由它們及其直到n-1階微商排列而成的行列式 稱為這n個(gè)函數(shù)

30、的朗斯基行列式.引理3.9(劉維爾公式)若1(t),n(t)是方程(3.44)的解，則它們的朗斯基行列式W(t)可表示為 (tI) 其中t0I可任意取定.引理3.10若x=(t)和x=(t)分別是方程(3.43)和方程(3.44)的解，則函數(shù)x=(t)+(t)是方程(3.43)的解；若x=(t)和x=(t)是方程(3.43)的解，則函數(shù)x=(t)-(t)是方程(3.44)的解. 是方程(3.43)全部解的共同表達(dá)式. 定理3.10(拉格朗日常數(shù)變易公式）設(shè)1(t),n(t)是與方程(3.43)相應(yīng)的方程(3.44)的一個(gè)基本解組.則方程(3.43)的全部解的共同表達(dá)式可以寫為 其中:c1,cn

31、是任意常數(shù);t0I可任意取定;W(t)是1(t),n(t)的朗斯基行列式;(t,s)是這樣的n階行列式：前n-1行是W(s)的前n-1行相應(yīng)元素，而第n行是W(t)第一行的相應(yīng)元素. 例3.11設(shè)1(t)、2(t)是與二階線性方程 (3.47) 相應(yīng)的齊次方程的基本解組.則(3.47)的全部解的共同表達(dá)式為 (3.48) 例3.12求解微分方程 的通解.解令y=ux，化簡(jiǎn)原方程得解得 即 例3.13解微分方程解對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 用y=Ax+Bex代入方程可待定出方程的一個(gè)特解： 所以方程的通解為 2.邊值問題和周期解因?yàn)楦唠A線性方程可以化成等價(jià)的一階線性方程組，所以關(guān)于一階線性方程組的邊值

32、問題和周期解的結(jié)論都可以通過這種等價(jià)關(guān)系轉(zhuǎn)移到高階線性方程.下面我們將針對(duì)二階線性方程 (3.49) 進(jìn)一步討論它的邊值問題和周期解以及其他相關(guān)的問題，這里a1(t)、a2(t)、f(t)都是區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù).相應(yīng)的齊次方程為 (3.50) 我們只考慮邊值條件 其中,a、bI,a0.于是，由于x(b)=0，必存在(a,b，使得 (3.52) 而由x(a)=x()=0進(jìn)而可知，存在c(a,)，使得x(c)=0.將式(3.50)的兩端同乘以 從a到c積分，注意到x(c)=0,即有 但由x(a)0,a2(t)0和式(3.52)可知，上式左端為負(fù)數(shù).這一矛盾表明：齊次方程的邊值問題式(3.50)和(

33、3.51)不可能有非平凡解存在. 為證明定理的第二部分，注意方程(3.49)與方程組 (3.53) 等價(jià)，而邊值條件式(3.51)可寫成 (3.54) 既然邊值問題式(3.50)和(3.51)只有平凡解，易見齊次方程組(3.53)也只有平凡解滿足邊值條件式(3.54)，故由定理3.5知，邊值問題式(3.53)和(3.54)對(duì)任何f(t)恒有解,從而邊值問題式(3.49)和(3.51)對(duì)任何f(t)恒有解.定理證完. (3.55) 為證第二部分，首先注意：求方程(3.49)的周期解的問題等價(jià)于求方程組(3.53)滿足邊值條件 (3.56) 的解，這是因?yàn)?，若x(t)是方程(3.49)的周期解，則

34、x(t)、y(t)=x(t)是邊值問題式(3.53)和(3.56)的解；反之，若x(t)、y(t)是邊值問題式(3.53)和(3.56)的解，則x(t)、y(t)可延拓成R1上的周期函數(shù)（仍記為x(t)、y(t)），其中的x(t)便是方程(3.49)的周期解.由此可見，方程(3.49)有周期解，當(dāng)且僅當(dāng)邊值問題式(3.53)和(3.56)有解.由于齊次方程(3.50)只有恒為零的周期解，因此與式(3.53)相應(yīng)的齊次方程組就只有平凡解滿足邊值條件式(3.56).故由定理3.5可知，邊值問題式(3.53)和(3.56)恒有解，從而方程(3.49)恒有周期解，定理證完. 下面討論二階線性方程解的零

35、點(diǎn).為此我們首先通過變換x=vu將方程(3.50)簡(jiǎn)化，這里u=u(t)是新的未知函數(shù)，v=v(t)待定.將其代入方程(3.50)得到 我們希望2v+a1(t)v=0，即只需取 這樣一來，方程(3.50)就化成下面的形式： (3.57) 由于上述的v=v(t)恒為正，因此在討論解的零點(diǎn)時(shí)，可以代替方程(3.50)而考慮形如式(3.57)的方程.我們將通過與另一方程 (3.58) 的解進(jìn)行比較來考察方程(3.57)的解的零點(diǎn)的分布.總假設(shè)函數(shù)P(t)、Q(t)在區(qū)間I上連續(xù). 由式(3.57)和式(3.58),我們有 從t1到積分上式，得到 (3.59) 則對(duì)任何連續(xù)的2周期函數(shù)f(t)恒存在2

36、周期解.證明只需證明第一部分，因?yàn)榈诙糠謱?shí)際上在定理3.12中已經(jīng)證明過.假設(shè)方程(3.57)有2周期解x(t).將x(t)與方程 (3.60) 的任何解進(jìn)行比較，根據(jù)定理3.13，首先可斷言x(t)有零點(diǎn)，記為t0.因?yàn)閤(t)，必有x(t0)0.不妨設(shè)x(t0)0. 然而由x(t)的2周期性，應(yīng)有 3.7線性微分方程的一些求解方法 1.適當(dāng)?shù)淖儞Q最自然的一種想法是，通過自變量或未知函數(shù)的適當(dāng)?shù)淖儞Q，將方程化簡(jiǎn)為可以求解或易于求解的形式.下面舉例說明如何靈活地作變換以達(dá)到這樣的目的.假設(shè)給了下面的方程: (3.61) 如果方程的階數(shù)n=1，則其通解可以毫無困難地求得.一般說來，方程的階越高

37、，求解就越困難.自然會(huì)想到：通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，比如通過形如 (3.62) 的變換，將方程的階降低，這里(t)是待定的函數(shù).將式(3.62)代入式(3.61),得到 (3.63) 其中 (3.64) 其中綜上所述，假如已經(jīng)求得方程(3.61)對(duì)應(yīng)的齊次方程的一個(gè)非平凡解，則通過變換方程(3.62)可將解方程(3.61)的問題歸結(jié)為解低一階的方程(3.64).這種方法就稱為降階法.以二階線性方程 (3.65) 為例，假如已知對(duì)應(yīng)的齊次方程的一個(gè)非平凡解(t)，則經(jīng)過變換方程(3.62)后，得到 (3.66) 即（在使(t)0的任何區(qū)間上） 是一個(gè)一階線性方程，容易求出它的通解為 再積分一次就得到原方

38、程的通解. 例3.14解方程 解容易看出，它有特解x=t.于是作變換x=ty將方程化成 解之得以上所述降階法是選取(t)為原方程的齊次方程的解，使得經(jīng)變換式(3.62)后的方程中新的未知函數(shù)項(xiàng)y(t)的系數(shù)bn(t)為零，這樣就達(dá)到了降階的目的.我們也可以選取(t)，使得經(jīng)變換式(3.62)后的方程中其他某項(xiàng)的系數(shù)為零，以期將方程化簡(jiǎn)為便于求解的形式.當(dāng)原方程的齊次方程的非平凡特解不易求得時(shí)，可以采取這種方法.以二階方程(3.65)為例，假如(t)不是它對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，則經(jīng)變換式(3.62)后的方程 中y的系數(shù)就不是零.這時(shí)我們可選取(t)，使得的系數(shù)為零，即 (3.67) 例3.15解方

39、程 解不容易找到它的非平凡解，故無法用降階法.試選取 則方程簡(jiǎn)化成式(3.67)的形狀，其中的恰好是常數(shù)1，而常系數(shù)線性方程 的通解很容易求出（見第4章）.例3.16已知一曲線的曲率恒為(R為常數(shù))，試求此曲線的方程.解由題意知：令y=u，則y=u代入得 下面再考慮一種線性方程: (3.68) 這樣的方程直接求解是很困難的，但是經(jīng)過自變量的變換 (3.69) (3.70) 例3.17解方程 解由于我們限于求t0時(shí)方程的解，因此，作自變量的變換 于是利用公式(3.70)得到 即它的通解很容易求出（見第4章）. 2.冪級(jí)數(shù)解法冪級(jí)數(shù)解法適用于廣泛的一類方程.下面以二階線性方程: (3.71) 為例

40、來介紹這種方法.假設(shè)a(t)和b(t)都在t=t0附近是解析的，即在t=t0附近可展成t-t0的冪級(jí)數(shù)： (3.72) 可以證明：對(duì)任意的x0、x0，方程(3.71)都在t=t0附近有滿足初值條件: (3.73) 的解析解，即存在函數(shù)x=x(t)，它滿足初值條件式(3.73)，并且在t=t0附近可展成冪級(jí)數(shù)： (3.74) 證明的方法是：設(shè)想初值問題式(3.71)和(3.73)的解x(t)在t=t0附近可展成式(3.74).將a(t)、b(t)和x(t)的展式代入方程(3.71)的左端，形式地逐項(xiàng)取微商，經(jīng)整理，便得到一個(gè)冪級(jí)數(shù).然后讓它每一項(xiàng)的系數(shù)都等于零，便得到一系列聯(lián)系著ck(k=0,1

41、,)和ak、bk(k=0,1,)的代數(shù)關(guān)系式.利用這些關(guān)系式和初值條件式(3.73)，我們可依次將ck(k=0,1,)通過x0、x0和ak、bk(k=0,1,)加以確定.確定了系數(shù)ck(k=0,1,)，也就確定了冪級(jí)數(shù)式(3.74).可以證明：這樣確定出的冪級(jí)數(shù)式(3.74)在t=t0附近是收斂的. 這一點(diǎn)一經(jīng)證明，我們就可以斷定：由這一冪級(jí)數(shù)式(3.74)表示的解析函數(shù)x=x(t)在t=t0附近一定是初值問題式(3.71)和(3.73)的解.這是因?yàn)?，冪?jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)可以逐項(xiàng)取微商任意多次，由系數(shù)ck(k=0,1,)的確定方式可知，將x=x(t)的表達(dá)式（連同a(t)、b(t)的表達(dá)式(3

42、.72)代入方程(3.71)的左端后必恒等于零.對(duì)于滿足初值問題式(3.73)，根據(jù)系數(shù)c0、c1的取法也是明顯的.在這里，我們不準(zhǔn)備對(duì)一般的方程(3.71)來證明按上述方式確定的冪級(jí)數(shù)式(3.74)在t=t0附近的收斂性，因?yàn)樵诤竺?，我們將?duì)更一般的方程給出這一論斷的證明. 例3.18在t=0附近求解勒讓德(Legendre,1752-1833)方程: (3.75) 其中是常數(shù).解顯然在t=0附近，方程的系數(shù)都是解析的.將 代入(3.75),得 把左端的同冪項(xiàng)合在一起，并令各項(xiàng)的系數(shù)為零，得到下列關(guān)系式: 由此得 于是當(dāng)m=1,2,時(shí) 取c0=1,c1=0和c0=0，c1=1,分別得到 (3

43、.76) 利用達(dá)朗貝爾(DAlembert,1717-1783)判別法容易證明，這兩個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為1.因此，由它們定義的兩個(gè)函數(shù)在|t|1上都是方程(3.75)的解.由c0、c1的取法知，x1(0)=1,x1(0)=0,x2(0)=0，x2(0)=1,所以x1(t)與x2（t)線性無關(guān)，因而方程(3.75)的通解為 假如a(t)、b(t)在t=t0的鄰域內(nèi)不是解析的，比如 其中p(t)、q(t)都是t=t0的某鄰域內(nèi)的解析函數(shù)，則我們可試求方程(3.71)的如下形狀的級(jí)數(shù)解:其中,和ck(k=0,1,)都是待定常數(shù)，c00. 例3.19在t=0附近解貝塞爾(Bessel,1784-1846)方程: (3.77) 其中為非負(fù)實(shí)數(shù) .解 令(3.78) 把它代入方程(3.77),得 合并同冪項(xiàng)，并令各項(xiàng)系數(shù)為零，就給出 因?yàn)閏00，所以由第一個(gè)方程