1、 TOC o 1-5 h z第六章彎曲變形2 HYPERLINK l bookmark6 61彎曲變形基本概念2一、梁的撓曲軸2二、撓度、轉(zhuǎn)角2三、撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系2 HYPERLINK l bookmark40 62撓曲線的微分方程3 HYPERLINK l bookmark52 63用積分法求梁彎曲變形464用疊加法求梁彎曲變形5一、疊加法原理5二、疊加法的應(yīng)用5 HYPERLINK l bookmark128 65簡(jiǎn)單靜不定問(wèn)題7 HYPERLINK l bookmark132 66梁的剛度條件8一、梁的剛度條件8二、提高彎曲剛度的措施8、亠第六章彎曲變形61彎曲變形基本概念fInilr

2、|斗w;T-L一、梁的撓曲軸在外力作用下，受彎后梁的軸線變?yōu)橐粭l連續(xù)光滑的曲線。二、撓度、轉(zhuǎn)角1.撓度、轉(zhuǎn)角撓度：梁橫截面的形心在垂直于軸線方向的位移轉(zhuǎn)角：梁橫截面繞其中性軸所轉(zhuǎn)的角位移。撓度、轉(zhuǎn)角正負(fù)規(guī)定撓度正負(fù)規(guī)定：撓度與坐標(biāo)軸正向一致取正，反之取負(fù)。轉(zhuǎn)角正負(fù)規(guī)定：轉(zhuǎn)角順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎鏁r(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)樨?fù)。三、撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系撓曲線方程：v=v(x)。撓曲軸是撓曲線方程的函數(shù)曲線2.轉(zhuǎn)角方程：0=6(x)3.撓曲線上任點(diǎn)斜率tan0=-dx在小撓度情況下，。很小(不超過(guò)1或00175rad)0=tan0所以，0(x)=X)=v(x)dx62撓曲線的微分方程梁在純彎曲情況下的曲率公式a)1_M廠E

3、Ih對(duì)于跨度1遠(yuǎn)大于高度h的細(xì)長(zhǎng)梁(-10)，剪力對(duì)于彎曲變形的影響不計(jì),VM和P皆為x的函數(shù)，所以1_M(x)P(x)_EI從幾何關(guān)系上看，平面曲線的曲率又有表達(dá)式d2vdx21+()2dxd2v0,dx2當(dāng)M(x)為正時(shí)，梁的繞曲線向下凹,當(dāng)M(x)為負(fù)時(shí)，梁的繞曲線向上凸,d2v0dx2x由彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定和本章所取坐標(biāo)系，得：d2vdx2dvdx)2M(x)EI，b)c)在小變形條件下，梁的轉(zhuǎn)角很小，所以得d2v_M(x)dx2EI近似微分方程適用于彈性范圍內(nèi)小撓度平面彎曲63用積分法求梁彎曲變形撓曲線近似微分方程：d2v_M(x)dx2El將撓曲線近似微分方程相繼兩次積分得：轉(zhuǎn)角方程

4、：dv0_-dx撓曲線方程：V_-FJJ(M(X)dx)dx+Cx+DEI積分常數(shù)由支承條件(邊界的轉(zhuǎn)角和撓度已知)和連續(xù)條件(撓曲線連續(xù)光滑)確定。例題：如圖所示為一懸臂梁，EI=常數(shù)，在其自由端受一集中力F的作用，試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大的撓度和最大轉(zhuǎn)角。解：1.建立撓曲線微分方程并積分梁的彎矩方程：M_-F(l-x)梁的微分方程：EIv_-M_F(/-x)FFFl積分得：EI0_-X2+Fix+C,EIv_-一X3+x2+Cx+D262確定積分常數(shù)梁的邊界條件為：在固定端A處轉(zhuǎn)角和撓度等于零，即：x_0,0_0,x_0,v_0AA解得：C_EI0_0,D_EIv_0A

5、A確定撓曲線、轉(zhuǎn)角方程并求最大轉(zhuǎn)角，最大撓度F1F0_(x2lx)，v_(x33lx3)EI26EI梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角均在梁的自由端截面B處，將x_l代數(shù)上式,得：Fl20=max2EIFl3v=max3EI()(J)64用疊加法求梁彎曲變形一、疊加法原理梁材料服從胡克定律下的小變形，幾種載荷共同作用產(chǎn)生的變形等于各載荷單獨(dú)作用產(chǎn)生變形的代數(shù)和。y=kQ=k(Q+Q+Q=kQ+kQ+kQ=y+y+y12n1二、疊加法的應(yīng)用1.外伸梁2.荷載點(diǎn)不在端點(diǎn)的懸臂梁+例題：1、簡(jiǎn)支梁上作用均布載荷q以及集中力偶m二ql2,EI二常數(shù)，試用疊加法求梁跨中截面的撓度及兩端截面A、B的轉(zhuǎn)角。m二ql2解

6、：(1)均布載荷q單獨(dú)作用下，查表得:(vC)q5ql4384EI(0)=-(0)=AqBqql324EI(2)集中力偶m單獨(dú)作用下，查表得：ml2ql4VCm_肓mlql3(9)=Bmml_ql36EI-6EI(3)疊加以上結(jié)果，得：VC=(VC)q+(VC)5ql25ql2=29ql4384EI9=(9)+(9)AAqAmm384EI384EIql3ql3+丄9ql324EI3EI24EIql3ml5ql324EI6EI24EI9=(9)+(9)=BBqBm1F12.如圖a所示截面外伸梁，EI=常數(shù)。使用疊加法求截面B的轉(zhuǎn)角和端點(diǎn)C的撓度。F2+vC2(1)分析簡(jiǎn)支梁AB的變形Fal13E

7、I(9)Bmml3EI，(9B)F2Fl2216EIa)解：AC梁的彈性變形可分解為簡(jiǎn)支梁AB的彈性變形和BC段的彈性變形。C點(diǎn)的撓度就是這兩種變形引起的位移之和：vC=vC1疊加得截面B的轉(zhuǎn)角為：Fali3EIFl2c16EI(2)分析懸臂梁BC的變形由于AB梁的截面B轉(zhuǎn)到了9,原固結(jié)于懸臂梁BC也整體轉(zhuǎn)到了9,則由BB9引起相應(yīng)的C點(diǎn)的撓度為：BFa2lFal2v=a9=C1B13EI16EI原有F作用下引起懸臂梁BC的端點(diǎn)C的撓度為:v=C2Fa31Fa2Fal21一(a+1)-t(3EI16EI3EIC點(diǎn)的撓度應(yīng)有v和v疊加得v=v+vC1C2CC1C3、如圖所示懸臂梁在BC段承受均布

8、載荷q的作用，EI=常數(shù)。試用疊加法確定自由端C的撓度和轉(zhuǎn)角。65簡(jiǎn)單靜不定問(wèn)題梁的約束力的個(gè)數(shù)超過(guò)了靜力平衡方程數(shù)目，即成為超靜定梁。在超靜定梁中，凡是多于維持平衡所必須的約束稱(chēng)為多余約束，其相應(yīng)的約束力稱(chēng)為多余約束力。多余約束力的數(shù)目就是超靜定的次數(shù)。為求解超靜定梁，除建立平衡方程外，還應(yīng)利用變形協(xié)調(diào)條件以及力與位移之間的關(guān)系建立補(bǔ)充方程。以圖中超靜定梁為例，設(shè)想B支座為多余約束，解除B支座并用約束力FBy代替，這樣得到的靜定梁稱(chēng)為原超靜定梁的相當(dāng)系統(tǒng)。相當(dāng)系統(tǒng)在均布載荷q和未知力F的作用下發(fā)生變形，應(yīng)與原超靜定梁的By變形完全一致，這就是變形協(xié)調(diào)條件。 Fl33iBlr=0，即FBy飛qlql4由于B段沒(méi)有豎向位移，所以Vb=VBi+VB2=8EI再由平衡條件得：FAy=8ql,叮普66梁的剛度條件一、梁的剛度條件工程中的受彎構(gòu)件，除了應(yīng)滿(mǎn)足強(qiáng)度條件要求外，還應(yīng)限制最大撓度或最大轉(zhuǎn)角不超過(guò)某一規(guī)定數(shù)值，這就是剛度條件：VpleJmax許用撓