1、概率方法在討論其它數(shù)學(xué)問題中的一些應(yīng)用摘要20世紀以來，由機會游戲起源的概率論飛速發(fā)展，并廣泛應(yīng)用于各個工程技術(shù)學(xué)科和社會學(xué)科。概率論也發(fā)展成為一門與實際緊密相連的理論嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)科學(xué)。其內(nèi)容豐富，結(jié)論深刻，趣味性濃厚，有自己獨特的概念和方法，已成為數(shù)學(xué)的一個有特色的分支。本文利用概率論的方法和工具來解決初等代數(shù)和數(shù)學(xué)分析中的一些問題，如：組合恒等式、不等式的證明；級數(shù)、積分和極限中的應(yīng)用。從中可以看到概率與其它數(shù)學(xué)的聯(lián)系以及用概率思想解決數(shù)學(xué)問題的有趣與美妙之處。應(yīng)用的基本思想是：根據(jù)所要解決的數(shù)學(xué)問題，首先構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ?，讓后利用概率論的性質(zhì)、公式及定理解決問題。從而使問題的解決方法

2、與過程變得直觀、簡潔、清晰。關(guān)鍵詞：概率方法；組合恒等式；不等式；級數(shù)；積分1引言1.1課題的背景和意義近年來，從事數(shù)學(xué)教學(xué)的工作者在其數(shù)學(xué)觀上發(fā)生了或者正在發(fā)生著深刻的變化，“數(shù)學(xué)=邏輯”的狹隘觀念得到了相當(dāng)程度的糾正，發(fā)展純粹數(shù)學(xué)，證明數(shù)學(xué)定理固然重要，但是應(yīng)用數(shù)學(xué)手段解決實際問題顯得更有意義和價值?？梢韵胂?1世紀，數(shù)學(xué)將廣泛的應(yīng)用到社會生活的每一個角落。在此大背景之下，探討和掌握數(shù)學(xué)這門學(xué)科的思想和方法，以便將其應(yīng)用，形成當(dāng)前數(shù)學(xué)教育的熱點。概率論是在尋求解決社會日常生活中的一類隨機現(xiàn)象發(fā)生的概率問題過程中形成自身一整套嚴密的知識體系，在理論上研究探索隨機現(xiàn)象發(fā)生的統(tǒng)計規(guī)律，同時應(yīng)用自

3、身豐富的內(nèi)容和嚴謹?shù)睦碚搧硖接懡鉀Q實踐中的問題，又在具體實踐問題的探索中發(fā)現(xiàn)和建立新的概率模型，以此豐富概率論這門學(xué)科。近年來數(shù)學(xué)上的許多重大突破，絕大多數(shù)反應(yīng)了數(shù)學(xué)的各分支學(xué)科之間的相互交叉和滲透，數(shù)學(xué)發(fā)展日益表現(xiàn)出內(nèi)在的統(tǒng)一性。概率論以其研究對象隨機現(xiàn)象的普遍性，從而在科學(xué)技術(shù)工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和其它學(xué)科如物理、生物等各方面具有極其廣泛的應(yīng)用，但作為數(shù)學(xué)的一門有特色的分支學(xué)科，它本身又與數(shù)學(xué)的其它分支學(xué)科緊密聯(lián)系。本文應(yīng)用概率論的基本概念，性質(zhì)和概率模型等有關(guān)思想方法證明一些數(shù)學(xué)問題，從中感悟數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性，同時在思維和意識上取得一種進步。1.2關(guān)于用概率方法解決數(shù)學(xué)問題的模式簡介為了要用概率方法計

4、算某些量，先要構(gòu)造出概率模型（如隨機變量，隨機向量等），使該模型中的若干數(shù)字特征（如事件的概率、數(shù)學(xué)期望、數(shù)學(xué)方差等），恰好等于所要計算的量，而這些數(shù)字特征又可以通過實驗，統(tǒng)計方法求出它們的估值，于是就可以把這些估值作為所求量的近似值，從而得出對所求量的近似值或范圍估計。在等式與不等式、極限、級數(shù)的證明與計算中，通過構(gòu)造概率模型，使模型的概率性質(zhì)與所要證明或求解的式子相同或類似，再利用概率的性質(zhì)來證明題設(shè)的成立。以下本文就應(yīng)用概率方法對一些數(shù)學(xué)問題進行證明求解，使大家能比較明確的看到概率方法使用的必要及優(yōu)點。2概率的發(fā)展2.1概率的歷史17、18世紀，數(shù)學(xué)獲得了巨大的進步。數(shù)學(xué)家們沖破了古希臘

5、的演繹框架，向自然界和社會生活的多方面汲取靈感，數(shù)學(xué)領(lǐng)域出現(xiàn)了眾多嶄新的生長點，而后都發(fā)展成完整的數(shù)學(xué)分支。除了分析學(xué)這一大系統(tǒng)之外，概率論就是這一時期使歐幾里得幾何相形見絀的若干重大成就之一。2.2概率論的起源概率論是一門研究隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律學(xué)科。它起源于對賭博問題的研究。早在16世紀，意大利學(xué)者卡丹與塔塔里亞等人就已從數(shù)學(xué)角度研究過賭博問題。他們的研究除了賭博外還與當(dāng)時的人口、保險業(yè)等有關(guān)，但由于卡丹等人的思想未引起重視，概率概念的要旨也不明確，于是很快被人淡忘了。概率概念的要旨只是在17世紀中葉法國數(shù)學(xué)家帕斯卡與費馬的討論中才比較明確。他們在往來的信函中討論合理分配賭注問題。該問題可以

6、簡化為：甲、乙兩人同擲一枚硬幣。規(guī)定：正面朝上，甲得一點；若反面朝上，乙得一點，先積滿3點者贏取全部賭注。假定在甲得2點、乙得1點時，賭局由于某種原因中止了，問應(yīng)該怎樣分配賭注才算公平合理。帕斯卡：若在擲一次，甲勝，甲獲全部賭注，兩種情況可能性相同，所以這兩種情況平均一下；乙勝，甲、乙平分賭注 甲應(yīng)得賭金的3/4，乙得賭金的1/4。費馬：結(jié)束賭局至多還要2局，結(jié)果為四種等可能情況：情況：結(jié)果 ：甲甲甲乙乙甲乙乙前3種情況，甲獲全部賭金，僅第四種情況，乙獲全部賭注。所以甲分得賭金的3/4，乙得賭金的1/4。帕斯卡與費馬用各自不同的方法解決了這個問題。雖然他們在解答中沒有明確定義概念，但是，他們定

7、義了使某賭徒取勝的機遇，也就是贏得情況數(shù)與所有可能情況數(shù)的比，這實際上就是概率，所以概率的發(fā)展被認為是從帕斯卡與費馬開始的。2.3概率論在實踐中曲折發(fā)展在概率問題早期的研究中，逐步建立了事件、概率和隨機變量等重要概念以及它們的基本性質(zhì)。后來由于許多社會問題和工程技術(shù)問題，如：人口統(tǒng)計、保險理論、天文觀測、誤差理論、產(chǎn)品檢驗和質(zhì)量控制等。這些問題的提法，均促進了概率論的發(fā)展，從17世紀到19世紀，貝努利、隸莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切貝謝夫、馬爾可夫等著名數(shù)學(xué)家都對概率論的發(fā)展做出了杰出的貢獻。在這段時間里，概率論的發(fā)展簡直到了使人著迷的程度。但是，隨著概率論中各個領(lǐng)域獲得大量成果，以及概率

8、論在其他基礎(chǔ)學(xué)科和工程技術(shù)上的應(yīng)用，由拉普拉斯給出的概率定義的局限性很快便暴露了出來，甚至無法適用于一般的隨機現(xiàn)象。因此可以說，到20世紀初，概率論的一些基本概念，諸如概率等尚沒有確切的定義，概率論作為一個數(shù)學(xué)分支，缺乏嚴格的理論基礎(chǔ)。2.4概率論理論基礎(chǔ)的建立概率論的第一本專著是1713年問世的雅各貝努利的推測術(shù)。經(jīng)過二十多年的艱難研究，貝努利在該樹種，表述并證明了著名的大數(shù)定律。所謂大數(shù)定律，簡單地說就是，當(dāng)實驗次數(shù)很大時，事件出現(xiàn)的頻率與概率有較大偏差的可能性很小。這一定理第一次在單一的概率值與眾多現(xiàn)象的統(tǒng)計度量之間建立了演繹關(guān)系，構(gòu)成了從概率論通向更廣泛應(yīng)用領(lǐng)域的橋梁。因此，貝努利被稱

9、為概率論的奠基人。為概率論確定嚴密的理論基礎(chǔ)的是數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫。1933年，他發(fā)表了著名的概率論的基本概念，用公理化結(jié)構(gòu)，這個結(jié)構(gòu)明確定義了概率論發(fā)展史上的一個里程碑，為以后的概率論的迅速發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。3概率方法在討論其它數(shù)學(xué)問題中的一些應(yīng)用3.1概率方法在不等式證明中的應(yīng)用不等式的證明是一個難點，它的形式多種多樣，如果能針對不等式的具體形式，構(gòu)造相應(yīng)的概率模型，然后利用概率的方法去解決，能使問題簡單些。例1 設(shè),試證證明設(shè)A，B，C，D是相互獨立的事件，其概率依次為a，b，c，d，由事件之間的關(guān)系知：()()=由概率的單調(diào)性有pP注意到A,B,C,D的獨立性有P（）P()(1)又由概率

10、的加法公式有P（）=+=(2)同理有（3）（4）把（2）（3）（4）代入（1）式得得證例2利用事件的獨立性及加法公式證明不等式設(shè)d 為正數(shù)a，b，c中最大的求證證明設(shè)A,B,C是三個相互獨立的事件，令顯然，根據(jù)概率加法公式及事件的獨立性;=又因為所以0）解 為求此級數(shù)的和，我們構(gòu)造如下概率模型：設(shè)隨機試驗E只有兩個基本事件A和，現(xiàn)重復(fù)做n次試驗，在第k次試驗中A出現(xiàn)的概率為，出現(xiàn)的概率為，（k=1,2,3n）設(shè)表示“事件A在第i次試驗中出現(xiàn)”（i=1,2,3n）則有+=（1）即（2）故可根據(jù)，取不同值，來求級數(shù)的和。（i=1,2n，）則由（1）（2）可得：=即從而=3.4概率方法在積分中的應(yīng)用

11、除了用一些常用的積分公式和分離變量法對積分求解，還可以用概率方法。積分的求解在一個區(qū)間或區(qū)域中進行，首先要考慮分布已知的連續(xù)型隨機變量，隨機變量的取值應(yīng)該與積分的區(qū)間或區(qū)域相對應(yīng)，然后構(gòu)造連續(xù)型隨機變量，最后根據(jù)連續(xù)型隨機變量概率密度的規(guī)范性及其它性質(zhì)、定理求解即得。例1 求解解 設(shè)連續(xù)型隨機變量，其概率密度為，利用概率密度的規(guī)范性，有所以=例2求的值解由概率論知識可知（標準正態(tài)分布）在上式中可令則所以固有即也即從而由對稱性得4總結(jié)從本文我們可以看到概率方法廣泛地應(yīng)用于各種數(shù)學(xué)等式、不等式、極限、級數(shù)的計算與證明，這只是概率方法應(yīng)用的一個側(cè)面，其實概率方法還有很多應(yīng)用，還可以用來解決別的學(xué)科的

12、問題，而且在某些情況下，用概率方法來解決問題要比用代數(shù)方法更巧妙，更簡捷。但是用概率方法解決問題時，必須建立適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ?，將?shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為概率問題，然后應(yīng)用概率的性質(zhì)定理加以解決。利用概率方法解決某些數(shù)學(xué)問題，過程簡明了，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)分支之間的聯(lián)系，同時使抽象的數(shù)學(xué)問題在現(xiàn)實生活中找到具體的模型。單純地照搬模型比較容易，難的是在實際問題中簡化條件提煉出恰當(dāng)?shù)碾S即模型，把具體問題和概率論的思想方法巧妙地結(jié)合起來，我們稱之為概率思維。學(xué)習(xí)概率論的一個目的就是要鍛煉概率思維。通過總結(jié)，對概率方法在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用可歸結(jié)為以下幾個步驟：（1）對于所要解決的數(shù)學(xué)問題，進行仔細觀察和分析；（2）構(gòu)造

13、適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ停唬?）利用構(gòu)造的概率模型解決問。參考文獻1 熊桂武，概率方法在不等式證明中的應(yīng)用J，重慶師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2003，20，（04）2 賈兆麗，概率方法在數(shù)學(xué)證明中的應(yīng)用J，安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2002，（01）3 胡學(xué)平，概率方法在分析中的若干應(yīng)用J，高等數(shù)學(xué)研究，2007，10（01）4 李智明，概率方法在其它數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用J，新疆大學(xué)學(xué)報，（自然科學(xué)版），2007，26（04）5 魏宗舒，概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程M,高等教育出版社1983（01）,1176 張光遠，概率方法在證明不等式中的應(yīng)用J，新疆大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）1995，（04）7 張愛武，數(shù)學(xué)分析中一些問

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