1、 數(shù)列知識點題型措施總復習一數(shù)列的概念：數(shù)列是一種定義域為正整數(shù)集N*（或它的有限子集1,2，3，n）的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。如（1）已知，則在數(shù)列的最大項為_（）；（2）數(shù)列的通項為，其中均為正數(shù)，則與的大小關(guān)系為_（）；（3）已知數(shù)列中，且是遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范疇（）；（4）一給定函數(shù)的圖象在下圖中，并且對任意，由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足，則該函數(shù)的圖象是（A） A B C D二等差數(shù)列的有關(guān)概念：1等差數(shù)列的判斷措施：定義法或。如設(shè) 是等差數(shù)列，求證：以bn= 為通項公式的數(shù)列為等差數(shù)列。2等差數(shù)列的通項：或。如(1)等差數(shù)列中，則通項；（2）首項為-24的等差

2、數(shù)列，從第10項起開始為正數(shù)，則公差的取值范疇是_3等差數(shù)列的前和：，。如（1）數(shù)列 中，前n項和，則，；（2）已知數(shù)列 的前n項和，求數(shù)列的前項和（答：）.4等差中項：若成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項，且。提示：（1）等差數(shù)列的通項公式及前和公式中，波及到5個元素：、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其他2個，即知3求2。（2）為減少運算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為，（公差為）；偶數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為，,（公差為2）三等差數(shù)列的性質(zhì)：1當公差時，等差數(shù)列的通項公式是有關(guān)的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是有關(guān)的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.2若公差，則

3、為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。3當時,則有，特別地，當時，則有如（1）等差數(shù)列中，則_27_（2）在等差數(shù)列中，且，是其前項和，則BA、都不不小于0，都不小于0 B、都不不小于0，都不小于0C、都不不小于0，都不小于0 D、都不不小于0，都不小于04若、是等差數(shù)列，則、 (、是非零常數(shù))、 ，也成等差數(shù)列，而成等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，且，則是等差數(shù)列. 如等差數(shù)列的前n項和為25，前2n項和為100，則它的前3n和為 225 。5在等差數(shù)列中，當項數(shù)為偶數(shù)時，；項數(shù)為奇數(shù)時，（這里即）；。如（1）在等差數(shù)列中，S1122，則_2_（2）項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列中，奇

4、數(shù)項和為80，偶數(shù)項和為75，求此數(shù)列的中間項與項數(shù)（答：5；31）.6若等差數(shù)列、的前和分別為、，且，則 .如設(shè)與是兩個等差數(shù)列，它們的前項和分別為和，若，那么_（答：）7“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項和的最大值是所有非負項之和；“首負”的遞增等差數(shù)列中，前項和的最小值是所有非正項之和。法一：由不等式組擬定出前多少項為非負（或非正）；法二：因等差數(shù)列前項是有關(guān)的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。上述兩種措施是運用了哪種數(shù)學思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項嗎？如（1）等差數(shù)列中，問此數(shù)列前多少項和最大？并求此最大值。（答：前13項和最大，最大值為

5、169）；（2）若是等差數(shù)列，首項，則使前n項和成立的最大正整數(shù)n是 （答：4006）8如果兩等差數(shù)列有公共項，那么由它們的公共項順次構(gòu)成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù). 注意：公共項僅是公共的項，其項數(shù)不一定相似，即研究.四等比數(shù)列的有關(guān)概念：1等比數(shù)列的判斷措施：定義法，其中或。如（1）一種等比數(shù)列共有項，奇數(shù)項之積為100，偶數(shù)項之積為120，則為_（答：）；（2）數(shù)列中，=4+1 ()且=1，若 ，求證：數(shù)列是等比數(shù)列。2等比數(shù)列的通項：或。如設(shè)等比數(shù)列中，前項和126，求和公比. （答：，或2）3等比數(shù)列的前和：當時，；當時，。如（1）等比數(shù)列

6、中，2，S99=77，求=44（2）的值為_（答：2046）；特別提示：等比數(shù)列前項和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前項和時，一方面要判斷公比與否為1，再由的狀況選擇求和公式的形式，當不能判斷公比與否為1時，要對分和兩種情形討論求解。4等比中項：若成等比數(shù)列，那么A叫做與的等比中項。提示：不是任何兩數(shù)均有等比中項，只有同號兩數(shù)才存在等比中項，且有兩個。如已知兩個正數(shù)的等差中項為A，等比中項為B，則A與B的大小關(guān)系為_（答：AB）提示：（1）等比數(shù)列的通項公式及前和公式中，波及到5個元素：、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其他2個，即知3求2；（2）為減少運算

7、量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等比，可設(shè)為，（公比為）；但偶數(shù)個數(shù)成等比時，不能設(shè)為，因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時才可如此設(shè)，且公比為。如有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個成等比數(shù)列，且第一種數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12，求此四個數(shù)。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）等比數(shù)列的性質(zhì)：1.當時，則有，特別地，當時，則有.如（1）在等比數(shù)列中，公比q是整數(shù)，則=_（答512）；（2）各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則 102.若是等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列；若成等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列； 若是等比數(shù)列，且公比，則數(shù)列 ，也是等比數(shù)列。當，且為偶數(shù)時，數(shù)

8、列 ，是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列. 如（1）已知且，設(shè)數(shù)列滿足，且，則. （答：）；（2）在等比數(shù)列中，為其前n項和，若，則的值為_（答：40）3.若，則為遞增數(shù)列；若, 則為遞減數(shù)列；若 ，則為遞減數(shù)列；若, 則為遞增數(shù)列；若，則為擺動數(shù)列；若，則為常數(shù)列.4.當時，這里，但，這是等比數(shù)列前項和公式的一種特性，據(jù)此很容易根據(jù)，判斷數(shù)列與否為等比數(shù)列。如若是等比數(shù)列，且，則 （答：1）5. .如設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項和為，若成等差數(shù)列，則的值為_（答：2）6.在等比數(shù)列中，當項數(shù)為偶數(shù)時，；項數(shù)為奇數(shù)時，.7.如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列僅是此數(shù)列既

9、成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充足條件。如設(shè)數(shù)列的前項和為（）， 有關(guān)數(shù)列有下列三個命題：若，則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；若，則是等差數(shù)列；若，則是等比數(shù)列。這些命題中，真命題的序號是 （答：）五.數(shù)列的通項的求法：類型一：（）（構(gòu)造法）：設(shè)，即得，數(shù)列是覺得首項、為公比的等比數(shù)列，則，即。例1 已知數(shù)列滿足且，求數(shù)列的通項公式。解： （構(gòu)造法）：設(shè)，即，數(shù)列是覺得首項、為公比的等比數(shù)列，則，即。類型二： （疊加法）：，依次類推有：、，將各式疊加并整頓得，即。例2 已知，求。解： （疊加法）：，依次類推有：、，將各式疊加并整頓得，。類型三： （疊乘法）：，依次類推有：、，將各式疊乘并整頓得，即

10、。例3 已知，求。解： （疊乘法）：，依次類推有：、，將各式疊乘并整頓得，即。類型四： 分析：原遞推式可化為的形式，比較系數(shù)可求得，數(shù)列為等比數(shù)列。例11 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè)比較系數(shù)得或，不妨取，（取-3 成果形式也許不同，但本質(zhì)相似）則，則是首項為4，公比為3的等比數(shù)列，因此類型五： （）思路（構(gòu)造法）：，設(shè)，則，從而解得。那么是覺得首項，為公比的等比數(shù)列。例5 已知，求。解：設(shè)，則，解得，是覺得首項，為公比的等比數(shù)列，即，。類型六： （且）思路（轉(zhuǎn)化法）：，遞推式兩邊同步除以得，我們令，那么問題就可以轉(zhuǎn)化為類型二進行求解了。例6 已知，求。解：，式子兩邊同步除以得，令，

11、則，依此類推有、，各式疊加得，即。類型七： （）思路（轉(zhuǎn)化法）：對遞推式兩邊取對數(shù)得，我們令，這樣一來，問題就可以轉(zhuǎn)化成類型一進行求解了。例7 已知，求。解：對遞推式左右兩邊分別取對數(shù)得，令，則，即數(shù)列是覺得首項，為公比的等比數(shù)列，即，因而得。類型八：（）思路（轉(zhuǎn)化法）：對遞推式兩邊取倒數(shù)得，那么，令，這樣，問題就可以轉(zhuǎn)化為類型一進行求解了。例8 已知，求。解：對遞推式左右兩邊取倒數(shù)得即，令則。設(shè)，即，數(shù)列是覺得首項、為公比的等比數(shù)列，則，即，。類型九： 特性根法1、形如是常數(shù)）的數(shù)列 形如是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特性根法求得通項，其特性方程為 若有二異根，則可令是待定常數(shù)） 若有二重根，

12、則可令是待定常數(shù)） 再運用可求得，進而求得例1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項解：其特性方程為，解得，令，由，得， 例2已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項解：其特性方程為，解得，令，由，得， 二、形如的數(shù)列 對于數(shù)列，是常數(shù)且） 其特性方程為，變形為 若有二異根，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值。 這樣數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，于是這樣可求得 若有二重根，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值。 這樣數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，于是這樣可求得例3已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項解：其特性方程為，化簡得，解得，令 由得，可得，數(shù)列是覺得首項，覺得公比的等比數(shù)列，例4已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通

13、項解：其特性方程為，即，解得，令 由得，求得，數(shù)列是覺得首項，覺得公差的等差數(shù)列，六.數(shù)列求和的常用措施：1公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式，特別聲明：運用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時需分類討論.；常用公式：，.如（1）等比數(shù)列的前項和S2，則_（答：）；（2）計算機是將信息轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)進行解決的。二進制即“逢2進1”，如表達二進制數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進制形式是，那么將二進制轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)是_（答：）2分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和. 如求：（答：）3倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共

14、性或數(shù)列的通項與組合數(shù)有關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導措施）. 如已知，則_（答：）4錯位相減法：如果數(shù)列的通項是由一種等差數(shù)列的通項與一種等比數(shù)列的通項相乘構(gòu)成，那么常選用錯位相減法（這也是等比數(shù)列前和公式的推導措施）. 如（1）設(shè)為等比數(shù)列，已知，求數(shù)列的首項和公比；求數(shù)列的通項公式.（答：，；）；（2）設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足：，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；令，求函數(shù)在點處的導數(shù)，并比較與的大小。（答：略；，當時，；當時，）5裂項相消法：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后有關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有：； ；，； ；.如（1）求和： （答：）；（2）在數(shù)列中，且S，則n_（答：99）；6通項轉(zhuǎn)換法：先對通項進行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特性，再運用分組求和法求和。如求數(shù)列14，25，36，前項和= ）；求和： 答：）七“分期付款”、“森林木材”型應(yīng)用問題1此類應(yīng)用題一般可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題.但在求解過程中，務(wù)