1、高等數(shù)學(xué)教學(xué) 樣板教案授課次序 01 教學(xué)課題教學(xué)基本指標(biāo)新學(xué)問課微分方程的基本概念可分別變量的微分方程課的類型教學(xué)方法講授教學(xué)手段演示教學(xué)重點(diǎn)微分方程、微分方程的階、微分方程的通解、微教學(xué)難點(diǎn)微分方程的通解和微分方程的參考教材分方程的特解,可分別變量的微分方程的解法作業(yè)布置特解武漢高校與同濟(jì)高校編微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)微積分標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)安玉偉等編高等數(shù)學(xué)定理方法 問題大綱要求明白微分方程的基本概念把握可分別變量的微分方程的解法雙語教學(xué) 微分方程 differential equation 可分別變量的微分方程：separable differential equations 微分方程的通解 gener

2、al solution of differential equation 微分方程的階 order of differential equation 微分方程的特解 particular solution of differential equation 初值條件 initial condition 教 學(xué) 基 本 內(nèi) 容第四章 微分方程 備注欄第一節(jié) 微分方程的基本概念其次節(jié)可分別變量的微分方程x,y處的切線斜率等于2x,一、引例： 一條曲線通過點(diǎn)2,1,且在該曲線上任意一點(diǎn)M求該曲線方程；解：設(shè)所求曲線的方程為yy x ；由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知在x,y 點(diǎn)切線的斜率即為在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),故曲線方程

3、應(yīng)滿意對(duì)上式兩端積分,得仍應(yīng)滿意dy2xx22C（1）dx2x dxy由已知條件yy x 當(dāng)x1 時(shí),y（ 2）代入上式,得22 1C即C1故所曲線方程為y2x dxx21二、基本概念微分方程：如（1）將含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的等式叫做微分方程；常微分方程：未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程；微分方程的階：微分方程中顯現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程的階；微分方程在區(qū)間 I 上的解：如在區(qū)間 I 上有定義的某個(gè)函數(shù)滿意微分方程,即將此函數(shù)代入微分方程后能使微分方程成為恒等式,就稱該函數(shù)是微分方程在區(qū)間 I上的解；微分方程的通解：如微分方程的解中含有相互獨(dú)立的任意常數(shù),并且任意常數(shù)的

4、個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同,就稱這樣的解為微分方程的通解；定解條件：確定微分方程通解中的任意常數(shù)的值的條件稱為定解條件（初值條件）；特解：由初值條件確定了通解中任意常數(shù)的值后所得到得解稱為特解；微分方程初值問題或柯西問題：求微分方程滿意初值條件得特解得為題稱為微分方程初值問題或柯西問題；積分曲線：微分方程解得圖形稱為微分方程得積分曲線；三、可分別變量的微分方程1、定義： 凡是能夠化為 g y dy f x dx 形式的一階微分方程就稱為可分別變量的微分方程,將可分別變量的微分方程化為 g y dy f x dx * 形式的過程稱為分別變量,而對(duì)g y dy f x dx 兩端同時(shí)積分來求解的方法

5、稱為分別變量法；那么我們將怎樣解可分別變量的微分方程？通常我們采納兩邊積分的方法求解；假定方程（ * ）中的函數(shù)gy 和 fx是連續(xù)的；設(shè)yx是方程（ * ）的解,將它代入（*）中得到恒等式將上式兩端積分,并由y x 引進(jìn)變量 y ,得設(shè) Gy 及 Fx 依次為 gy 及 fx的原函數(shù),于是有Gy=Fx+C 因此,方程（ * ）的解滿意上式；2、舉例例 1、求微分方程dye xy的通解；dx解：所給微分方程是可分別變量的,分別變量后可得dyexdxy兩端積分,得lnyx eC 1從而這里C2C e1ye exC 10e C 1ee xC2e exC 為任意常數(shù),即得所給方程為任意的正常數(shù)；留意

6、到y(tǒng)也是方程的解,令的通解含量yCe ext0M0, 求衰變過程中鈾例 2、衰變問題 : 衰變速度與未衰變?cè)雍縈 成正比 , 已知MMt隨時(shí)間 t 變化的規(guī)律 . 即解：衰變速度dM,由題設(shè)條件dMM0衰變系數(shù)）dtdtdMdt,lnMtlnC,MMCet,代入Mt0M0得M0Ce0C,MM0et3、可分別變量的微分方程的初值問題初值問題gydyyfx dx的解為ygy dy0 xfx dx的解y|xx00y0 x xxcosydxex1sinydy,y|x04例 3、求微分方程e解：所給微分方程是可分別變量的,分別變量后可得tanydyexex1dx利用可分別變量的微分方程初值問題的解法

7、yytanydyyxx edxx1 0 x e141ydcosxde4cos0ex1即lncosy|ylnex1x | 04 化簡整理可得ln2lncosyln2lnex1 2即22ye21cosx或?qū)懗?1exsecy22小結(jié)：本節(jié)基本概念：微分方程；微分方程的階；微分方程的解；通解; 初始條件；特解；初值問題；分別變量法步驟:1 、分別變量 ;2 、兩端積分 -0隱式通解 . 摸索題： 1、函數(shù)y2 3 ex是微分方程y4y的什么解 .2、求解微分方程dycosx2ycosx2y.dx練習(xí)題：一、填空題 : 1、x y 2 y x 2y 0 是 _階微分方程；22、L d Q2 R dQ

8、Q 0 是 _階微分方程；dt dt c3、dsin 2 是_階微分方程；d4、一個(gè)二階微分方程的通解應(yīng)含有 _個(gè)任意常數(shù) . 二 、 確 定 函 數(shù) 關(guān) 系 式 y C 1 sin x C 2 所 含 的 參 數(shù) , 使 其 滿 足 初 始 條 件y x 1 , y x 0 . 三、 設(shè)曲線上點(diǎn) P x , y 處的法線與 x 軸的交點(diǎn)為 Q , 且線段 PQ 被 y 軸平分 , 試寫出該曲線所滿意的微分方程 . 四、 已知函數(shù) y ae xbe xx 1 , 其中 a , b 為任意常數(shù) , 試求函數(shù)所滿意的微分方程 . 五、 求以下微分方程的通解 : 1 、sec 2xtgydx sec 2ytgxdy 0；2、 e x ye x dx e x ye y dy 0； 3 、 y 1 2 dyx 3 0 . dx六、 求以下微分方程滿意所給初始條件的特解 : 1 、cos x sin ydy cos y sin xdx , y x 0；42、cos ydx 1 e x sin ydy 0 , y x 0 . 4七、質(zhì)量 為1 克 的質(zhì)點(diǎn)受外力作用作直線運(yùn)動(dòng) , 這外力和時(shí)間成正比 , 和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度成反比 . 在 t 10 秒時(shí) , 速度等于 4 克 厘米 / 秒 2, 外力為 4 克 厘米 /