1、第四章 數(shù)學(xué)中公理化辦法與結(jié)構(gòu)辦法 公理化辦法在近代數(shù)學(xué)發(fā)展中起著基本作用，它思想對(duì)各門當(dāng)代數(shù)學(xué)理論系統(tǒng)形成有著深刻影響，而數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)辦法則是全面整理和分析數(shù)學(xué)一個(gè)十分合理辦法，其觀點(diǎn)曾造成一場(chǎng)幾乎席卷世界數(shù)學(xué)教學(xué)改革運(yùn)動(dòng)，即“新數(shù)學(xué)”運(yùn)動(dòng)。 兩種辦法均是用來(lái)構(gòu)建數(shù)學(xué)理論體系，一個(gè)是局部，一個(gè)是整體。 本章將概括簡(jiǎn)介這兩種思想辦法，從中領(lǐng)略數(shù)學(xué)理論構(gòu)建普通思想辦法。第1頁(yè)第1頁(yè)4.1公理化辦法歷史概述 公理化辦法基本思想 數(shù)學(xué)是撇開現(xiàn)實(shí)世界詳細(xì)內(nèi)容來(lái)研究其量性特性形式與關(guān)系。其結(jié)果只有通過(guò)證實(shí)才可信，而數(shù)學(xué)證實(shí)采用是邏輯推理辦法，依據(jù)邏輯推理規(guī)則，每步推理都要有個(gè)大前提，我們不難想象到，最初那個(gè)

2、大前提是不也許再由另外大前提導(dǎo)出，既是說(shuō)，我們逆推過(guò)程總有個(gè)“盡頭”，同樣，概念需要定義，新概念由前此概念定義，必也出現(xiàn)這樣情況最原始概念無(wú)法定義。第2頁(yè)第2頁(yè)4.1公理化辦法歷史概述 因此，我們要想建立一門科學(xué)嚴(yán)格理論體系，只能采取以下方法：讓該門學(xué)科一些概念以及與之相關(guān)一些關(guān)系作為不加定義原始概念與公設(shè)或公理，而以后全部概念及其性質(zhì)要求均由原始概念與公設(shè)或公理通過(guò)準(zhǔn)確定義與邏輯推理方法演繹出來(lái)，這種從盡也許少一組原始概念和公設(shè)或公理出發(fā)，利用邏輯推理標(biāo)準(zhǔn)，建立科學(xué)體系方法叫做公理化方法。第3頁(yè)第3頁(yè)4.1公理化辦法歷史概述 公理化方法歷史考察 眾所周知，在長(zhǎng)達(dá)一千多年光芒燦爛希臘文化中，哲

3、學(xué)、邏輯學(xué)、幾何學(xué)得到了很大發(fā)展，尤其是哲學(xué)家和邏輯學(xué)家亞里斯多德，總結(jié)了前人所發(fā)覺和創(chuàng)建邏輯知識(shí)，以完全三段論作為出發(fā)點(diǎn)，用演繹方法推導(dǎo)出其余十九個(gè)不同格式全部三段論，創(chuàng)建了人類歷史上第一個(gè)公理化方法，即邏輯公理化方法，從而為數(shù)學(xué)公理化方法創(chuàng)造了條件。 亞里斯多德思想辦法深深地影響了公元前3世紀(jì)希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德，后者把形式邏輯公理演繹辦法應(yīng)用于幾何學(xué)，從而完畢了數(shù)學(xué)史上主要著作幾何原本。第4頁(yè)第4頁(yè)4.1公理化辦法歷史概述 歐幾里德幾何原本是有史以來(lái)用公理化思想辦法建立起來(lái)第一門演繹數(shù)學(xué)，并且成為以后很長(zhǎng)時(shí)期嚴(yán)格證實(shí)典范。幾何原本在數(shù)學(xué)發(fā)展史上樹立了一座不朽豐碑，對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展起了巨大作用，基

4、本上完善了初等幾何體系。當(dāng)然，現(xiàn)在看來(lái)由于受當(dāng)初整個(gè)科學(xué)水平限制，這種公理化辦法還是很原始，其公理體系還是不完備。因此，稱這一階段為公理化辦法早期階段。第5頁(yè)第5頁(yè)4.1公理化辦法歷史概述 歐幾里德幾何原本孕育了一個(gè)理性精神，成為展示人類智慧和結(jié)識(shí)能力一個(gè)光輝典范。 歐幾里德原本所表述數(shù)學(xué)觀是： 幾何理論是封閉演繹體系。原本成功地將零碎數(shù)學(xué)理論編為一個(gè)以基本假設(shè)到最復(fù)雜結(jié)論整體結(jié)構(gòu)。從邏輯結(jié)構(gòu)來(lái)看，原本是一個(gè)最早形成演繹體系，除所用邏輯規(guī)則外，具備了其理論推導(dǎo)所有前提，從理論發(fā)展形勢(shì)來(lái)看是一個(gè)封閉理論演繹體系。第6頁(yè)第6頁(yè)4.1公理化辦法歷史概述 抽象化內(nèi)容。原本中涉及都是普通、抽象概念，它所

5、探討是這些概念和命題之間邏輯關(guān)系，由一些給定概念和命題推表演另一些概念和命題。它不考慮這些概念和命題與社會(huì)詳細(xì)生活關(guān)系，也不研究這些數(shù)學(xué)“模型”所由之產(chǎn)生那些顯示原型。如在原本中研究了“所有”矩形（即抽象矩形概念）性質(zhì)，但不研究任何一個(gè)詳細(xì)矩形實(shí)物大??；原本中研究了自然數(shù)若干性質(zhì)，但卻一點(diǎn)也不涉及詳細(xì)自然數(shù)計(jì)算及應(yīng)用。第7頁(yè)第7頁(yè)4.1公理化辦法歷史概述 公理化辦法。原本基本結(jié)構(gòu)是由少數(shù)不定義概念（如點(diǎn)、線、面等）和少許不證自明命題（五個(gè)公設(shè)和五個(gè)公理）出發(fā)，定義出該體系中所有其它概念，推表演所有其它命題（定理）。原本就是用這種公理化辦法建立起了幾何學(xué)邏輯體系，從而成為其后所有數(shù)學(xué)范本。 在公

6、理化辦法早期階段，它“嚴(yán)格性”也只是相對(duì)當(dāng)初情況而言。譬如，有些基本概念定義不夠妥當(dāng)，有些證實(shí)只但是是借助于直觀等等。第8頁(yè)第8頁(yè)4.1公理化辦法歷史概述 尤其是原本中第五公設(shè)陳說(shuō)從字面上看很不自明，因此人們從兩個(gè)方面對(duì)它產(chǎn)生了懷疑：第一，第五公設(shè)是否正確地反應(yīng)了空間性質(zhì)；其二、它本身很也許是一個(gè)定理。 對(duì)于這兩個(gè)問(wèn)題，人們從下列幾種方面進(jìn)行了探討：一是它能否從其它公理推出；二是換一個(gè)與它等價(jià)而本身卻又是很自明公設(shè)；三是換一個(gè)與它相反公設(shè)。第9頁(yè)第9頁(yè)4.1公理化辦法歷史概述 通過(guò)諸多第一流數(shù)學(xué)家近兩千年大量工作，第一方案尚未成功。到了十八世紀(jì)中葉，意大利數(shù)學(xué)家薩克利吸取了前人正面直接證實(shí)而失

7、敗教訓(xùn)，反其道而行之，改用反證法來(lái)證實(shí)（將第五公設(shè)換成它否認(rèn)，然后推出矛盾，那么就能夠證實(shí)第五公設(shè)就是一個(gè)定理，即不獨(dú)立于其它公理），并于1733年公布了他證實(shí)，但隨后不久數(shù)學(xué)家們發(fā)覺他證實(shí)有問(wèn)題。 第10頁(yè)第10頁(yè)4.1公理化辦法歷史概述 薩克利最先使用歸謬法來(lái)證實(shí)第五公設(shè)。他在一本名叫歐幾里得無(wú)懈可擊（1733年）書中，從著名“薩克利四邊形”出發(fā)來(lái)證實(shí)平行公設(shè)。 薩克利四邊形是一個(gè)等腰雙直角四邊形，如圖，其中 且為直角。 薩克利指出，頂角含有三種也許性并分別將它們命名為：第11頁(yè)第11頁(yè) 1、直角假設(shè)： 和 是直角； 3、銳角假設(shè)： 和 是銳角； 2、鈍角假設(shè)： 和 是鈍角；能夠證實(shí)，直角

8、假設(shè)與第五公設(shè)等價(jià)。薩克利計(jì)劃是證實(shí)后兩個(gè)假設(shè)能夠造成矛盾，依據(jù)歸謬法就只剩余第一個(gè)假設(shè)成立。這樣就證實(shí)了第五公設(shè)。 薩克利在假定直線為無(wú)限長(zhǎng)情況下，首先由鈍角假設(shè)推出了矛盾，然后考慮銳角假設(shè)，在這一過(guò)程中他取得了一系列新奇有趣結(jié)果，如三角形三內(nèi)角之和小于兩直角；過(guò)給定直線外一給定點(diǎn)，有無(wú)數(shù)多條直線不與該直線相交，等等。即使這些結(jié)果事實(shí)上并不包括任何矛盾，但薩克利認(rèn)為它們太不合情理，便認(rèn)為自己導(dǎo)出了矛盾而鑒定銳角假設(shè)是不真實(shí)。第12頁(yè)第12頁(yè)4.1公理化辦法歷史概述 數(shù)學(xué)家們從薩克利錯(cuò)誤中得到了啟發(fā)，銳角假設(shè)（三角形內(nèi)角和小于180）尚未造成矛盾，因而它與其它公理也許是協(xié)調(diào)。 即使薩克利證實(shí)是

9、錯(cuò)誤，但他提出反證法及其所得結(jié)果卻起了他始終所未料到作用，即兩種幾何并存也許性。也就是說(shuō)，除了歐幾里德幾何外，尚有非歐幾何。第13頁(yè)第13頁(yè)4.1公理化辦法歷史概述 始終到十九世紀(jì)，由高斯、羅巴切夫斯基、包耶等許多杰出數(shù)學(xué)家作了大量推導(dǎo)工作都沒(méi)有發(fā)覺矛盾，于是采用銳角假設(shè)（三角形內(nèi)角和小于180）羅巴切夫斯基幾何系統(tǒng)就產(chǎn)生了。從此也就沖破了歐幾里德幾何“一統(tǒng)天下”舊觀念對(duì)人們束縛，使人們意識(shí)到邏輯上無(wú)矛盾并不只限于一個(gè)幾何。 第14頁(yè)第14頁(yè)4.1公理化辦法歷史概述 在1854年又發(fā)覺了鈍角假設(shè)（三角形內(nèi)角和不小于180）也成立黎曼幾何系統(tǒng)，以后人們稱這兩種幾何為非歐幾何。 非歐幾何產(chǎn)生后，尚

10、有兩方面問(wèn)題有待進(jìn)一步處理。從邏輯方面看，這種邏輯無(wú)矛盾性尚有待于從理論上得到嚴(yán)格證實(shí)；從實(shí)踐方面看，非歐幾何客觀原型是什么？人們還不清楚。也就是說(shuō)，非歐幾何到底反應(yīng)了哪種空間形式也沒(méi)有得到詳細(xì)解釋。第15頁(yè)第15頁(yè)4.1公理化辦法歷史概述 到了十九世紀(jì)五十年代，伴隨微分幾何、射影幾何進(jìn)一步發(fā)展，為非歐幾何尋找模型提供了條件。 意大利貝特拉米于1869年在其論文非歐幾何實(shí)際解釋中提出了用歐氏球面作為黎曼幾何一個(gè)解釋（歐氏球面部分大圓被解釋成黎曼幾何直線，球面上點(diǎn)被解釋成黎曼幾何點(diǎn)）。第16頁(yè)第16頁(yè)4.1公理化辦法歷史概述 德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因于1870年在歐氏平面上用不包括圓周圓內(nèi)部結(jié)構(gòu)了一個(gè)羅

11、氏幾何模型，人們稱它為羅氏平面，在此平面上給羅氏幾何一個(gè)解釋，即把歐氏幾何直線解釋成羅氏平面上直線，歐氏幾何點(diǎn)解釋成羅氏平面上點(diǎn)。 由于非歐幾何在歐氏幾何中找到了它模型，因此非歐幾何無(wú)矛盾性就轉(zhuǎn)化為歐氏幾何無(wú)矛盾性，也就是說(shuō)倘若歐氏幾何無(wú)矛盾，則非歐幾何也無(wú)矛盾。 第17頁(yè)第17頁(yè)4.1公理化辦法歷史概述 隨后不但人們找到了非歐幾何在天文學(xué)與相對(duì)論中解釋和應(yīng)用，并且相繼發(fā)覺歐氏幾何每條公理在羅氏空間極限球上得以所有成立。于是，反過(guò)來(lái)歐氏幾何相容性可借助非歐幾何協(xié)調(diào)性給以確保。從而就證實(shí)了兩種幾何是互相協(xié)調(diào)，第五公設(shè)獨(dú)立性問(wèn)題得到處理。 非歐幾何確實(shí)立增進(jìn)了公理化辦法及幾何基礎(chǔ)研究進(jìn)展。第18頁(yè)

12、第18頁(yè)4.1公理化辦法歷史概述 在創(chuàng)建非歐幾何過(guò)程中，公理化辦法得到了下列發(fā)展： 非歐幾何誕生第一步就在于結(jié)識(shí)到：平行公設(shè)不能在其它九條公設(shè)和公理基礎(chǔ)上證實(shí)。它是獨(dú)立命題，因此能夠采用一個(gè)與之相反公理并發(fā)展成為全新幾何。這就是說(shuō)，在一個(gè)公理系統(tǒng)中，我們能夠把一個(gè)含有獨(dú)立性公理?yè)Q成另外公理而得到一個(gè)全新公理系統(tǒng)，這種辦法是當(dāng)代一個(gè)主要公理化辦法。 非歐幾何創(chuàng)建深刻地啟示人們，能夠證實(shí)“在一個(gè)給定公理系統(tǒng)中一些命題不也許證實(shí)”。第19頁(yè)第19頁(yè)4.1公理化辦法歷史概述 非歐幾何系統(tǒng)已經(jīng)不是像原本那樣依賴于感性直觀實(shí)質(zhì)性公理系統(tǒng)。非歐幾何建立標(biāo)志著從實(shí)質(zhì)性公理化辦法向形式公理化辦法過(guò)渡，這表明人們

13、結(jié)識(shí)已從直觀空間上升到抽象空間。 非歐幾何創(chuàng)建，為公理化辦法能夠推廣和建立新理論提供了依據(jù)，大大提升了公理化辦法。 非歐幾何創(chuàng)建，還產(chǎn)生了下列重大影響： 非歐幾何誕生標(biāo)志著歐氏幾何統(tǒng)治終止，歐氏幾何統(tǒng)治終止則標(biāo)志著所有絕對(duì)真理終止。第20頁(yè)第20頁(yè)4.1公理化辦法歷史概述 非歐幾何創(chuàng)建，使人們開始結(jié)識(shí)到數(shù)學(xué)空間與物理空間之間有著本質(zhì)區(qū)別。數(shù)學(xué)確實(shí)是人思想產(chǎn)物，而不是獨(dú)立于人永恒世界東西。 非歐幾何創(chuàng)建使數(shù)學(xué)喪失了真理性，但卻使數(shù)學(xué)取得了自由。數(shù)學(xué)家能夠并且應(yīng)當(dāng)摸索任何也許問(wèn)題，摸索任何也許公理系統(tǒng)，只要這種研究含有一定意義。 非歐幾何為數(shù)學(xué)提供了一個(gè)不受實(shí)用性左右，只受抽象思想和邏輯思維支配范

14、例，提供了一個(gè)理性智慧摒棄感覺經(jīng)驗(yàn)范例。第21頁(yè)第21頁(yè)4.1公理化辦法歷史概述 當(dāng)然，非歐幾何并非毫無(wú)實(shí)用性。比如，19愛因斯坦發(fā)覺廣義相對(duì)論研究中，必須用一個(gè)非歐幾何來(lái)描述這樣物理空間，這種非歐幾何便是黎曼幾何。又如，由1947年對(duì)視空間（從正常有雙目視覺人心理上觀測(cè)到空間）所作研究得出結(jié)論：這樣空間最好用羅巴切夫斯基非歐幾何來(lái)描述。這些事實(shí)闡明：數(shù)學(xué)對(duì)人類文明發(fā)展作用是何等重大。 非歐幾何創(chuàng)建，標(biāo)志著公理化辦法進(jìn)入到其完善階段。第22頁(yè)第22頁(yè)4.1公理化辦法歷史概述 在非歐幾何創(chuàng)建之后，以希爾伯特為代表數(shù)學(xué)家掀起了對(duì)幾何基礎(chǔ)研究，同時(shí)也增進(jìn)了康托、維爾斯托拉斯、戴德金等為代表數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)

15、學(xué)分析基礎(chǔ)實(shí)數(shù)理論研究。從而造成了“分析算術(shù)化”方向出現(xiàn)，使數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)立足于實(shí)數(shù)理論之上，取代了直觀幾何闡明。由于對(duì)實(shí)數(shù)理論研究，又推動(dòng)了代數(shù)重大改變，即由代數(shù)方程求解造成了群論產(chǎn)生，從而使代數(shù)研究對(duì)象發(fā)生了質(zhì)改變，逐步變成一門研究各種代數(shù)運(yùn)算系統(tǒng)形式結(jié)構(gòu)科學(xué)。第23頁(yè)第23頁(yè)4.1公理化辦法歷史概述 由于形式公理化辦法在分析、代數(shù)領(lǐng)域中取得了成功，反過(guò)來(lái)又將幾何公理化辦法研究推向一個(gè)新階段，即形式公理化階段。希爾伯特在1899年出版名著幾何基礎(chǔ)就是這個(gè)時(shí)期研究結(jié)果突出代表。 所謂形式公理化辦法，是指在一個(gè)公理系統(tǒng)中，基本概念要求為不加定義原始概念，它涵義、特性和范圍不是先于公理而擬定，而是

16、由公理組隱含擬定。第24頁(yè)第24頁(yè)4.1公理化辦法歷史概述 希爾伯特在他幾何基礎(chǔ)中，放棄了歐幾里德幾何原本中公理直觀顯然性，把那些在對(duì)空間直觀進(jìn)行邏輯分析時(shí)無(wú)關(guān)主要內(nèi)容加以拼棄，著眼于對(duì)象之間聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)了邏輯推理，第一次提出了一個(gè)簡(jiǎn)明、完整、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)形式化公理系統(tǒng)。從此公理化辦法不但是數(shù)學(xué)中一個(gè)主要辦法，并且已被其它學(xué)科領(lǐng)域所采用。因此人們稱它為公理化辦法發(fā)展史上一個(gè)里程碑。第25頁(yè)第25頁(yè)4.1公理化辦法歷史概述 即使希爾伯特幾何公理系統(tǒng)從本質(zhì)上講是一個(gè)形式化公理系統(tǒng)，但它畢竟沒(méi)有完全掙脫幾何所研究?jī)?nèi)容范圍。為了使形式公理系統(tǒng)更形式化，涵蓋模型更多，就必須使形式化公理系統(tǒng)來(lái)自詳細(xì)模型而又要掙

17、脫詳細(xì)模型過(guò)多條條框框束縛，于是人們需要研究更復(fù)雜邏輯結(jié)構(gòu)，從而就造成了當(dāng)代數(shù)理邏輯形成和發(fā)展。當(dāng)代數(shù)理邏輯出現(xiàn)后，至少在下列兩個(gè)方面發(fā)揮了巨大作用。 第26頁(yè)第26頁(yè)4.1公理化辦法歷史概述 其一，本世紀(jì)初以希爾伯特、哥德爾為代表數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家掀起了以數(shù)理邏輯為工具來(lái)研究整個(gè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)高潮，又因數(shù)學(xué)基礎(chǔ)進(jìn)一步發(fā)展需要，反過(guò)來(lái)又促使當(dāng)代數(shù)理邏輯發(fā)展，從而也就造成了證實(shí)論（或元數(shù)學(xué)）、模型論、遞歸函數(shù)論出現(xiàn)。尤其是英國(guó)大哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、和邏輯學(xué)家羅素于19發(fā)覺集合論悖論，震動(dòng)了整個(gè)數(shù)學(xué)界，從而更增進(jìn)了公理化集合論形成和發(fā)展。集合論公理化系統(tǒng)出現(xiàn)及當(dāng)代數(shù)理邏輯出現(xiàn)，將形式公理化辦法推向一個(gè)更高階段

18、純形式公理化階段。 希爾伯特建立元數(shù)學(xué)是以形式系統(tǒng)為研究對(duì)象一門新數(shù)學(xué)，它包括對(duì)形式系統(tǒng)描述、定義、也包括對(duì)形式系統(tǒng)性質(zhì)研究。簡(jiǎn)言之，元數(shù)學(xué)是以整個(gè)理論而不是以它某一部分作為數(shù)學(xué)研究對(duì)象。元數(shù)學(xué)等創(chuàng)建把形式公理化辦法向前推動(dòng)了一大步。第27頁(yè)第27頁(yè)4.1公理化辦法歷史概述 純形式公理化辦法特性是含有高度形式化和抽象化，系統(tǒng)基本概念、基本關(guān)系用抽象符號(hào)表示，命題由符號(hào)構(gòu)成公式表示，命題證實(shí)用一個(gè)公式串表示。一個(gè)符號(hào)化形式系統(tǒng)只有在解釋之后才故意義。 公理化辦法詳細(xì)形態(tài)有三種：實(shí)體性公理化辦法、形式公理化辦法和純形式公理化辦法，用它們建構(gòu)起來(lái)理論體系分別為幾何原本、幾何基礎(chǔ)和ZFC公理系統(tǒng)。第2

19、8頁(yè)第28頁(yè)4.1公理化辦法歷史概述 其二，為數(shù)學(xué)應(yīng)用于當(dāng)代科學(xué)技術(shù)開辟了前景。電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)就是突出一例，這是由于電子計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)需要研究如何用基本邏輯運(yùn)算去表示和結(jié)構(gòu)復(fù)雜邏輯結(jié)構(gòu)和運(yùn)算，這正是當(dāng)代數(shù)理邏輯研究一個(gè)基本課題。由于電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)造成了機(jī)器證實(shí)及數(shù)學(xué)機(jī)械化方向產(chǎn)生，從而使當(dāng)代純形式公理化辦法又取得了一個(gè)新用場(chǎng)。 公理化辦法本身及其在數(shù)學(xué)理論和實(shí)踐應(yīng)用中巨大作用，伴隨科學(xué)技術(shù)發(fā)展還在繼續(xù)向前發(fā)展。 第29頁(yè)第29頁(yè)4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用 一、公理化辦法邏輯特性 公理化辦法作用在于從一組公理出發(fā)，以邏輯推理為工具，把某一范圍系統(tǒng)內(nèi)真命題推表演來(lái)，從而使系統(tǒng)成為演繹體系.

20、對(duì)于所選公理，我們一方面要求能從公理組推出該系統(tǒng)內(nèi)所有真命題，另一方面又要求從公理組不能推出邏輯矛盾，再就是希望所選公理個(gè)數(shù)至少. 這三個(gè)方面構(gòu)成了公理化辦法邏輯要求，此也是判別一個(gè)公理系統(tǒng)是否科學(xué)合理準(zhǔn)則。 第30頁(yè)第30頁(yè)4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用 （1）無(wú)矛盾性（相容性或協(xié)調(diào)性） 無(wú)矛盾性要求在一個(gè)公理系統(tǒng)中，公理之間不能自相矛盾，由公理系推出結(jié)果也不能矛盾，即不能同時(shí)推出命題A與其否認(rèn)命題 ，顯然，這是對(duì)公理系統(tǒng)最基本要求。 如何證實(shí)給定公理系統(tǒng)無(wú)矛盾性呢？若想通過(guò)“由這一公理系作出所有也許推論并指出其中沒(méi)有矛盾”來(lái)證實(shí)是不也許。 第31頁(yè)第31頁(yè)4.2公理化辦法邏輯特性、意

21、義和作用 為此，人們創(chuàng)造了一個(gè)特殊方法即解釋法或作模型法。其基本思想以下： 將公理系每一不定義概念與對(duì)象某一集合相對(duì)應(yīng)，而且要求對(duì)應(yīng)于不同概念集合沒(méi)有公共元素，然后，使公理系T每一關(guān)系對(duì)應(yīng)著對(duì)應(yīng)集合元素間某一確定關(guān)系。第32頁(yè)第32頁(yè)4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用 這樣所得集合與關(guān)系全體叫做解釋域，公理系T每一命題 能夠用自然辦法相應(yīng)于解釋域中相應(yīng)命題 。假如所得命題 為真，那么就稱公理系T命題 在這個(gè)解釋下是真，假如 假，則 在這個(gè)解釋下是假，假如公理系T所有公理在這個(gè)解釋下均為真，那么這個(gè)解釋稱為所給公理系模型。第33頁(yè)第33頁(yè)4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用 解釋域及其性質(zhì)經(jīng)常

22、是另一數(shù)學(xué)理論 研究對(duì)象， 本身同樣能夠是公理化，因此說(shuō)，用解釋法能證實(shí)公理系 相對(duì)相容性，即能作出“假如 相容，即么 也相容”判斷。 解釋法實(shí)質(zhì)上是將一個(gè)公理系系統(tǒng)無(wú)矛盾性證實(shí)化歸為另一個(gè)公理系統(tǒng)無(wú)矛盾性證實(shí)，是一個(gè)間接證實(shí)。 克萊因就是采用這種辦法將羅氏幾何無(wú)矛盾性化歸為歐氏幾何無(wú)矛盾性。第34頁(yè)第34頁(yè)4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用 正是由于羅氏幾何相容性要由歐氏幾何相容性來(lái)得證，本來(lái)并無(wú)疑問(wèn)歐氏幾何相容性問(wèn)題也引起了人們懷疑，迫使人們?cè)偃ふ覛W氏幾何相容性證實(shí)，由于解析幾何能夠當(dāng)作是實(shí)數(shù)系統(tǒng)中歐氏幾何一個(gè)解釋模型，于是歐氏幾何相容性證實(shí)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)系統(tǒng)無(wú)矛盾性證實(shí)，而實(shí)數(shù)系統(tǒng)可建立

23、在ZFC公理化集合論基礎(chǔ)上，因此，實(shí)數(shù)系統(tǒng)無(wú)矛盾性又化歸為集合論無(wú)矛盾性證實(shí)，而后者通過(guò)幾代數(shù)學(xué)家們努力，至今尚未得到徹底處理。第35頁(yè)第35頁(yè)4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用 （2）獨(dú)立性 獨(dú)立性要求在一個(gè)公理系統(tǒng)中，被選定公理組中任何一個(gè)公理都不能由其它公理推出。 獨(dú)立性其實(shí)要求是公理組中公理之間不能有依從關(guān)系，若某一公理被其余公理推出，那它實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)定理，在公理組中就是多出，因此，獨(dú)立性要求公理組中公理數(shù)目至少。 第36頁(yè)第36頁(yè)4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用 利用解釋法同樣能夠證實(shí)所給公理系獨(dú)立性問(wèn)題，所謂公理系T中公理A獨(dú)立性無(wú)非是指A由其它公理既不能證實(shí)，也不能否認(rèn)。

24、 建立一個(gè)新公理系，就是將公理 換成它否認(rèn) ，而其它公理保持不變，只要能證實(shí)新公理系是相容，就可斷言 在公理系T中獨(dú)立，從而將獨(dú)立性問(wèn)題化歸為相容性證實(shí)問(wèn)題，而新公理系相容性證實(shí)可用解釋法。第37頁(yè)第37頁(yè)4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用 （3）完備性 完備性要求在一個(gè)公理系統(tǒng)中，公理組選取能確保由公理組推出該系統(tǒng)所有真命題，因此，公理不能過(guò)少，不然就推不出一些真命題，這是關(guān)于完備性古典定義。 當(dāng)代數(shù)學(xué)常借助模型同構(gòu)給公理系完備性下定義，即假如公理系T所有模型或解釋都彼此同構(gòu)，就稱這個(gè)公理系是完備。 第38頁(yè)第38頁(yè)4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用 所謂模型同構(gòu)是指這個(gè)公理系兩個(gè)模型（

25、X，R）與（Y，S）（這是為簡(jiǎn)便計(jì)，假設(shè)給定公理系中只有一個(gè)不定義概念和一個(gè)不定義關(guān)系。X與Y是某兩個(gè)集合，R與S分別是這兩個(gè)集合中關(guān)系）間存在一個(gè)雙射第39頁(yè)第39頁(yè)4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用 在上述公理化方法三個(gè)特性中，無(wú)矛盾性是最主要而又是非有不可。 獨(dú)立性從理論上講，從完美簡(jiǎn)煉上講，應(yīng)該要求，因?yàn)楣砗投ɡ碓谡麄€(gè)系統(tǒng)中處地位不同，公理是出發(fā)點(diǎn)，定理是推出，不能混在一塊。不過(guò)，獨(dú)立性要求有時(shí)可降低。現(xiàn)行中學(xué)幾何體系就放棄了這一要求。 至于完備性，要求就大大放寬了；而且“從研究完備公理系確定對(duì)象轉(zhuǎn)向研究其公理系不完備對(duì)象”被認(rèn)為是當(dāng)代數(shù)學(xué)特性之一。第40頁(yè)第40頁(yè)4.2公理化辦法

26、邏輯特性、意義和作用 二、公理化辦法意義和作用 對(duì)于公理化辦法作用和意義，希爾伯特曾評(píng)論道：“無(wú)論在哪個(gè)領(lǐng)域，對(duì)于任何嚴(yán)厲研究精神來(lái)說(shuō)，公理化辦法都是并且始終是一個(gè)適當(dāng)不可缺乏手段；它在邏輯上是無(wú)懈可擊，同時(shí)也是富有結(jié)果；因此，它確保了研究完全自由。在這個(gè)意義上，用公理化辦法進(jìn)行研究就等于用已掌握了東西進(jìn)行思考。早年沒(méi)有公理化辦法時(shí)候，人們只能樸素地把一些關(guān)系作為信條來(lái)遵守，公理化研究辦法則能夠去掉這種樸素性而使信奉得到利益”。“能夠成為數(shù)學(xué)思考對(duì)象任何事物，在一個(gè)理論建立一旦成熟時(shí)，就開始服從于公理化辦法，從而進(jìn)入了數(shù)學(xué)。通過(guò)突進(jìn)到公理更深層次我們能夠取得科學(xué)思維更進(jìn)一步洞察力，并弄清我們知

27、識(shí)統(tǒng)一性。尤其是，得力于公理化辦法，數(shù)學(xué)似乎就被請(qǐng)來(lái)在一切學(xué)問(wèn)中起領(lǐng)導(dǎo)作用”。第41頁(yè)第41頁(yè)4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用 公理化辦法對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展起到了巨大作用，如在對(duì)公理化辦法邏輯特性研究中，產(chǎn)生了許多新數(shù)學(xué)分支理論，非歐幾何是由研究歐氏幾何公理系統(tǒng)獨(dú)立性產(chǎn)生，元數(shù)學(xué)理論或證實(shí)論是由研究公理系統(tǒng)相容性產(chǎn)生，等等。第42頁(yè)第42頁(yè)4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用 詳細(xì)地說(shuō)，公理化辦法意義和作用能夠概括為下列幾點(diǎn)： 表述和總結(jié)科學(xué)理論 公理化辦法使相關(guān)理論系統(tǒng)化，把它們按照某種邏輯順序構(gòu)建成一個(gè)系統(tǒng)，因而便于人們系統(tǒng)地理解知識(shí)體系，便于掌握理論本質(zhì)。它是應(yīng)用演繹推理基本辦法，它為結(jié)識(shí)世

28、界提供了演繹推理模式，提供了一個(gè)理性證實(shí)手段，它是表述科學(xué)理論一個(gè)比較完善辦法，它為各門科學(xué)提供了一個(gè)思想辦法上示范和有效表述手段，有助于增進(jìn)理論完善和嚴(yán)格化。它賦與數(shù)學(xué)內(nèi)在統(tǒng)一性，有助于人們理解數(shù)學(xué)各分支、各部門之間本質(zhì)聯(lián)系。第43頁(yè)第43頁(yè)4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用 完善和創(chuàng)新理論 公理化辦法應(yīng)用要求一門科學(xué)充足成熟：積累了一定數(shù)量基礎(chǔ)知識(shí)，進(jìn)行了一定系統(tǒng)分析和研究，對(duì)該門學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)有了較進(jìn)一步理解。因此，實(shí)現(xiàn)公理化過(guò)程也是進(jìn)一步研究理論體系過(guò)程。采用公理化辦法還能夠發(fā)覺和補(bǔ)充理論系統(tǒng)中缺點(diǎn)和漏洞。從而有助于完善已有理論，創(chuàng)建新理論。 第44頁(yè)第44頁(yè)4.2公理化辦法邏輯特性、

29、意義和作用 培養(yǎng)和熏陶人們邏輯思維能力 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，主要不在于只是記住概念、公式、定理和法則，而在于學(xué)會(huì)如何去取得這些知識(shí)，即學(xué)會(huì)正確地進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，邏輯思維正是數(shù)學(xué)思維關(guān)鍵成份之一。邏輯思維能力是一個(gè)主要數(shù)學(xué)能力。而公理化辦法使邏輯思維在數(shù)學(xué)中作用得以充足發(fā)揮，大大提升了數(shù)學(xué)教育成效，實(shí)現(xiàn)高度思維經(jīng)濟(jì)，這無(wú)疑對(duì)培養(yǎng)和熏陶學(xué)生邏輯思維能力有其十分主要作用和意義。另外，由于公理化辦法能夠揭示一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)和分支內(nèi)在規(guī)律性，從而使它系統(tǒng)化，這也無(wú)疑有助于人們學(xué)習(xí)和掌握。第45頁(yè)第45頁(yè)4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用 中學(xué)數(shù)學(xué)中幾何體系就是按照公理化辦法思想編排，這使中學(xué)幾何成為大家公認(rèn)為最有助于

30、培養(yǎng)邏輯思維能力科目。但正如蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾所言：“在學(xué)校中普通能夠?qū)崿F(xiàn)，只是有實(shí)際內(nèi)容公理體系”。 現(xiàn)行幾何教材正是這樣做：通過(guò)采用擴(kuò)大公理系統(tǒng)辦法，而其它概念、性質(zhì)和定理則采用推理和直觀相結(jié)合辦法演澤出來(lái)，即在學(xué)生可接受情況下，充足表達(dá)公理化辦法思想。 中學(xué)幾何書本中公理系統(tǒng)是一個(gè)擴(kuò)大公理系統(tǒng)，只滿足相容性，不滿足獨(dú)立性和完備性。第46頁(yè)第46頁(yè)4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用 平面幾何公理七條： 通過(guò)兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線。 在所有連接兩點(diǎn)直線中，線段最短。 平行公理：通過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線和該直線平行。 兩條直線被第三條直線所截，假如同位角相等，那么，這

31、兩條直線平行。 邊角邊公理：有兩邊和它們夾角相應(yīng)相等兩個(gè)三角形全等。 角邊角公理：有兩角和它們夾邊相應(yīng)相等兩個(gè)三角形全等。 矩形面積等于它長(zhǎng)與寬積。第47頁(yè)第47頁(yè)4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用 立體幾何公理六條： 假如一條直線上兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。 假如兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過(guò)該點(diǎn)公共直線。 通過(guò)不在同一條直線上三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。 平行于同一條直線兩條直線互相平行。 長(zhǎng)方體體積等于其長(zhǎng)、寬、高積。 夾在兩個(gè)平行平面間兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面任意平面所截，假如截得兩個(gè)截面面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體體積相等。第48頁(yè)第4

32、8頁(yè)4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用 三、初等函數(shù)公理化定義 1、冪函數(shù)公理化定義 對(duì)于x和y一切正實(shí)數(shù)值滿足方程 唯一不恒等于零連續(xù)函數(shù)第49頁(yè)第49頁(yè) 2、指數(shù)函數(shù)公理化定義 對(duì)于x和y一切正實(shí)數(shù)值滿足方程 4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用唯一不等于零連續(xù)函數(shù)第50頁(yè)第50頁(yè)4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用 3、對(duì)數(shù)函數(shù)公理化定義 對(duì)于x和y一切正實(shí)數(shù)值滿足方程 唯一不等于零連續(xù)函數(shù)第51頁(yè)第51頁(yè)4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用 4、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)公理化定義 第52頁(yè)第52頁(yè)4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用第53頁(yè)第53頁(yè)4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用第54

33、頁(yè)第54頁(yè)4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用下面我們僅證實(shí)其中定理3與定理4。第55頁(yè)第55頁(yè)第56頁(yè)第56頁(yè)第57頁(yè)第57頁(yè)4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用第58頁(yè)第58頁(yè)4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用（1）結(jié)合律成立，即對(duì)G中任意元素a，b，c都有（2）G中有元素e，叫做G左單位元，它對(duì)G中每一個(gè)元素a都有 下面我們?cè)賮?lái)看看群公理化定義 令G是一個(gè)非空集合， 是它一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，假如滿足下列條件：第59頁(yè)第59頁(yè)4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用則稱G對(duì)代數(shù)運(yùn)算 作成一個(gè)群。（3）對(duì)G中每個(gè)元素a，在G中都有元素 ，叫做a左逆元，使第60頁(yè)第60頁(yè)4.2公理化辦法邏輯特性、意義

34、和作用 四、公理化辦法不足 1、每一個(gè)數(shù)學(xué)分支都要按公理化辦法三條原則去實(shí)現(xiàn)它公理化是不也許。 我們知道，在公理化辦法及當(dāng)代數(shù)理邏輯取得重大成就基礎(chǔ)上，為了避免數(shù)學(xué)中產(chǎn)生悖論，使整個(gè)數(shù)學(xué)建立在一個(gè)嚴(yán)格化基礎(chǔ)上，以希爾伯特為代表數(shù)學(xué)家試圖將所有數(shù)學(xué)分支都按公理化辦法三條原則實(shí)現(xiàn)它公理化，哥德爾不完全定理表明希爾伯特等人計(jì)劃要所有實(shí)現(xiàn)是不也許。第61頁(yè)第61頁(yè) 1931年，奧地利數(shù)學(xué)家哥德爾發(fā)表了題為論數(shù)學(xué)原理及相關(guān)系統(tǒng)中形式不可鑒定命題論文，其中證實(shí)了一條定理： 任一足以包括自然數(shù)算術(shù)形式系統(tǒng)，假如是相容，則它一定存在有一個(gè)不可鑒定命題，即存在某一命題A使A否認(rèn)在該系統(tǒng)皆不可證。 這一定理被稱為

35、哥德爾第一不完全性定理。4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用第62頁(yè)第62頁(yè) 第一不完全性定理表明：任何形式系統(tǒng)都不能完全刻畫數(shù)學(xué)理論，總有一些問(wèn)題從形式系統(tǒng)公理出發(fā)不能解答。在第一不完全性定理基礎(chǔ)上，哥德爾進(jìn)一步證實(shí)了： 在真但不能由公理來(lái)證實(shí)命題中，包括了這些公理是相容（無(wú)矛盾性）這一論斷本身。也就是說(shuō)，假如一個(gè)足以包括自然數(shù)算術(shù)公理系統(tǒng)是相容，那么這種相容性在該系統(tǒng)內(nèi)是不可證實(shí)。 這就是所謂哥德爾第二不完全性定理。4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用第63頁(yè)第63頁(yè) 第一不完全性定理和第二不完全性定理合稱“哥德爾不完全性定理” 哥德爾不完全性定理是屬于某種否認(rèn)性結(jié)果，但這項(xiàng)否認(rèn)性結(jié)果卻帶

36、來(lái)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究劃時(shí)代變革。其對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)產(chǎn)生巨大影響而在20世紀(jì)數(shù)學(xué)史上寫下了濃重一筆。4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用第64頁(yè)第64頁(yè) 首先，哥德爾不完全性定理破天荒地第一次分清了數(shù)學(xué)中“真”與“可證”是兩個(gè)不同概念，可證實(shí)命題當(dāng)然是真，但真命題不一定是可證實(shí)。對(duì)于形式系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，“可證”是能夠機(jī)械地實(shí)現(xiàn)，“真”則需要深入思想能動(dòng)性以及超窮工具。這一切突破了人們對(duì)數(shù)學(xué)真理傳統(tǒng)了解，將對(duì)數(shù)學(xué)真理認(rèn)識(shí)推向了嶄新層次。4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用第65頁(yè)第65頁(yè) 另一方面，哥德爾不完全性定理證實(shí)中提出“原始遞歸函數(shù)”概念，成為算法理論或可計(jì)算理論起點(diǎn)，尤其是它引導(dǎo)圖靈提出了抱負(fù)計(jì)算機(jī)概念

37、，為電子計(jì)算機(jī)研制提供了理論基礎(chǔ)。 另外，即使哥德爾不完全性定理指出了形式化數(shù)學(xué)不足，但這并不意味著公理化辦法消亡，相反，哥德爾結(jié)果極大地增進(jìn)了數(shù)學(xué)辦法論發(fā)展，處理了一批證實(shí)論問(wèn)題，使數(shù)理邏輯在新起點(diǎn)上取得了新發(fā)展。4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用第66頁(yè)第66頁(yè) 哥德爾定理意義在于，不但是數(shù)學(xué)所有，甚至任何一個(gè)故意義科學(xué)體系也不能用一個(gè)合理系統(tǒng)概括起來(lái)，由于這樣合理系統(tǒng)是不也許完備。還須指出是，哥德爾理論改變了數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程，觸動(dòng)了人類思維深層結(jié)構(gòu)，它又滲入到音樂(lè)、藝術(shù)、生物、計(jì)算機(jī)和人工智能等領(lǐng)域。4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用第67頁(yè)第67頁(yè)4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用

38、2、公理化辦法普通地講只能利用于一個(gè)數(shù)學(xué)分支發(fā)展到一定成熟階段，不然就有也許對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展起束縛作用。 我們知道公理化辦法長(zhǎng)處之一是能夠使它內(nèi)容系統(tǒng)化、條理化、邏輯化。但是，我們還要指出普通來(lái)說(shuō)只有在一個(gè)數(shù)學(xué)分支發(fā)展到一定階段才有也許利用公理化辦法揭示它內(nèi)在規(guī)律，從而使它系統(tǒng)化。假如一個(gè)新數(shù)學(xué)分支剛剛誕生就要強(qiáng)調(diào)它邏輯嚴(yán)密性、系統(tǒng)性，不但沒(méi)有好處，反而對(duì)它發(fā)展也許起到束縛作用。比如，微積分產(chǎn)生、發(fā)展直至完善所經(jīng)歷道路就是一個(gè)突出例證。第68頁(yè)第68頁(yè)4.2公理化辦法邏輯特性、意義和作用 3、由于公理化辦法主要突出了邏輯思維，并且它主要用于“回顧”性“總結(jié)”，對(duì)“摸索”性“展望”作用較少。公理化辦法

39、若不與試驗(yàn)辦法相結(jié)合，則不會(huì)更加好地處理問(wèn)題；若不與其它科學(xué)辦法相結(jié)合，也不會(huì)更加好地發(fā)覺問(wèn)題。 因此對(duì)公理化辦法作用和意義估價(jià)要恰當(dāng)。不然無(wú)論是從結(jié)識(shí)論還是從辦法論來(lái)講都有束縛作用。第69頁(yè)第69頁(yè)4.3幾種典型公理系統(tǒng)簡(jiǎn)介 一、希爾伯特幾何基礎(chǔ)公理系統(tǒng) 第70頁(yè)第70頁(yè)4.3幾種典型公理系統(tǒng)簡(jiǎn)介 一、希爾伯特幾何基礎(chǔ)公理系統(tǒng) 基本對(duì)象幾何基礎(chǔ)公理系統(tǒng) 基本關(guān)系 基本公理 點(diǎn)、線、面 結(jié)合關(guān)系、順序關(guān)系協(xié)議關(guān)系、連續(xù)關(guān)系 平行關(guān)系 結(jié)合公理、順序公理協(xié)議公理、連續(xù)公理 平行公理第71頁(yè)第71頁(yè)4.3幾種典型公理系統(tǒng)簡(jiǎn)介 希爾伯特公理體系中基本概念共有八個(gè)（其中基本對(duì)象三個(gè)、基本關(guān)系五個(gè)），對(duì)

40、基本概念唯一要求是適合五組公理。公理組共有18條公理（其中結(jié)合公理6條、順序公理4條、協(xié)議公理5條、平行公理1條、連續(xù)公理2條）。這里要指出是，希爾伯特公理體系對(duì)歐幾里德公理體系最主要補(bǔ)充是順序公理中點(diǎn)與線順序公理及連續(xù)公理。 這部分詳細(xì)內(nèi)容可參見傅秀章先生著幾何基礎(chǔ)（北師大出版社）。第72頁(yè)第72頁(yè)4.3幾種典型公理系統(tǒng)簡(jiǎn)介 希爾伯特這個(gè)公理體系已被世界上一些數(shù)學(xué)家看作典型作品。 希爾伯特在幾何基礎(chǔ)中所采用是形式公理化辦法，即對(duì)象直觀背景完全被舍棄了他所從事已不再是某種特定對(duì)象研究，而只是由給定公理（更準(zhǔn)確地說(shuō)是假設(shè)）出發(fā)去進(jìn)行演繹。由于幾何學(xué)所研究只是由什么樣前提出發(fā)能推出什么樣結(jié)論，而對(duì)

41、所討論對(duì)象是什么事不關(guān)懷。 第73頁(yè)第73頁(yè)4.3幾種典型公理系統(tǒng)簡(jiǎn)介 簡(jiǎn)言之，原本是實(shí)質(zhì)性公理系統(tǒng)，即“對(duì)象公理演繹”系統(tǒng)；幾何基礎(chǔ)是形式化公理系統(tǒng)，即“假設(shè)演繹”。 這里我們要尤其指出是，若將希爾伯特公理體系中平行公理?yè)Q成相反公理，我們就得到羅氏幾何公理體系。這也是希爾伯特公理體系一個(gè)美妙特點(diǎn)。在這里，我們又一次看見了公理化辦法巨大力量。 第74頁(yè)第74頁(yè)4.3幾種典型公理系統(tǒng)簡(jiǎn)介 二、集合論公理系統(tǒng)ZFC公理系統(tǒng) 1、ZFC公理系統(tǒng)形成簡(jiǎn)介 自從集合論中羅素悖論出現(xiàn)后，諸多邏輯學(xué)家和數(shù)學(xué)家致力于集合論改進(jìn)工作，尤其突出是著名德國(guó)數(shù)學(xué)家策梅羅，他于19首先提出他改進(jìn)方案，即策梅羅集合論公理

42、系統(tǒng)。后經(jīng)費(fèi)蘭克爾、斯克朗等人改進(jìn)，于1921-1923年間逐步形成了一個(gè)嚴(yán)格形式化集合論公理系統(tǒng)，這就是著名ZF公理系統(tǒng)。在ZF公理系統(tǒng)中加上選擇公理，便是今天ZFC公理系統(tǒng)。 第75頁(yè)第75頁(yè)4.3幾種典型公理系統(tǒng)簡(jiǎn)介 二、集合論公理系統(tǒng)ZFC公理系統(tǒng) 1、ZFC公理系統(tǒng)形成簡(jiǎn)介策梅羅(德, 1871-1953)費(fèi)蘭克爾(德 , 1891-1965) 斯克朗(挪, 1887-1963) 第76頁(yè)第76頁(yè)4.3幾種典型公理系統(tǒng)簡(jiǎn)介 2、ZFC公理系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖 集合論公理系統(tǒng) 基本公理 基本關(guān)系 基本對(duì)象“集”及其“元素”“集”及它“元素”從屬關(guān)系“ ” 外延公理 、空集公理對(duì)偶公理 、并集公

43、理子集公理 、冪集公理無(wú)窮公理 、正則公理代換公理 、選擇公理 第77頁(yè)第77頁(yè)4.3幾種典型公理系統(tǒng)簡(jiǎn)介 3、ZFC公理系統(tǒng)特點(diǎn)、意義和作用 首先，ZFC公理系統(tǒng)是一個(gè)完全形式化抽象公理系統(tǒng)，也就是說(shuō)它結(jié)構(gòu)表示形式完全已符號(hào)化。 比如，外延公理： 另一方面，ZFC十條公理可概括為三類：即外延原則，它主要作用是確保集合唯一性；概括原則，它主要作用是處理結(jié)構(gòu)集合問(wèn)題；選擇原則，它主要作用是處理選擇集合問(wèn)題。 即:假如兩個(gè)集合A與B包括有完全相同元素，則它們必相等. 第78頁(yè)第78頁(yè)4.3幾種典型公理系統(tǒng)簡(jiǎn)介 最后，ZFC公理系統(tǒng)為分析學(xué)奠定了嚴(yán)格地理論基礎(chǔ)。比如在無(wú)窮公理和并集公理基礎(chǔ)上能夠嚴(yán)格

44、建立自然數(shù)、自然數(shù)集合及自然數(shù)理論；在冪集公理基礎(chǔ)上能夠引出實(shí)數(shù)系；在子集公理基礎(chǔ)上能夠討論實(shí)數(shù)任何子集及其性質(zhì)等。由此可見，只要ZFC公理系統(tǒng)無(wú)矛盾，那么實(shí)數(shù)理論也就無(wú)矛盾。然而，盡管至今ZFC公理系統(tǒng)尚未發(fā)覺矛盾，但這種無(wú)矛盾性還沒(méi)有得到嚴(yán)格理論證實(shí)。并且依據(jù)哥德爾不完全性定理，ZFC公理系統(tǒng)本身不也許證實(shí)自己是無(wú)矛盾，即它無(wú)矛盾性只有借助外系統(tǒng)來(lái)證實(shí)。第79頁(yè)第79頁(yè)4.3幾種典型公理系統(tǒng)簡(jiǎn)介 三、自然數(shù)公理系統(tǒng) 1、自然數(shù)公理化提出 數(shù)學(xué)顧名思義是一門研究數(shù)科學(xué)，人們皆知自然數(shù)來(lái)自實(shí)踐，并且是數(shù)學(xué)起步點(diǎn)。然而，由自然數(shù)產(chǎn)生直到十九世紀(jì)末，在這個(gè)漫長(zhǎng)歷史時(shí)期卻很少有些人對(duì)自然數(shù)理論奠基工

45、作進(jìn)行過(guò)專門研究。只有到了近代，由于公理化相容性研究及數(shù)學(xué)中悖論出現(xiàn)，才迫使人們反過(guò)頭來(lái)進(jìn)一步研究數(shù)學(xué)起點(diǎn)，即自然數(shù)理論奠基工作，尋求建立自然數(shù)公理化辦法。 第80頁(yè)第80頁(yè)4.3幾種典型公理系統(tǒng)簡(jiǎn)介 自然數(shù)公理化辦法建立有幾種類型，其中最著名是意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾在他1889年發(fā)表算術(shù)原理：新敘述辦法中所提出公理化辦法。 皮亞諾(意, 1858-1932)第81頁(yè)第81頁(yè)4.3幾種典型公理系統(tǒng)簡(jiǎn)介 自然數(shù)公理化辦法建立有幾種類型，其中最著名是意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾在他1889年發(fā)表算術(shù)原理：新敘述辦法中所提出公理化辦法。 2、皮亞諾自然數(shù)公理系統(tǒng) （1）原始（或基本）概念。 （i） 原始對(duì)象：自然

46、數(shù)1、自然數(shù)集。 （ii）原始關(guān)系：后繼數(shù)（比如3是2后繼數(shù)）或后繼函數(shù)。 第82頁(yè)第82頁(yè)4.3幾種典型公理系統(tǒng)簡(jiǎn)介 （2）公理組 （i）每個(gè)自然數(shù)x都有直接后繼它數(shù)。即 這條公理表明，自然數(shù)含有離散性，此性質(zhì)是自然數(shù)一個(gè)主要特性。 （ii）1不是任何自然數(shù)后繼數(shù)。即 這條公理確保了自然數(shù)集有首元素，即自然數(shù)集是一個(gè)良序集。 第83頁(yè)第83頁(yè)4.3幾種典型公理系統(tǒng)簡(jiǎn)介 （iii）每一個(gè)自然數(shù)不存在多于一個(gè)直接后繼它自然數(shù)。即 （iv）每一個(gè)自然數(shù)都不直接后繼多于一個(gè)自然數(shù)，即第84頁(yè)第84頁(yè)4.3幾種典型公理系統(tǒng)簡(jiǎn)介 此公理稱為歸納公理，它是數(shù)學(xué)歸納法基礎(chǔ)和依據(jù)。建立在自然數(shù)歸納公理基礎(chǔ)上數(shù)

47、學(xué)歸納法主要邏輯特性是，將一個(gè)無(wú)窮歸納過(guò)程轉(zhuǎn)化為一個(gè)有限環(huán)節(jié)演繹過(guò)程.（v）任何一個(gè)自然數(shù)集 ，若含有性質(zhì)：a） ； b）假如 ，那么 則自然數(shù)集 包括了所有自然數(shù)。也就是說(shuō)自然數(shù)集 與自然數(shù)集 相等。第85頁(yè)第85頁(yè)4.3幾種典型公理系統(tǒng)簡(jiǎn)介 3、對(duì)皮亞諾公理系統(tǒng)邏輯特性補(bǔ)充闡明 前面我們?cè)岬竭^(guò)哥德爾不完備性定理，從理論上證實(shí)了皮亞諾公理系統(tǒng)是一個(gè)不完備公理系統(tǒng)，最近英國(guó)青年數(shù)學(xué)家巴黎斯等人，在組合論中發(fā)覺了皮亞諾公理系統(tǒng)中既不能必定又不能否認(rèn)一個(gè)純正組合問(wèn)題，從而也就為哥德爾不完全備定理找到了一個(gè)詳細(xì)實(shí)例。 哥德爾不完全定理還告訴我們，皮亞諾算術(shù)公理系統(tǒng)相容性在本系統(tǒng)內(nèi)通過(guò)有限環(huán)節(jié)是無(wú)法

48、證實(shí)。但是，數(shù)理邏輯學(xué)家甘岑在放寬條件下，即在皮亞諾公理系統(tǒng)外，依據(jù)超窮歸納法用超窮環(huán)節(jié)證實(shí)了皮亞諾公理系統(tǒng)相容性。 第86頁(yè)第86頁(yè)4.4 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)辦法一、結(jié)構(gòu)辦法簡(jiǎn)述 19世紀(jì)至20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)得到了前所未有高速發(fā)展，研究領(lǐng)域越來(lái)越廣，數(shù)學(xué)這棵生長(zhǎng)樹越長(zhǎng)越茂密，樹岔越分越細(xì)，從而數(shù)學(xué)顯得越來(lái)越龐雜無(wú)序，使得即便是造詣高深數(shù)學(xué)家也無(wú)法全局把握、透視，面對(duì)這種發(fā)展趨勢(shì)，于是數(shù)學(xué)界一個(gè)故意義課題就應(yīng)運(yùn)而生，那就是，用統(tǒng)一觀點(diǎn)去處理這“龐雜”內(nèi)容，使之“有序”。第87頁(yè)第87頁(yè)4.4 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)辦法 對(duì)于數(shù)學(xué)局部?jī)?nèi)容，這個(gè)想法是能夠?qū)崿F(xiàn)，如希爾伯特幾何基礎(chǔ)、范德瓦爾登近世代數(shù)出版；ZFC集合論公理系

49、統(tǒng)問(wèn)世；德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊茵利用“群論”觀點(diǎn)統(tǒng)一處理了各種幾何學(xué)（此即愛爾朗根大綱），美國(guó)數(shù)學(xué)家伯克霍夫用“格”概念統(tǒng)一處理了代數(shù)系統(tǒng)理論。那么，對(duì)于整個(gè)數(shù)學(xué)而言，能否采用某種統(tǒng)一觀點(diǎn)將其重新整理呢？第88頁(yè)第88頁(yè)4.4 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)辦法 20世紀(jì)初，法國(guó)一批杰出年輕數(shù)學(xué)家在愛爾朗根計(jì)劃啟示下，于1933年成立了以尼古拉布爾巴基為名數(shù)學(xué)家集體，其行動(dòng)目的就是從整個(gè)數(shù)學(xué)全局出發(fā)，以集合論為基礎(chǔ)，利用形式公理化辦法，重新整理各個(gè)數(shù)學(xué)分支，從內(nèi)容結(jié)構(gòu)上給以徹底改造。其基本出發(fā)點(diǎn)是：數(shù)學(xué)是研究形式結(jié)構(gòu)科學(xué)，數(shù)學(xué)各分支應(yīng)能按結(jié)構(gòu)性質(zhì)來(lái)統(tǒng)一分割和歸類。第89頁(yè)第89頁(yè)4.4 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)辦法 數(shù)學(xué)大師A.博雷爾(A

50、rmand Borel)在回顧參與布爾巴基活動(dòng)往事時(shí)說(shuō)：“布爾巴基并沒(méi)有實(shí)現(xiàn)他所有夢(mèng)想，達(dá)成所有目的。在我看來(lái)，這已經(jīng)足夠了。在培植數(shù)學(xué)整體觀念、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)統(tǒng)一性、敘述風(fēng)格、符號(hào)選擇等等方面，對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了持久影響。”“在我心中永遠(yuǎn)保留回想是，數(shù)學(xué)家們多年無(wú)私合作，各不相同個(gè)性能朝向共同目的，在數(shù)學(xué)史上也許是絕無(wú)僅有?！钡?0頁(yè)第90頁(yè)4.4 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)辦法 那些流淌著青春學(xué)術(shù)激情，那些靈光四射智慧火焰，真理在“瘋子們”激辯中蕩漾著七彩光輝這種學(xué)術(shù)上原生態(tài)情況，使布爾巴基學(xué)派在很長(zhǎng)時(shí)間里保持著旺盛創(chuàng)造力，哺育了眾多泰斗級(jí)數(shù)學(xué)精英，主要組員中不斷有些人取得沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)和菲爾茲獎(jiǎng)其主要組員先后有讓迪

51、多內(nèi)、安德列韋伊和亨利嘉當(dāng)（以上兩人為沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)得主），克勞德謝瓦萊、勞倫特施瓦茲、亞利山大格羅申第克和讓皮埃爾塞爾（后三人均曾獲菲爾茲獎(jiǎng)）等 第91頁(yè)第91頁(yè) H. 嘉當(dāng)(法, 1904- )布爾巴基學(xué)派(法, 1935- )迪多內(nèi)(法, 1906- 1992)謝瓦萊(法, 1909-1984) 德爾薩特(法, 1903-1968) 韋伊(法, 1906-1998)第92頁(yè)第92頁(yè)4.4 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)辦法 這個(gè)集體不但要求正式組員數(shù)學(xué)素質(zhì)要好，善于創(chuàng)新，并且年齡不能超出50歲，他們經(jīng)常組織討論班和研究會(huì)，集思廣益，協(xié)作摸索，1936年正式向法國(guó)政府申請(qǐng)科學(xué)基金，并以布爾巴基名義發(fā)表眾多結(jié)果和出

52、版系列專著數(shù)學(xué)原理，他們著作獨(dú)特觀點(diǎn)和風(fēng)格贏得了布爾巴基學(xué)派稱號(hào)，其思想即是結(jié)構(gòu)主義，是用結(jié)構(gòu)辦法處理數(shù)學(xué)。詳細(xì)說(shuō)來(lái)就是，利用形式公理法化辦法抽象出各種數(shù)學(xué)分支各種結(jié)構(gòu)，找出各數(shù)學(xué)分支之間結(jié)構(gòu)差別，從而取得各數(shù)學(xué)分支間內(nèi)在關(guān)聯(lián)清楚圖象。 第93頁(yè)第93頁(yè)4.4 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)辦法 顯然，結(jié)構(gòu)主義能夠看作是當(dāng)代形式公理辦法一個(gè)發(fā)展，由于，形式公理化辦法是著眼于某一門數(shù)學(xué)形式公理化或者結(jié)構(gòu)化；結(jié)構(gòu)主義思想辦法則是以當(dāng)代形式公理化辦法為工具，著眼于整個(gè)數(shù)學(xué)全局去看待各個(gè)數(shù)學(xué)分支，即不但要在數(shù)學(xué)大范圍內(nèi)分析研究每一門數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，并且還要分析研究各數(shù)學(xué)分支之間結(jié)構(gòu)差別及其內(nèi)在聯(lián)系。第94頁(yè)第94頁(yè)4.4 數(shù)學(xué)結(jié)

53、構(gòu)辦法 布爾巴基學(xué)派在集合論基礎(chǔ)上,首先經(jīng)過(guò)抽象分析法，建立了三種基本結(jié)構(gòu)，也稱母結(jié)構(gòu)，即代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓樸結(jié)構(gòu)，然后以這三個(gè)母結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，按照結(jié)構(gòu)之間“不同”關(guān)系，交叉產(chǎn)生新結(jié)構(gòu)，從而，使得數(shù)學(xué)由一個(gè)分支結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)移到另一個(gè)分支結(jié)構(gòu)，有層次地一直延伸出去，形成整個(gè)數(shù)學(xué)。第95頁(yè)第95頁(yè)4.4 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)辦法集合論代數(shù)結(jié)構(gòu)序結(jié)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)布爾代數(shù)結(jié)構(gòu)分析結(jié)構(gòu)序拓?fù)浣Y(jié)構(gòu) 結(jié)構(gòu)層次框圖下列:第96頁(yè)第96頁(yè)4.4 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)辦法 正如他們所說(shuō)：“數(shù)學(xué)好比一座大都市，都市中心有些巨大建筑物，就好比是一個(gè)個(gè)已經(jīng)建成數(shù)學(xué)理論體系，都市郊區(qū)正在不斷地并且多少有點(diǎn)雜亂無(wú)章地向外伸展，他們就仿佛是一些尚未發(fā)育成型正

54、在成長(zhǎng)著數(shù)學(xué)分支，與此同加時(shí)，市中心又在時(shí)時(shí)重建，每次都是依據(jù)構(gòu)思更清楚計(jì)劃和愈加合理布局，在拆毀掉舊迷宮似斷街小巷同時(shí)，將修筑起新更直、更寬、愈加以便林蔭大道通向四方，”。第97頁(yè)第97頁(yè)4.4 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)辦法 二、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)介 一個(gè)抽象集合但是是一組元素而已，無(wú)所謂結(jié)構(gòu)。但引進(jìn)了運(yùn)算和變換，就形成了結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)中必須包括元素間關(guān)系，這些關(guān)系通常是由運(yùn)算或變換聯(lián)系著。 1、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)詳細(xì)實(shí)例 下面以抽象群理論來(lái)詳細(xì)闡明結(jié)構(gòu)是如何產(chǎn)生和如何擬定一個(gè)結(jié)構(gòu)。 第98頁(yè)第98頁(yè)4.4 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)辦法首先讓我們考察三種運(yùn)算： （1）實(shí)數(shù)加法：實(shí)數(shù)和按通常辦法擬定。 （2）整數(shù)“按模素?cái)?shù) ”乘法 ：兩數(shù)“乘積”

55、定義為兩數(shù)通常乘積除以 余數(shù)。 （3）在三維歐氏空間中位移“合成”：兩個(gè)位移（按這個(gè)順序）“合成”（或“乘積”）定義為執(zhí)行第一個(gè)位移后再執(zhí)行第二個(gè)位移所得到位移。第99頁(yè)第99頁(yè)4.4 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)辦法 在三種不同運(yùn)算中，用統(tǒng)一符號(hào)“ ”表示運(yùn)算，用 表示兩個(gè)元素 經(jīng)過(guò)運(yùn)算后確定第三個(gè)元素，那么詳細(xì)分析這三種不同運(yùn)算“運(yùn)算性質(zhì)”，會(huì)發(fā)覺它們之間含有一個(gè)“顯著平行性”（即類似性、對(duì)應(yīng)性）。從中能夠選出相互獨(dú)立少數(shù)幾個(gè)性質(zhì)作為這三種運(yùn)算“共同性質(zhì)”。如第100頁(yè)第100頁(yè)4.4 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)辦法（i）對(duì)于所有元素 有(ii)存在一個(gè)元素 ，使得對(duì)于每一個(gè)元素 ，有(iii) 相應(yīng)于每一元素 ，存在一個(gè)元素

56、 ，使得第101頁(yè)第101頁(yè)4.4 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)辦法 由此看出記號(hào) 能夠用相同方式表示它們，對(duì)這三種不同運(yùn)算，借助于統(tǒng)一之間“平行”運(yùn)算性質(zhì)。這種表示優(yōu)點(diǎn)在于，在推理過(guò)程中無(wú)須考慮元素性質(zhì)，唯一需要關(guān)心是，元素運(yùn)算 含有性質(zhì)“(i)、(ii)、(iii)”這個(gè)前提。這么，就能夠引出對(duì)應(yīng)運(yùn)算結(jié)構(gòu)。第102頁(yè)第102頁(yè)4.4 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)辦法 群結(jié)構(gòu)就是在某一集合中擬定了某種運(yùn)算，且含有三個(gè)性質(zhì)(i)、(ii)、(iii)一個(gè)結(jié)構(gòu)。其中性質(zhì)(i)、(ii)、(iii)叫做群結(jié)構(gòu)公理，展開這些公理推論就構(gòu)成群理論。顯然，群理論較之“實(shí)數(shù)加”、“整數(shù)模”、“位移合成”等理論概括得多，它適合于這三者中任一個(gè)。這

57、就是研究結(jié)構(gòu)意義之所在。 由上述分析看出，詳細(xì)而言結(jié)構(gòu)是集合中元素間滿足一定條件（公理）某種關(guān)系，一個(gè)抽象集合只但是是一組元素而已，無(wú)所謂結(jié)構(gòu)，但引進(jìn)了關(guān)系，就形成了結(jié)構(gòu)。因此，關(guān)系是主要，它就代表一個(gè)結(jié)構(gòu)。第103頁(yè)第103頁(yè)4.4 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)辦法比如，是表為，還是這沒(méi)有區(qū)別。但對(duì)于積集合 ，這些元素就互相有區(qū)別了。第104頁(yè)第104頁(yè)4.4 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)辦法2、三種基本數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)介(1) 代數(shù)結(jié)構(gòu) 所謂非空集X中n元代數(shù)運(yùn)算指 到 一個(gè)映射其中n叫做運(yùn)算階。最慣用代數(shù)運(yùn)算是二元代數(shù)運(yùn)算，也即習(xí)慣上代數(shù)運(yùn)算。第105頁(yè)第105頁(yè)4.4 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)辦法 序?qū)?在代數(shù)運(yùn)算 下象記作 ，顯然， 中二元代數(shù)

58、運(yùn)算 給出了 中一個(gè)三元關(guān)系： 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，三元序組滿足這個(gè)關(guān)系。而三元序組 集合是笛卡爾積 子集，故二元運(yùn)算能夠視為一個(gè)結(jié)構(gòu)。 若非空集 中代數(shù)運(yùn)算記為 ，則序?qū)头Q為一個(gè)代數(shù)，即定義了運(yùn)算集合。第106頁(yè)第106頁(yè)4.4 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)辦法 代數(shù)例子很多，假如再給代數(shù)加上一定公理，那它就組成各種不同代數(shù)結(jié)構(gòu)。如加上群公理、環(huán)公理、域公理等就分別組成群、環(huán)、域等常見代數(shù)結(jié)構(gòu)。 再以群為例詳細(xì)說(shuō)明之；第107頁(yè)第107頁(yè)4.4 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)辦法例、群結(jié)構(gòu) 二元序?qū)?稱為群，是指它滿足下列公理：（1） 中元素關(guān)于代數(shù)運(yùn)算滿足結(jié)合律，即 ，有（2） 中存單位元 ：即 ,使 ，有 （3） 中每一個(gè)元素，都在

59、 中存在逆元，即 第108頁(yè)第108頁(yè) 可見，群也就是在其上定義了滿足上述公理二元代數(shù)運(yùn)算非空集合。 代數(shù)結(jié)構(gòu)是由離散性對(duì)象、運(yùn)算關(guān)系及其公理組所構(gòu)成結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。 （2）序結(jié)構(gòu) 常見序結(jié)構(gòu)有兩種：半序結(jié)構(gòu)和全序結(jié)構(gòu)，建立了這兩種序結(jié)構(gòu)集分別稱為半序集和全序集（也稱半序結(jié)構(gòu)和全序結(jié)構(gòu)）。 4.4 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)辦法第109頁(yè)第109頁(yè)4.4 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)辦法 半序集：假如元素之間定義了一個(gè)關(guān)系“”，它滿足下列公理： （i）自反性，對(duì)中一切元素 ,有 (ii) 反對(duì)稱性，若 則 （iii）傳遞性，若 則 則稱為半序集，這個(gè)關(guān)系為半序關(guān)系。第110頁(yè)第110頁(yè)4.4 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)辦法 比如 自然數(shù)集中整除關(guān)系是半序

60、關(guān)系，由于n能被本身整除；若n能整除m,m能整除n,則m=n;若n能整除m,m能整除r,則n也能整除r,故自然數(shù)集是一個(gè)半序結(jié)構(gòu)。 全序集：滿足下列可比性條件（iv）半序集稱為全序集； (iv)中任意兩個(gè)元素 或至少有一個(gè)成立。第111頁(yè)第111頁(yè)4.4 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)辦法 比如 一冪集中包括關(guān)系不含有可比性，故不是全序集。 又如 不難驗(yàn)證，數(shù)集 ，關(guān)于整除關(guān)系構(gòu)成一全序結(jié)構(gòu)。但自然數(shù)集關(guān)于整除關(guān)系不構(gòu)成全序結(jié)構(gòu)。 又如 自然數(shù)集關(guān)于“”關(guān)系構(gòu)成一全序結(jié)構(gòu)。 可見，序結(jié)構(gòu)是由對(duì)象集、順序關(guān)系及其公理組所構(gòu)成結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。第112頁(yè)第112頁(yè)4.4 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)辦法（）拓?fù)浣Y(jié)構(gòu) 為了在普通意義下引進(jìn)拓?fù)涓拍睿?/p>