1、高中函數(shù)定義域和值域的求法總結(jié)一、慣例型即給出函數(shù)的分析式的定義域求法，其解法是由分析式存心義列出對于自變量的不等式或不等式組，解此不等式（或組）即得原函數(shù)的定義域。例1求函數(shù)yx22x15|x3|8的定義域。解：要使函數(shù)存心義，則一定知足x22x150|x3|80由解得x3或x5。由解得x5或x11和求交集得x3且x11或x5。故所求函數(shù)的定義域為x|x3且x11x|x5。例2求函數(shù)ysinx1的定義域。16x2解：要使函數(shù)存心義，則一定知足sinx016x20由解得2kx2k，kZ由解得4x4由和求公共部分，得4x或0 x故函數(shù)的定義域為(4，(0，評注：和如何求公共部分？你會嗎？二、抽象

2、函數(shù)型抽象函數(shù)是指沒有給出分析式的函數(shù)，不可以慣例方法求解，一般表示為已知一個抽象函數(shù)的定義域求另一個抽象函數(shù)的分析式，一般有兩種狀況。（1）已知f(x)的定義域，求fg(x)的定義域。（2）其解法是：已知f(x)的定義域是a，b求fg(x)的定義域是解ag(x)b，即為所求的定義域。例3已知f(x)的定義域為2，2，求f(x21)的定義域。解：令2x212，得1x23，即0 x23，所以0|x|3，進而3x3，故函數(shù)的定義域是x|3x3。（2）已知fg(x)的定義域，求f(x)的定義域。其解法是：已知fg(x)的定義域是a，b，求f(x)定義域的方法是：由axb，求g(x)的值域，即所求f(

3、x)的定義域。例4已知f(2x1)的定義域為1，2，求f(x)的定義域。解：由于1x2，22x4，32x15。即函數(shù)f(x)的定義域是x|3x5。三、逆向型即已知所給函數(shù)的定義域求分析式中參數(shù)的取值范圍。特別是對于已知定義域為R，求參數(shù)的范圍問題往常是轉(zhuǎn)變成恒建立問題來解決。例5已知函數(shù)ymx26mxm8的定義域為R務(wù)實數(shù)m的取值范圍。剖析：函數(shù)的定義域為R，表示mx26mx8m0，使全部xR都建立，由x2項的系數(shù)是m，所以應(yīng)分m=0或m0進行議論。解：當(dāng)m=0時，函數(shù)的定義域為R；當(dāng)m0時，mx26mxm80是二次不等式，其對一確實數(shù)x都建立的充要條件是m0(6m)24m(m8)00m1綜上

4、可知0m1。評注：許多學(xué)生簡單忽視m=0的狀況，希望經(jīng)過此例解決問題。例6已知函數(shù)f(x)kx7的定義域是R，務(wù)實數(shù)k的取值范圍。4kxkx23解：要使函數(shù)存心義，則一定kx24kx30恒建立，由于f(x)的定義域為R，即kx24kx30無實數(shù)3當(dāng)k0時，16k243k0恒建立，解得0k；當(dāng)k=0時，方程左側(cè)=30恒建立。4綜上k的取值范圍是0k3。4四、實質(zhì)問題型這里函數(shù)的定義域除知足分析式外，還要注意問題的實質(zhì)意義對自變量的限制，這點要加倍注意，并形成意識。例7將長為a的鐵絲折成矩形，求矩形面積y對于一邊長x的函數(shù)的分析式，并求函數(shù)的定義域。解：設(shè)矩形一邊為x，則另一邊長為1(a2x)于是

5、可得矩形面積。1(a1ax2yx2x)x222x21ax。2由問題的實質(zhì)意義，知函數(shù)的定義域應(yīng)知足x0 x01(a2x)0a2x020 xa。2x21ax，定義域為（0，a）。故所求函數(shù)的分析式為y22例8用長為L的鐵絲彎成下部為矩形上部為半圓的框架，如圖，若矩形底邊長為2x，求此框架圍成的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求定義域。解：由題意知，此框架圍成的面積是由一個矩形和一個半圓構(gòu)成的圖形的面積，如圖。由于CD=AB=2x，所以CDx，所以ADLABCDL2xx，x222故y2xL2xx22(2)x2Lx2依據(jù)實質(zhì)問題的意義知2x0LL2xx0 x022故函數(shù)的分析式為y(2)x2Lx，定義域（

6、，L）。202五、參數(shù)型對于含參數(shù)的函數(shù)，求定義域時，一定對分母分類議論。例9已知f(x)的定義域為0，1，求函數(shù)F(x)f(xa)f(xa)的定義域。解：由于f(x)的定義域為0，1，即0 x1。故函數(shù)F(x)的定義域為以下不等式組的解集：0 xa1，即ax1a0 xa1ax1a即兩個區(qū)間a，1a與a，1+a的交集，比較兩個區(qū)間左、右端點，知（1）當(dāng)1a0Fx）的定義域為x|ax1a；2時，（1（2）當(dāng)0ax1a；時，F(xiàn)（x）的定義域為x|a121（3）當(dāng)a或a時，上述兩區(qū)間的交集為空集，此時F（x）不可以構(gòu)成函數(shù)。22六、隱含型有些問題從表面上看其實不求定義域，可是不注意定義域，常常致使錯

7、解，事實上定義域隱含在問題中，比如函數(shù)的單一區(qū)間是其定義域的子集。所以，求函數(shù)的單一區(qū)間，一定先求定義域。例10求函數(shù)ylog2(x22x3)的單一區(qū)間。解：由x22x30，即x22x30，解得1x3。即函數(shù)y的定義域為（1，3）。函數(shù)ylog2(x22x3)是由函數(shù)ylog2t，tx22x3復(fù)合而成的。tx22x3(x1)24，對稱軸x=1，由二次函數(shù)的單一性，可知t在區(qū)間(，1上是增函數(shù)；在區(qū)間1，)上是減函數(shù)，而ylog2t在其定義域上單一增；(1，3)(，1(1，1，(1，3)1，)1，3)，所以函數(shù)ylog2(x22x3)在區(qū)間(1，1上是增函數(shù)，在區(qū)間1，3)上是減函數(shù)。函數(shù)值域求

8、法十一種直接察看法對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可經(jīng)過察看獲得。1y例1.求函數(shù)x的值域。10 x明顯函數(shù)的值域是：(,0)(0,)例2.求函數(shù)y3x的值域。解：x0 x0,3x3故函數(shù)的值域是：,3配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。例3.求函數(shù)yx22x5,x1,2的值域。解：將函數(shù)配方得：y(x1)24x1,2由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=1時，ymin故函數(shù)的值域是：4，83.鑒別式法1xx2y1x2的值域。例4.求函數(shù)解：原函數(shù)化為對于x的一元二次方程(y1)x2(y1)x0（1）當(dāng)y1時，xR(1)24(y1)(y1)013解得：2y213（2）當(dāng)y=1時，x1,0，而22

9、3,故函數(shù)的值域為22例5.求函數(shù)yxx(2x)的值域。解：兩邊平方整理得：2x22(y1)xy2xR4(y1)28y04，當(dāng)x1時，ymax8（1）解得：12y12但此時的函數(shù)的定義域由x(2x)0，得0 x22x22(y1)xy20在實數(shù)集R有實根，由0，僅保證對于x的方程：而不可以保證其實根在區(qū)間0，2上，即不可以保證方程（1）有實根，由013,求出的范圍可能比y的實質(zhì)范圍大，故不可以確立此函數(shù)的值域為22。能夠采納以下方法進一步確立原函數(shù)的值域。0 x2yxx(2x)0ymin0,y12代入方程（1）22242解得：x120,2x1222422時，即當(dāng)原函數(shù)的值域為：0,12注：由鑒別

10、式法來判斷函數(shù)的值域時，若原函數(shù)的定義域不是實數(shù)集時，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域，將擴大的部分剔除。反函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難時，能夠經(jīng)過求其原函數(shù)的定義域來確立原函數(shù)的值域。3x4例6.求函數(shù)5x6值域。x46y解：由原函數(shù)式可得：5y3則其反函數(shù)為：y46y，其定義域為：x35x35,3故所求函數(shù)的值域為：5函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時，能夠利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，反賓為主來確立函數(shù)的值域。ex1y1的值域。例7.求函數(shù)exexy1解：由原函數(shù)式可得：y1ex0y1y10解得：1y1故所求函數(shù)的值域為(1,1)cosx例8.求函數(shù)ysinx3的值域。解：由原函數(shù)式可得：ysinxcosx3

11、y，可化為：y21sinx(x)3ysinx(x)3yy21即xRsinx(x)1,113y1即y212y2解得：442,2故函數(shù)的值域為446.函數(shù)單一性法例9.求函數(shù)y2x5log3x1(2x10)的值域。解：令y12x5,y2log3x1則y1,y2在2，10上都是增函數(shù)所以yy1y2在2，10上是增函數(shù)當(dāng)x=2時，ymin23log32118當(dāng)x=10時，ymax25log39331,33故所求函數(shù)的值域為：8例10.求函數(shù)yx1x1的值域。2y解：原函數(shù)可化為：x1x1令y1x1,y2x1，明顯y1,y2在1,上為無上界的增函數(shù)所以yy1，y2在1,上也為無上界的增函數(shù)22所以當(dāng)x=

12、1時，yy1y2有最小值2，原函數(shù)有最大值2明顯y0，故原函數(shù)的值域為(0,2換元法經(jīng)過簡單的換元把一個函數(shù)變成簡單函數(shù)，其題型特點是函數(shù)分析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中相同發(fā)揮作用。例11.求函數(shù)yxx1的值域。解：令x1t，(t0)則xt21yt2t1(t1)2324又t0，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)t0時，ymin1當(dāng)t0時，y故函數(shù)的值域為1,)例12.求函數(shù)yx21(x1)2的值域。解：因1(x1)20即(x1)21故可令x1cos,0,ycos11cos2sincos12sin()140,05442)1sin(2402sin()1

13、124故所求函數(shù)的值域為0,12yx3x例13.求函數(shù)x42x21的值域。y12x1x2解：原函數(shù)可變形為：21x21x22xsin21x22可令xtg，則有1x2,x2cos1y1sin2cos21sin424k8時，ymax1當(dāng)24k8時，ymin1當(dāng)24而此時tan存心義。故所求函數(shù)的值域為1,144例14.求函數(shù)yx,的值域。(sinx1)(cosx1)，122解：y(sinx1)(cosx1)sinxcosxsinxcosx1令sinxcosxt，則sinxcosx1(t21)2y1(t21)t11(t1)222由tsinxcosx2sin(x/4)x,且1222t2可得：2ymax

14、32t232當(dāng)t2時，2y42，當(dāng)2時，32,32故所求函數(shù)的值域為422。例15.求函數(shù)yx45x2的值域。解：由5x20，可得|x|5故可令x5cos,0,y5cos45sin10sin()4405444當(dāng)/4時，ymax410當(dāng)時，ymin45故所求函數(shù)的值域為：45,410數(shù)形聯(lián)合法其題型是函數(shù)分析式擁有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這種題目若運用數(shù)形聯(lián)合法，常常會更為簡單，了如指掌，心曠神怡。例16.求函數(shù)y(x2)2(x8)2的值域。解：原函數(shù)可化簡得：y|x2|x8|上式能夠當(dāng)作數(shù)軸上點P（x）到定點A（2），B(8)間的距離之和。由上圖可知，當(dāng)點P在線段AB

15、上時，y|x2|x8|AB|10y|x2|x8|AB|10當(dāng)點P在線段AB的延伸線或反向延伸線上時，故所求函數(shù)的值域為：10,例17.求函數(shù)yx26x13x24x5的值域。解：原函數(shù)可變形為：y(x3)2(02)2(x2)2(01)2上式可當(dāng)作x軸上的點P(x,0)到兩定點A(3,2),B(2,1)的距離之和，由圖可知當(dāng)點P為線段與x軸的交點時，ymin|AB|(32)2(21)243，故所求函數(shù)的值域為43,例18.求函數(shù)yx26x13x24x5的值域。解：將函數(shù)變形為：y(x3)2(02)2(x2)2(01)2上式可當(dāng)作定點A（3，2）到點P（x，0）的距離與定點B(2,1)到點P(x,0

16、)的距離之差。即：y|AP|BP|由圖可知：（1）當(dāng)點P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點時，如點P，則構(gòu)成ABP，依據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有|AP|BP|AB|(32)2(21)226即：26y26（2）當(dāng)點P恰巧為直線AB與x軸的交點時，有|AP|BP|AB|26綜上所述，可知函數(shù)的值域為：(26,26注：由例17，18可知，求兩距離之和時，要將函數(shù)式變形，使A、B兩點在x軸的雙側(cè)，而求兩距離之差時，則要使A，B兩點在x軸的同側(cè)。如：例17的A，B兩點坐標(biāo)分別為：（3，2），(2,1)，在x軸的同側(cè)；例18的A，B兩點坐標(biāo)分別為（3，2），(2,1)，在x軸的同側(cè)。不等式法利用基本不

17、等式ab2ab,abc33abc(a,b,cR)，求函數(shù)的最值，其題型特點分析式是和式時要求積為定值，分析式是積時要乞降為定值，可是有時需要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。例19.求函數(shù)y(sinx1212sinx)(cosxcosx)4的值域。解：原函數(shù)變形為：y(sin2xcos2x)11sin2xcos2x1ces2xsec2x3tan2xcot2x33tan2xcot2x25當(dāng)且僅當(dāng)tanxcotx即當(dāng)xk4時(kz)，等號建立故原函數(shù)的值域為：5,)例20.求函數(shù)y2sinxsin2x的值域。解：y4sinxsinxcosx4sin2xcosxy16sin4xcos2x8sin2xs

18、in2x(22sin2x)8(sin2xsin2x22sin2x)/33642722當(dāng)且僅當(dāng)sin2x22sin2x，即當(dāng)sinx3時，等號建立。2648383由y27可得：y9983,83故原函數(shù)的值域為：99一一映照法axb原理：由于ycxd(c0)在定義域上x與y是一一對應(yīng)的。故兩個變量中，若知道一個變量范圍，就能夠求另一個變量范圍。3x例21.求函數(shù)y2x1的值域。解：定義域為x|x1或x122由y13xx1y2y32x1得x1y1x1y1故2y32或2y32解得y332或y2故函數(shù)的值域為,33,22多種方法綜合運用2例22.求函數(shù)yx3的值域。解：令tx2(t0)，則x3t21yt112112（1）當(dāng)ttt，當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即x0時，t1時取等號，1所以0y2162,17（2）當(dāng)t=0時，y=0。綜上所述，函數(shù)的值域為：注：先換