1、二次函數(shù)最值專題三亞市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 王迎春1（2010湖南常德）如圖9, 已知拋物線與軸交于A (4，0) 和 B(1，0)兩點(diǎn)，與軸交于C點(diǎn) （1）求此拋物線的解析式； （2）設(shè)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，作EF/AC交BC于F，連接CE， 當(dāng)CEF的面積是BEF面積的2倍時(shí)，求E點(diǎn)的坐標(biāo); （3）若P為拋物線上A、C兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作軸的平行線， 交AC于Q，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段PQ的值最大，并求此 時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)xyOBCA圖9xyOBCA圖9解：（1）由二次函數(shù) 與x軸交于A(-4,0)、B(1,0)兩點(diǎn)可得：解得：故所求二次函數(shù)的解析式為 xyOBCA圖9EFxyOBCA圖9PQx

2、yOBCA圖9PQ（3）解法一：由拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2） 若設(shè)直線AC的解析式為 ， 則有解得： 故直線的解析式為若設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，又點(diǎn)Q是過點(diǎn)P所作y軸的平行線與直線AC的交點(diǎn)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（則有： =即當(dāng) 時(shí)，線段PQ取大值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）。 解：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)C（0，3）C3， yax2+bx-3，又拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），對稱軸為x=1，所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式為yx22x-3（2）點(diǎn)A（1,0），對稱軸為x=1，點(diǎn)B（3，0） 設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，根據(jù)題意得 直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=x3，當(dāng)x=1時(shí)，y2， 點(diǎn)M的坐標(biāo)

3、為（1，2）（3）如圖，過點(diǎn)P作PDOC，設(shè)P（1，y），則PE|y|，DC3y，在RtPEB中，PB222+|y|24+y2，在RtPCD中PC212+|3y|210+6y+y2,在RtOBC中，BC232+3218，PCB90，PB2=PC2+BC2，4+y2=10+6y+y2+18，解得y=-4 P（1,-4）3.（2010 四川綿陽）如圖，拋物線y = ax2 + bx + 4與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（4，0）、B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為DE（1，2）為線段BC的中點(diǎn)，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）在直線EF上

4、求一點(diǎn)H，使CDH的周長最小，并求出最小周長；（3）若點(diǎn)K在x軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)K運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，EFK的面積最大？并求出最大面積CEDGAxyOBF解：（1）由題意，得 解得， b =1所以拋物線的解析式為 ，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1， ）CEDGAxyOBF2）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)M因?yàn)镋F垂直平分BC，即C關(guān)于直線EG的對稱點(diǎn)為B，連結(jié)BD交于EF于一點(diǎn)，則這一點(diǎn)為所求點(diǎn)H，使DH + CH最小，即最小為DH + CH = DH + HB = BD = 而 CDH的周長最小值為CD + DR + CH = 設(shè)直線BD的解析式為y = k1x + b，則 解得 ，b1 = 3 所

5、以直線BD的解析式為y = x + 3由于BC = 2 ，CE = BC2 = ，RtCEGCOB，得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5G（0，1.5）同理可求得直線EF的解析式為y = x + 聯(lián)立直線BD與EF的方程，解得使CDH的周長最小的點(diǎn)H（ ， ）CEDGAxyOBFHCEDGAxyOBFKN（3）設(shè)K（t， ），過K作x軸的垂線交EF于N則 KN = yKyN = （ t + ）= 所以 SEFK = SKFN + SKNE = KN（t + 3）+ KN（1t） = 2KN = t23t + 5 =（t + ）2 + 即當(dāng)t = 時(shí)，

6、EFK的面積最大，最大面積為 ，此時(shí)K（ ， ）4（2010河南）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A(-4，0)，B(0，一4)，C(2，0)三點(diǎn).(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，AMB的面積為S.求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值； (3)若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y=x上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能使以點(diǎn)P、Q、B、0為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo).AM3）滿足題意的Q點(diǎn)的坐標(biāo)有四個(gè)，分別是：（-4 ，4 ），（4 ，-4），（-2+ ，2 ）， （-2 ，2 ） 1.(2008 四川 廣安)如圖，已知拋物

7、線 經(jīng)過點(diǎn) （1，-5）和（-2，4）（1）求這條拋物線的解析式（2）設(shè)此拋物線與直線 相交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），平行于軸的直線 與拋物線交于點(diǎn)M，與直線 交于點(diǎn)N，交軸于點(diǎn)P，求線段MN的長（用含 的代數(shù)式表示）（3）在條件（2）的情況下，連接OM、BM，是否存在 的值，使BOM的面積S最大？若存在，請求出 的值，若不存在，請說明理由解：（1）由題意得 解得b2，c4 此拋物線的解析式為：yx22x42（2）由題意得解得點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，4)將xm代入yx條件得ym點(diǎn)的坐標(biāo)為（m , m）同理點(diǎn)的坐標(biāo)為（m , m22m4 ），點(diǎn)的坐標(biāo)為(m , 0 )PNm ,MP| m22m4

8、|MNPNMP解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)在RtEBF中,B=90，所以EF= .設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,n),其中n0,因?yàn)轫旤c(diǎn)F(1,2),所以設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)2+2(a0) 如圖1,當(dāng)EF=PF時(shí),EF2=PF2,所以12+(n-2)2=5,解得n1=0(舍去),n2=4,所以P(0,4),所以4=a(0-1)2+2,解得a=2,所以拋物線的解析式為y=2(x-1)2+2如圖2,當(dāng)EP=FP時(shí),EP2=FP2,所以(2-n)2+1=(1-n)2+9,解得n= (舍去) 當(dāng)EF=EP時(shí),EP= 3,這種情況不存在.綜上所述,符合條件的拋物線為y=2(x-1)2

9、+2 (3)存在點(diǎn)M、N,使得四邊形MNFE的周長最小如圖3,作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E/,作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)F/,連接E/F/,分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M、N,則點(diǎn)M、N就是所求.所以E/(3,-1)、F/(-1,2),NF=NF/,ME=ME/,所以BF/=4,BE/=3,所以FN+NM+ME=F/N+NM+ME/=F/E/= =5.又因?yàn)镋F= ,所以FN+MN+ME+EF=5+ ,此時(shí)四邊形MNFE的周長最小值為5+ .3. （山東德州市2010）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)(1)求此函數(shù)的解析式及圖象的對稱軸； (2)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)以每秒0.1

10、個(gè)單位的速度沿線段BC向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從O點(diǎn)出發(fā)以相同的速度沿線段OA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ABPQ為等腰梯形；設(shè)PQ與對稱軸的交點(diǎn)為M，過M點(diǎn)作x軸的平行線交AB于點(diǎn)N，設(shè)四邊形ANPQ的面積為S，求面積S關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)解析式，并指出t的取值范圍；當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值或最小值xyOABCPQMN第3題圖解：(1)二次函數(shù) 的圖象經(jīng)過點(diǎn)C(0，-3)，c =-3將點(diǎn)A(3，0)，B(2，-3)代入 得解得：a=1，b=-2 配方得： ，所以對稱軸為x=1 (2) 由題意可知：BP= OQ=0.1t點(diǎn)B，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等

11、，BCOA過點(diǎn)B，點(diǎn)P作BDOA，PEOA，垂足分別為D，E要使四邊形ABPQ為等腰梯形，只需PQ=AB即QE=AD=1又QE=OEOQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t，2-0.2t=1解得t=5即t=5秒時(shí)，四邊形ABPQ為等腰梯形 xyOABCPQDEGMNF設(shè)對稱軸與BC，x軸的交點(diǎn)分別為F，G對稱軸x=1是線段BC的垂直平分線，BF=CF=OG=1又BP=OQ，PF=QG又PMF=QMG，MFPMGQMF=MG點(diǎn)M為FG的中點(diǎn) S= = 由 = S= 又BC=2，OA=3，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，需要20秒0t20當(dāng)t=20秒時(shí)，面積S有最小值3 4. （2011年河南）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線 交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為8.（1）求該拋物線的解析式； （2）點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點(diǎn)D，作PEA