1、工程力學(xué)1.5力偶及其性質(zhì)1.5.1力偶與力偶矩一對(duì)等值、反向、不共線的平行力組成的力系稱為力偶。力偶用符號(hào)(F,F)表示，力偶中兩力之間的垂直距離稱為力偶臂。兩力作用線所決定的平面稱為力偶的作用平面。力偶對(duì)物體作用的外效應(yīng)是使物體單純地產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的變化。由實(shí)踐可知，在力偶的作用面內(nèi)，力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，取決于組成力偶兩反向平行力的大小F、力偶臂的大小以及力偶的轉(zhuǎn)向。在力學(xué)上，以F與的乘積冠以適當(dāng)?shù)恼?fù)號(hào)作為量度力偶在其作用面內(nèi)對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的物理量，稱為力偶矩，并記作M(F,F)或M。即M(F,F)=M=Fd （1-7）式中的正負(fù)號(hào)表示力偶的轉(zhuǎn)向。一般規(guī)定，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的力偶取正值，順時(shí)針

2、取負(fù)值。力偶矩的單位為Nm或Ncm或Nmm對(duì)于空間問(wèn)題，力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)還取決于力偶作用面的方向，它表示作用面在空間的位置及旋轉(zhuǎn)軸的方向；作用面方位由垂直于作用面的垂線指向來(lái)表征。凡空間相互平行的平面，它們的方位均相同。力偶矩的大小、力偶的轉(zhuǎn)向和力偶的作用面，稱為力偶的三要素。凡三要素相同的力偶則彼此等效，即它們可以置換，這一點(diǎn)不僅由力偶概念可以說(shuō)明，還可通過(guò)力偶的性質(zhì)進(jìn)一步證明。1.5.2力偶的性質(zhì)性質(zhì)1 力偶對(duì)其作用面內(nèi)任意點(diǎn)的力矩恒等于此力偶的力偶矩，而與矩心的位置無(wú)關(guān)。證明：設(shè)在剛體某平面上A、B兩點(diǎn)作用一力偶 ，現(xiàn)求此力偶對(duì)任意點(diǎn) 的力矩。取 表示矩心 到F之垂直距離，按力矩定義

3、，F(xiàn)與F對(duì) 點(diǎn)的力矩和為 即不論點(diǎn)選在何處，力偶對(duì)該點(diǎn)的矩永遠(yuǎn)等于它的力偶矩，而與力偶對(duì)矩心的相對(duì)距離位置無(wú)關(guān)。性質(zhì)2 力偶在任意坐標(biāo)軸上的投影之和為零（圖1-18），故力偶無(wú)合力，一個(gè)力偶不能與一個(gè)力等效，也不能用一個(gè)力來(lái)平衡。 力偶無(wú)合力，故力偶對(duì)物體的平移運(yùn)動(dòng)不會(huì)產(chǎn)生任何影響，力與力偶相互不能代替，不能構(gòu)成平衡。因此，可以將力與力偶同時(shí)看作構(gòu)成力系的兩種基本元素。 性質(zhì)3 力偶在它的作用面內(nèi)，可任意轉(zhuǎn)移位置，而不會(huì)改變它對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。 圖1-18 性質(zhì)4 力偶在不改變力偶矩大小和轉(zhuǎn)向的條件下，可同時(shí)改變力偶中兩反向平行力的大小、方向以及力偶臂的大小，而力偶的作用效應(yīng)不變。圖1-19a

4、、b、c中力偶的作用效應(yīng)都相同。力偶的力偶臂、力及其方向既然可改變，就可簡(jiǎn)明地以一個(gè)帶箭頭的弧線并標(biāo)出值來(lái)表示力偶，箭頭的指向表示力偶的轉(zhuǎn)向。如圖1-19d所示。圖1-191.6 力的平移定理由力的可傳性原理可知，作用于剛體上的力可沿其作用線在剛體內(nèi)移動(dòng)，而不改變其對(duì)剛體的作用效應(yīng)。但是，如果將作用在剛體上的力，從一點(diǎn)平行移動(dòng)到另一點(diǎn)，力對(duì)剛體的作用效應(yīng)將發(fā)生改變。圖1-20圖1-20描述了力向作用線以外一點(diǎn)的平移過(guò)程。欲將作用于剛體上A點(diǎn)的力F平移到平面上任一點(diǎn) （圖1-20（a），則可在 點(diǎn)施加一對(duì)與F等值的平衡力F、F（圖1-20（b），F(xiàn)與F平行、等值且反向，F(xiàn)稱為平移力，余下的F與F

5、為一對(duì)等值反向不共線的平行力，組成一個(gè)力偶，稱為附加力偶，其力偶矩等于原力F對(duì)點(diǎn)的力矩，即于是作用在A點(diǎn)上的F，就與作用于 點(diǎn)的平移力F和附加力偶 的聯(lián)合作用等效，如圖1-20（c）所示。由此可見(jiàn)：作用于剛體上的力，均可平移到同一剛體內(nèi)任一點(diǎn)，但同時(shí)附加一個(gè)力偶，其力偶矩等于原力對(duì)新作用點(diǎn)之矩。即為力的平移定理。1.7約束與約束反力1.7.1約束與約束反力如果物體在空間任何方向的運(yùn)動(dòng)都不受到其他物體的直接限制，這種物體稱為自由體，例如：飛行的飛機(jī)、炮彈、火箭等。如果物體的運(yùn)動(dòng)或運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)受到周圍物體的限制而不能任意運(yùn)動(dòng)，則稱這種物體為非自由體或受約束體。例如：列車受到軌道限制，只能沿軌道行駛；轉(zhuǎn)

6、軸受到軸承限制，只能繞軸心轉(zhuǎn)動(dòng)；活塞受氣缸壁的限制，只能在氣缸中做往復(fù)運(yùn)動(dòng)。限制物體運(yùn)動(dòng)的周圍物體，稱為約束。例如上面提到的鐵軌、軸承、氣缸分別是列車、轉(zhuǎn)軸、活塞的約束。約束限制了物體本來(lái)可能產(chǎn)生的某種運(yùn)動(dòng)，因此約束必然有力作用于該物體，這種力稱為約束反力，簡(jiǎn)稱反力。約束反力的方向總是與約束所能限制的運(yùn)動(dòng)或運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的方向相反，約束反力的作用點(diǎn)在約束與被約束物體的接觸處。1.7.2工程上常見(jiàn)的平面約束1.柔性約束由柔索、膠帶、鏈條等所形成的約束稱為柔性約束。這類約束只能限制物體沿柔索伸長(zhǎng)方向的運(yùn)動(dòng)，而不能限制其它方向的運(yùn)動(dòng)。因此，柔索的約束反力只能是拉力，其方向一定是沿著柔索中心線而背離物體，作

7、用在柔索與物體的連接點(diǎn)上。柔索的約束反力常用符號(hào)FT表示。2.光滑面約束兩物體相互接觸，如果接觸面非常光滑，摩擦力可以忽略不計(jì)，這種約束稱為光滑面約束。這種約束的特點(diǎn)是不論接觸表面的形狀如何，只能限制物體在接觸點(diǎn)沿接觸面公法線方向的運(yùn)動(dòng)，不能限制物體沿接觸面切線方向的運(yùn)動(dòng)。故約束反力只能是壓力，作用在接觸點(diǎn)，方向沿接觸面的公法線指向被約束物體。這種約束反力也常稱作法向反力，用符號(hào)FN表示。如圖1-24(a)所示，圓柱形工件放在V形槽內(nèi)，在A、B兩點(diǎn)與槽面接觸，其約束反力FNA、FNB沿接觸面公法線指向物體。如圖1-24（b）所示，工件放在凹槽內(nèi)，在A、B、C三點(diǎn)分別與槽作用，其約束反力FNA、

8、FNB、FNC均沿接觸面公法線指向工件。圖1-243.圓柱鉸鏈約束圓柱鉸鏈簡(jiǎn)稱柱鉸或鉸鏈。是指兩個(gè)構(gòu)件開(kāi)有同樣大小的圓孔，并用與圓孔直徑相同的光滑銷釘連接而構(gòu)成的約束，如圖1-25（a）、（c）所示。圓柱銷釘只能限制兩構(gòu)件的任意方向的移動(dòng)，而不限制兩構(gòu)件繞圓柱銷軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)。由于圓柱銷釘與圓柱孔是光滑曲面接觸，其本質(zhì)即為光滑面約束，約束反力應(yīng)沿接觸點(diǎn)的公法線（即接觸點(diǎn)到圓柱銷中心的連線），垂直于軸線（圖1-25d）。但因接觸點(diǎn)的位置未定，故只能確定鉸鏈的約束反力為一通過(guò)圓柱銷釘中心的大小、方向均未定的力。通常此力用兩個(gè)大小未知的正交分力來(lái)表示。（圖1-25（b）、（e） 圖1-25 如果用圓柱銷

9、釘聯(lián)接的兩個(gè)構(gòu)件均不固定，稱為中間鉸鏈（圖1-25（a）若其中有一個(gè)構(gòu)件固定在地面上或機(jī)架上，則稱這種鉸鏈約束為固定鉸鏈支座，簡(jiǎn)稱鉸支座(圖1-25（c）)。固定鉸鏈支座的簡(jiǎn)圖及約束反力的畫(huà)法如圖1-25（e）所示。如果在固定鉸支座下邊安裝上輥軸，就可使支座沿固定支承面移動(dòng)。稱為活動(dòng)鉸鏈支座。這種支座常用于橋梁、屋架等結(jié)構(gòu)中，可以避免由溫度變化而引起結(jié)構(gòu)內(nèi)部變形應(yīng)力。在不計(jì)摩擦的情況下，活動(dòng)鉸鏈支座只能限制構(gòu)件沿支承面垂直方向的運(yùn)動(dòng)，故活動(dòng)鉸鏈支座約束反力必定通過(guò)鉸鏈中心，并垂直于支承面。活動(dòng)鉸鏈支座的結(jié)構(gòu)、簡(jiǎn)圖及約束反力的畫(huà)法如圖1-26所示。圖1-264.固定端約束工程上還有一種常見(jiàn)的約束

10、類型。如圖1-27所示，建筑物外伸的陽(yáng)臺(tái)被墻體約束，插入地下的電線桿被地面約束，夾緊在刀架上的車刀被刀架約束等等，這些約束均稱為固定端約束。以上工程實(shí)例都可歸結(jié)為一桿插入固定面的力學(xué)模型。如圖1-28所示。固定端既限定了被約束構(gòu)件在平面內(nèi)任意方向的移動(dòng)，又限制了被約束構(gòu)件的轉(zhuǎn)動(dòng)。一般情況下，約束處會(huì)有一個(gè)約束反力和一個(gè)約束反力偶。 圖1-27 圖1-281.8物體的受力分析及實(shí)例在工程實(shí)際中，通常根據(jù)已知力，利用平衡條件，求解未知的約束反力。因此，首先要明確研究對(duì)象，然后分析研究對(duì)象受到哪些力的作用，并且要分析出每個(gè)力的作用位置和作用方向，這個(gè)分析過(guò)程稱為物體的受力分析。作用在物體上的力可分為

11、兩類：一類是主動(dòng)力，另一類是各種約束給物體的約束反力，約束反力是被動(dòng)力，通常是未知的，待求的。在進(jìn)行受力分析時(shí)，為了清晰地表示出物體的受力情況，我們可設(shè)想將研究對(duì)象的約束全部解除，并把它從周圍物體中分離出來(lái)，在解除約束處代之以相應(yīng)的約束反力。解除約束后的物體稱為分離體。在分離體的簡(jiǎn)圖上畫(huà)出它所受的全部主動(dòng)力與約束反力，就稱為該物體的受力圖。畫(huà)受力圖的步驟如下：1)明確研究對(duì)象，畫(huà)出分離體簡(jiǎn)圖。2)在簡(jiǎn)圖上標(biāo)出全部已知的主動(dòng)力。3)在簡(jiǎn)圖上解除約束處畫(huà)上所有約束反力。在靜力學(xué)中，恰當(dāng)?shù)剡x取研究對(duì)象，正確地畫(huà)出物體的受力圖是求解平衡問(wèn)題的關(guān)鍵。下面舉例說(shuō)明受力分析和畫(huà)受力圖的方法。1.8.1單個(gè)物

12、體的受力分析例1-3如圖1-29（a）所示為凸輪機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，試畫(huà)出導(dǎo)桿AB的受力圖。解：以導(dǎo)桿為研究對(duì)象，畫(huà)出分離體簡(jiǎn)圖。先畫(huà)出主動(dòng)力F；再畫(huà)約束反力：凸輪給導(dǎo)桿約束反力FR沿接觸面公法線指向?qū)U。FR和主動(dòng)力F使導(dǎo)桿傾斜，與滑道在B、D兩點(diǎn)接觸，故有光滑面約束反力FNB，F(xiàn)ND。導(dǎo)桿的受力圖如圖1-29（b）所示。例1-4已知梁AB如圖1-30（a）所示，A為固定鉸，B為活動(dòng)鉸。 圖1-29已知外載荷有力F與力偶M。試畫(huà)出梁的受力圖。解：以AB梁為研究對(duì)象，畫(huà)出分離體簡(jiǎn)圖。先畫(huà)出主動(dòng)力F和主動(dòng)力偶M；再畫(huà)出約束反力：A為固定鉸，其約束反力可用兩正交分力FAx和FAy來(lái)表示。B為活動(dòng)鉸，其約

13、束反力FB垂直與支承面。梁AB受力圖如圖1-30（b）所示。 圖1-301.8.2簡(jiǎn)單物體系統(tǒng)的受力分析例1-5 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)在圖1-31（a）所示位置處于平衡狀態(tài)，O、A、B三處都是鉸接，在曲柄OA上作用一力偶M，在滑塊B處有力F作用，不計(jì)自重和摩擦，分別畫(huà)出曲柄OA、連桿AB和滑塊B及機(jī)構(gòu)整體的受力圖。解：（1）取OA為研究對(duì)象，畫(huà)分離體簡(jiǎn)圖。先畫(huà)主動(dòng)力偶M；再畫(huà)約束反力：鉸鏈O處約束反力FOx和FOy，鉸鏈處約束反力FA（與FA互為作用力和反作用力）。受力圖如圖 1-31（b）所示。（2）取AB為研究對(duì)象，畫(huà)分離體簡(jiǎn)圖。無(wú)主動(dòng)力；畫(huà)約束反力：A、B鉸鏈處的約束反力FA，F(xiàn)B。因AB桿為二

14、力桿，故FA，F(xiàn)B的方向沿AB桿的連線方向。受力圖如圖1-31（c）所示。（3）取滑塊B為研究對(duì)象，畫(huà)分離體簡(jiǎn)圖。先畫(huà)出主動(dòng)力F；再畫(huà)約束反力：B鉸鏈的約束反力FB（與FB互為作用力和反作用力）及光滑面法向反力FNB。受力圖如圖1-31（d）所示。 圖1-31（4）取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，畫(huà)分離體簡(jiǎn)圖。先畫(huà)主動(dòng)力F和主動(dòng)力偶M；再畫(huà)約束反力：鉸鏈處約束反力FOx和FOy及B處光滑面的法向反力FNB。受力圖如圖1-31（e）所示。例1-6 圖1-32（a） 所示結(jié)構(gòu)，由AB、BC及DE三根桿組成，A點(diǎn)為活動(dòng)鉸鏈支座，B點(diǎn)為固定鉸鏈支座，B、D及E三點(diǎn)均為中間鉸。在桿上的H點(diǎn)作用一力F。試分別畫(huà)出各

15、桿件及整體的受力圖。各桿件自重不計(jì)。解：（1）取DE桿為研究對(duì)象，畫(huà)分離體簡(jiǎn)圖。無(wú)主動(dòng)力；畫(huà)約束反力：D、E鉸鏈處的約束反力FD，F(xiàn)E。因DE桿為二力桿，故FD，F(xiàn)E的方向沿DE桿的連線方向。受力圖如圖1-32（b） 所示（2）取AB桿為研究對(duì)象，畫(huà)分離體簡(jiǎn)圖。無(wú)主動(dòng)力；畫(huà)約束反力：鉸鏈D處約束反力FD（與FD互為作用力和反作用力），A為活動(dòng)鉸鏈支座，其反力FA垂直支承面，B鉸鏈約束反力FB，由三力匯交定理，可確定其作用方向。受力圖如圖1-32（c）所示。（3）取BC桿為研究對(duì)象，畫(huà)分離體簡(jiǎn)圖。先畫(huà)主動(dòng)力F；再畫(huà)約束反力：鉸鏈E處約束反力FE（與FE互為作用力和反作用力），鉸鏈B處約束反力FB

16、（與FB互為作用力和反作用力），鉸鏈C處約束反力FCx和FCy。受力圖如圖1-32（d）所示。（4）取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，畫(huà)分離體簡(jiǎn)圖。先畫(huà)主動(dòng)力F；再畫(huà)約束反力：鉸鏈A處約束反力FA，鉸鏈C處約束反力FCx和FCy。受力圖如圖1-32（e）所示。圖1-32小 結(jié)1.靜力學(xué)研究的對(duì)象為剛體和質(zhì)點(diǎn)。撇開(kāi)物體受力時(shí)的變形而獲得剛體的概念，不計(jì)物體的尺寸而得到質(zhì)點(diǎn)的概念。2力是物體間的相互機(jī)械作用，力的外效應(yīng)是使物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變。力的三要素是：力的大小、方向和作用點(diǎn)。力是矢量。3靜力學(xué)公理闡明了力的基本性質(zhì)。它是整個(gè)靜力學(xué)的理論基礎(chǔ)。二力平衡公理是最基本的力系平衡條件。加減力系公理是力系等效

17、代換和簡(jiǎn)化的理論基礎(chǔ)。力的平行四邊形法則說(shuō)明力的運(yùn)算符合矢量運(yùn)算法則，是力系簡(jiǎn)化的理論基礎(chǔ)。 作用與反作用定律說(shuō)明了力是物體間相互的機(jī)械作用，揭示了力的存在形式與力在物體內(nèi)部的傳遞方式。4作用在物體上的一組力稱為力系。力系按其作用線的分布情況可分為平面力系和空間力系。5力沿直角坐標(biāo)軸的分力是矢量，而力在直角坐標(biāo)軸上的投影是代數(shù)量。力在平面直角坐標(biāo)軸上的投影：已知力F的大小及其與x軸所夾的銳角 ，則有6合力投影定理力系的合力在某軸上的投影等于力系中各力在同一軸上投影的代數(shù)和。即7平面匯交力系的合成平面匯交力系總可以合成為一個(gè)合力。合力的大小和方向?yàn)?力對(duì)物體的作用效果既有移動(dòng)又有轉(zhuǎn)動(dòng)。力對(duì)點(diǎn)之矩

18、是度量力對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的物理量，以符號(hào) 表示。平面問(wèn)題中，力對(duì)點(diǎn)之矩是代數(shù)量：MO(F)=Fd9合力矩定理表明：力系的合力對(duì)某點(diǎn)之矩等于各分力對(duì)同點(diǎn)之矩的代數(shù)和。 即 MO(FR)=MO(F)在計(jì)算力矩比較困難時(shí)，利用合力矩定理求解力對(duì)點(diǎn)之矩可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化。10力偶為一對(duì)等值、反向且不共線的平行力。它對(duì)物體的作用是單純的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。力偶矩的大小、力偶的轉(zhuǎn)向和力偶的作用面，稱為力偶的三要素。力偶矩可以表示為M(F,F)=M=Fd力偶的運(yùn)算特點(diǎn)為：（1）它在任何坐標(biāo)軸上的投影和為零；（2）它對(duì)任何點(diǎn)的力矩和為力偶矩的大小，故力偶在三要素不變的條件下可以任意移動(dòng)，也可同時(shí)改變力和力偶臂的大小，而不改變

19、它對(duì)物體的作用效應(yīng)。11力的平移定理表明：作用于剛體上的力，均可平移到同一剛體內(nèi)任一點(diǎn)，但同時(shí)要附加一個(gè)力偶，其力偶矩等于原力對(duì)新作用點(diǎn)之矩。12作用于物體上的力可分為主動(dòng)力和約束反力。約束反力是限制被約束物體運(yùn)動(dòng)的力，它作用在物體的約束處，其方向與物體被限制的運(yùn)動(dòng)方向相反。工程上常見(jiàn)的約束類型有以下四種：（1）柔性約束：這種約束只能承受沿柔索的拉力。（2）光滑面約束：這種約束只能承受位于接觸 點(diǎn)的法向壓力。（3）鉸鏈約束：這種約束能限制物體兩個(gè)方向的移動(dòng)，故為正交約束反力。（4）固定端約束：這種約束能限制物體兩個(gè)方向的移動(dòng)和繞固定端的轉(zhuǎn)動(dòng)，故為正交約束反力與一個(gè)約束力偶。13對(duì)物體進(jìn)行受力分

20、析，畫(huà)受力圖，是解決力學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵。在解除約束的分離體簡(jiǎn)圖上，畫(huà)出它所受全部外力的簡(jiǎn)圖，稱為受力圖。畫(huà)受力圖時(shí)應(yīng)當(dāng)注意：只畫(huà)受力，不畫(huà)施力：只畫(huà)外力，不畫(huà)內(nèi)力：解除約束后，才能畫(huà)上約束反力。思考題與習(xí)題1-1 作用在剛體和變形體上的力所產(chǎn)生的效應(yīng)是否相同？1-2 能不能說(shuō)合力一定比分力大？為什么？試舉例說(shuō)明。1-3 已知圖1-34中力F1與F2等值、反向、共線。試判斷系統(tǒng)是否平衡？為什么？1-4凡兩端用鉸鏈連接的直桿均為二力桿，對(duì)嗎？1-5 力偶中的兩個(gè)力、作用力與反作用力、相互平衡的兩個(gè)力，三者在性質(zhì)上有什么不同？1-6 如圖1-35所示兩剛體上分別作用一匯交力系，且各力都不等于零，試判斷兩個(gè)力系能否平衡？1-7為什么說(shuō)二力平衡條件、加減平衡力系公理和力的可傳性原理都只適用于剛體？1-8 什么情況下力在坐標(biāo)軸上的投影為零？什么情況下力對(duì)點(diǎn)