1、 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)一、角的有關概念從運動的角度看，可分為正角、負角和零角.從終邊位置來看，可分為象限角和軸線角.若a與B角的終邊相同，則B用a表示為B=a+2kn（kZ）.易誤提醒（1）容易把“小于90的角”等同于“銳角”，把“090的角”等同于“第一象限的角”.其實銳角的集合是a|00a90,第一象限角的集合為a|2kna2kn+g,kZ.乙終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.例題:1.若a=k360+0B=m3600(k,1.若a=k360+0終邊的位置關系是（）A.重合B.A.重合C.關于C.關于x軸對稱D.關于y軸對稱解析：角

2、&解析：角&與0終邊相同B與一0終邊相同.又角0與一0的終邊關于x軸對稱.角&與B的終邊關于x軸對稱.答案：C二、弧度的概念與公式在半徑為r的圓中分類定義（公式）1弧度的角把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫作1弧度的角，用符號rad表示.角a的弧度數(shù)公式|a|r（弧長用l表示）角度與弧度的換算n(180A1=onrad;1rad=180in)弧長公式弧長l=ar扇形的面積公式Slr2la|,r2乙乙易誤提醒角度制與弧度制可利用180=nrad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用.例題：3.弧長為3n,圓心角為4n的扇形半徑為，面積為.3l解析：弧長l=3n,圓心角&=4兀

3、，由弧長公式1=|&|,得丫=口=注=4,面積S=1lr=6n.324n答案：46n三、任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設a是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x,y),那么y叫作a的正弦，記作sinaX叫作a的余弦，記作cosay-叫作a的正X切，記作tana各象限符號I正正正II正負負III負負正W負正負口訣一全正，二正弦，三正切，四余弦例題：.若sina0,則a是（）A.第一象限角B.第二象限角口第三象限角D.第四象限角解析：由sina0,a在第三象限.答案：C.已知角0的頂點為坐標原點，始邊為x軸的正半軸.若P（4,丫）是角0終邊上一點，且sin0=，,則丫=.y解析：由三

4、角函數(shù)的定義，sin0=.1i6y，又sin0=-2550,cosa0,cosa0,所以a為第二象限角,2knan+2kn,+2kn,kZ,則;+kn1an+kn,JL乙乙kZ.當k為偶數(shù)時，1a為第一象限乙角；當女角；當女為奇數(shù)時，1a乙為第三象限角，故選C.答案：C3.在一7200范圍內所有與45終邊相同的角為解析：所有與45有相同終邊的角可表示為：B=45+kX360(kZ),則令一720W45+kX3600,得一得一765WkX360一4576545，解得一麗、0時，r=、/10k,，10sina，10sina+cos3-a=-31+W1o=0；當k0時，r=-a/10k,Asina=

5、-3k=L,一；10k：101/1QkcosakA10sinaA10sina+=3四-3巫=0.3綜上,1Qsina+cosF=0.用定義法求三角函數(shù)值的兩種情況TOC o 1-5 h z(1)已知角a終邊上一點P的坐標，則可先求出點P到原點的距離r,然后|用三角函數(shù)的定義求解.|(2)已知角a的終邊所在的直線方程，則可先設出終邊上一點的坐標，求出|此點到原點的距離，然后用三角函數(shù)的定義來求相關問題.11.已知a是第二象限角，P(x,丐)為其終邊上一點，且cosa=2x,則x=()BC-V2解析：依題意得由此解得BC-V2解析：依題意得由此解得x=%：3選D.答案：D考點三扇形的弧長及面積公式

6、(1)已知扇形周長為10，面積是4，求扇形的圓心角(2)已知扇形周長為40，當它的半徑和圓心角取何值時，才使扇形面積最大？解(1)設圓心角是9,半徑是r,2r+r9=10r=4,J|r=1,入則%=4=1=8(舍),。斗故扇形圓心角為2.(2)設圓心角是9,半徑是r,貝U2r+r9=40.S=29-r2=2r(40-2r)=r(20-r)=一(r10)2+100100,當且僅當r=10時，Smax=100，0=2.所以當r=10,0=2時，扇形面積最大.TOC o 1-5 h z|弧度制應用的兩個關注點|I1i(1)弧度制下l=|a|r，S=51r，此時a為弧度.在角度制下，弧長lj：2：i=

7、，扇形面積s=nnr2，此時n為角度，它們之間有著必然的聯(lián)系.：180360!I|(2)在解決弧長、面積及弓形面積時要注意合理應用圓心角所在的三角形.|2已知扇形的半徑是2，面積為8，則此扇形的圓心角的弧度數(shù)是()A4B2C8D1解析：設半徑為丫，圓心角的弧度數(shù)為0，由S=10r2，8=X0X4，,.0=4.答案：A3(1)滿足cos&2的角a的集合為.乙(2)如圖，在平面直角坐標系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1)，此時圓上一點P的位置在(0,0)，圓在x軸上沿正向滾動.當圓滾動到圓心位于C(2,1)時，的坐標為.思路點撥(1)利用三角函數(shù)線可直觀清晰地得出角a的范圍.(2)點P

8、轉動的弧長是本題的關鍵，可在圓中作三角形尋找P點坐標和三角形邊長的關系.解析(1)作直線x=1交單位圓于C,D兩點，連接OC,OD,則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角a終邊的范圍，故滿足條件的角a的集合為a2kn+3nWaW2kn+gn,kZ.(2)如圖所示，過圓心C作x軸的垂線，垂足為A,過P作x軸的垂線n2,與過C作y軸的垂線交于點B.因為圓心移動的距離為2,n2,以劣弧而=2,即圓心角NPCA=2,則NPCB=2所以|PB|=sin12一；=-cos2,127|CB|=cos2-；=sin2,127所以Xp=2|CB|=2sin2,yp=1+|PB|=1cos2,所以0P=(2

9、sin2,1cos2).答案2kn+3na答案2kn+3naW2kn4n,3kez(2)(2sin2,1cos2)思想點評(1)利用三角函數(shù)線解三角不等式要在單位圓中先作出臨界情況，然后觀察適合條件的角的位置；(2)解決和旋轉有關的問題要抓住旋轉過程中角的變化，結合弧長公式、三角函數(shù)定義尋找關系.解析：(1).sin跟蹤練習函數(shù)y=ln(sin解析：(1).sin,作直線y=平交單位圓于A,B兩點，連接OA,OB,則OA與OB圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角a的終邊的范圍，故滿足條件的角a的集合為，x角a的集合為，x2kn4n,三x2kn32n飛-,kezlTOC o 1-5 h z.、(,n

10、2n答案：2kn+,2kn+y-(kZ)k33/練習1.已知MP、OM、AT分別為角0才0方的正弦線、余弦線、正切線，則k42）一定有（）MPMPOMATOMATMPATATOMMPOMMPATnAA.2nAA.2C.sin1解析：如圖所示，MP、OM、AT分別為角0-40y）正弦線、余弦線、正切線，由于W02,所以OMMP，由圖可以看出MPAT,故可得OMMPAT,故選D.答案：D.已知sina0,cos&0,則角a的終邊所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限口第三象限D.第四象限解析：由sin&0得角a的終邊在第三或第四象限，由cosa0得角a的終邊在第二或第三象限，所以滿足sina0,

11、cosa1的必要不充分條件是（）xgB.xVn6nnC.不x2,x（0,2n）得知小乂二,可以推得nxn；反過來，由2x1,66662n5n一111n如取不x=o2的必要不充分條件是石京兀，故選B.答案：B5.點P從（一1,0）出發(fā)，沿單位圓順時針方向運動7n弧長到達點Q，則點Q3的坐標為（A.C.2，r12，一斗B.解析：設點A（i,o），點p從（一1,0）出發(fā)，沿單位圓順時針方向運動7n弧3長到達點Q，則NAOQ=W2n=n（。為坐標原點），所以NxOQ=2，cos2n3333=-2，sin；：，所以點Q的坐標為一1答案：A6.如果角0的終邊經過點16.如果角0的終邊經過點1|句，那么ta

12、n0的值是解析：由定義知tan10=X整22n2n2n2n)=,cos33y，則a=TOC o 1-5 h zJ，則a=.已知角a(0Wa0,cos0可得角a的終邊在第四象限，又由tana=-332nsin3,一、一111n（0邙0）,定義：sicos二工尹，稱“sicos0”為“0的正余弦函數(shù)”，若sicos0=0解析：因為sicos0=0n以當0=2kn+,kez解析：因為sicos0=0n以當0=2kn+,kez時所以y0=x0,(nsin20一可V3y所以0的終邊在直叫=乂上5當0=2kn+nT，,.Jn)keZ時，si203(,5nn)=si14knH-23n1=cosy=2.、，八

13、n）綜上得$1,201二9答案：1.已知扇形0人8的圓心角a為120,半徑長為6,(1)求AB的長；(2)求AB所在弓形的面積.解：(1)：a=120=卓，r=6,3，AB的長l=X6=4n.3扇形OAbW1-1義4nx6=12nS=1si11=1X62X=9-.,3,abo2322，S弓形=S扇形0AB”AB0=12nTa10.已知角。的終邊上有一點P(x,1)(x=0),且tan0=x,求sin0+cos0的值.解：0的終邊過點(x,1)(x/0),tan0=x,又tan0=x,x2=1,x=1.當x當x=1時，sin0金cos0乙因此sin0+cos0=0；當x=1時，sin2當x=1時

14、，sin2,cos2,因此sin0+cos0=一、,；2.綜上sin0+cos0=0或一42練習2.已知角9的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y=2x上，則cos20=()解析：角e的終邊在直線y=2x上，.tan9=2.35.八cos29sin2935.29=-5-=THncos29+sin291+tan29答案：B2.在平面直角坐標系中，點0(0,0),P(6,8),將向量OP繞點0按逆時針方向旋轉3n后得向量0Q,則點0Q的坐標是()A.(8,6)B.(8,6)C.(6,8)D.(6,8)解析：|OP|=10,且設NxOP=9,63=10=5,sin5.設0Q=(x,y)