1、傅里葉級(jí)數(shù)的幾何意義 巧妙記憶公式的方法最近我在重新學(xué)習(xí)偏微分方程的時(shí)候又遇到“傅里葉級(jí)數(shù)”了，我曾經(jīng)覺得這個(gè)公式非常繁瑣，用到的時(shí)候就去翻書查看，沒法自己信心滿滿的寫出來?，F(xiàn)在我找到訣竅了，可以不需要任何參考書，給我一個(gè)周期函數(shù)，我可以馬上寫出它的傅里葉級(jí)數(shù)。訣竅就在于從“幾何”的角度來看待傅里葉級(jí)數(shù)。當(dāng)我們把一個(gè)周期函數(shù)表達(dá)成傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)，其實(shí)我們只是在做一個(gè)動(dòng)作，那就是把函數(shù)“投影”到一系列由三角函數(shù)構(gòu)成的“坐標(biāo)軸”上。1.什么是投影 我們先來復(fù)習(xí)什么是投影吧。考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的二維平面的例子。如下圖所示，給定兩個(gè)向量 u 和 v ，我們從 u 的末端出發(fā)作到 v 所在直線的垂線，得到一個(gè)跟

2、 v 同向的新向量 p 。這個(gè)過程就稱作 u 到 v 所在直線的投影，得到的新向量 p 就是 u 沿 v 方向的分量。圖中的系數(shù) c 是 p 跟 v 的比例，也就是 u 在 v 軸上的“坐標(biāo)”。我們可以用尺規(guī)作圖來完成投影這個(gè)動(dòng)作，問題是：如果給定的向量 u 和 v 都是代數(shù)形式的，我們?cè)趺从么鷶?shù)的方法求 c ？ 我相信只要有基本線性代數(shù)知識(shí)的同學(xué)都可以輕松解決這個(gè)問題。我們知道 u-cv這個(gè)向量是“正交”于 v 的，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)就是(u-cv)Tv=0。我們馬上就可以得到 c 的表達(dá)式如下。 （1）2.向量在一組正交基上的展開 在講傅里葉級(jí)數(shù)之前，我們還需引進(jìn)線性代數(shù)中“正交基”的概念。如

3、果這個(gè)概念你覺得陌生，就把它想成是互相垂直的“坐標(biāo)軸”?；氐絼偛胚@個(gè)例子，如下圖所示，現(xiàn)在我們引進(jìn)一組正交基 v1，v2，那么 u 可以展開成以下形式 （2） 從圖上來看，(2)式其實(shí)說的是我們可以把 u“投影”到 v1 和 v2 這兩個(gè)坐標(biāo)軸上，c1 和 c2 就是 u 的新“坐標(biāo)”。問題是：我們?cè)趺辞?c1 和 c2 呢？你會(huì)說，我們可以(2)式兩邊同時(shí)乘以 v1 或 v2，然后利用它們正交的性質(zhì)來求 c1，c2。沒錯(cuò)，數(shù)學(xué)上是這么做的。但是利用之前關(guān)于投影的討論，我們可以直接得出答案，直接利用(1)式就可以得到如下的表達(dá)式： （3）3.傅里葉級(jí)數(shù)的幾何意義 現(xiàn)在我們已經(jīng)明白一件事情了：如

4、果想把一個(gè)向量在一組正交基上展開，也就是找到這個(gè)向量沿每條新“坐標(biāo)軸”的“坐標(biāo)”，那么我們只要把它分別投影到每條坐標(biāo)軸上就好了，也就是把(1)式中的 v 換成新坐標(biāo)軸就好了。說了半天，這些東西跟傅里葉級(jí)數(shù)有什么關(guān)系？我們先回憶一下傅里葉級(jí)數(shù)的表達(dá)式。給定一個(gè)周期是 2l 的周期函數(shù) f(x),它的傅里葉級(jí)數(shù)為：（4）其中系數(shù)表達(dá)式如下： （5） 我不喜歡記憶這些公式，有辦法可以更好的理解他們來幫助記憶嗎？答案是有的，那就是從幾何的角度來看。傅里葉告訴我們，f(x)可以用下面這組由無限多個(gè)三角函數(shù)（包括常數(shù)）組成的“正交基”來展開， （6） 這里我們需要在廣義上來理解“正交”。我們說兩個(gè)向量，或

5、兩個(gè)函數(shù)之間是正交的，意思是它們的“內(nèi)積”（innerproduct）為零?！皟?nèi)積”在有限維的“向量空間”中的形式為“點(diǎn)積”(dotproduct)。在無限維的“函數(shù)空間”中，對(duì)于定義在區(qū)間a,b上的兩個(gè)實(shí)函數(shù) u(x),v(x)來說，它們的內(nèi)積定義為 （7）正交基(6)中的每個(gè)函數(shù)都可以看做是一條獨(dú)立的坐標(biāo)軸，從幾何角度來看，傅里葉級(jí)數(shù)展開其實(shí)只是在做一個(gè)動(dòng)作，那就是把函數(shù)“投影”到一系列由三角函數(shù)構(gòu)成的“坐標(biāo)軸”上。上面(5)式中的系數(shù)則是函數(shù)在每條坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)。 現(xiàn)在的問題是我們不能直接用(1)式來求這些坐標(biāo)了，因?yàn)樗贿m用于有限維的向量空間。在無限維的函數(shù)空間，我們需要把(1)式中分

6、子分母的點(diǎn)積分別替換成(7)式。那么(5)式中的所有系數(shù)馬上可以輕松的寫出： (8) 值得注意的是，(8)式中所有積分可以在任意一個(gè)長(zhǎng)度是2l的區(qū)間內(nèi)進(jìn)行。也就是說，不管是 -l,l還是0,2l，答案都是一樣的。 有同學(xué)會(huì)說，老師上課教的是對(duì)(4)式兩邊乘以1，cos(nx/l)，或 sin(nx/l),然后積分，利用這些函數(shù)之間的正交性來得到(5)式。這些當(dāng)然是對(duì)的，而且我們應(yīng)該學(xué)會(huì)這種推導(dǎo)來加深對(duì)正交性的理解。但是在應(yīng)用上，我更喜歡用幾何的角度來看傅里葉級(jí)數(shù)，把函數(shù)看成是無限維的向量，把傅里葉級(jí)數(shù)跟幾何中極其簡(jiǎn)單的“投影”的概念聯(lián)系起來，這樣學(xué)習(xí)新知識(shí)就變得簡(jiǎn)單了，而且可以毫無障礙的把公式

7、記住，甚至一輩子都難忘。 熟悉傅里葉級(jí)數(shù)的同學(xué)會(huì)問，那么對(duì)于復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)，我們是否也能用幾何投影的觀點(diǎn)來看，然后寫出級(jí)數(shù)中的所有系數(shù)呢？答案是肯定的。給定一個(gè)周期是 2l 的周期函數(shù) f(x),它的傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式為： （9）其中系數(shù)表達(dá)式如下：（10）這意味著我們用了下面這組“正交基”來展開原函數(shù)， （11） 我們之前提到了兩個(gè)函數(shù)正交，意思是它們的內(nèi)積為零。對(duì)于定義在區(qū)間a,b上的兩個(gè)復(fù)函數(shù) u(x),v(x)來說，它們的內(nèi)積定義為（12）其中v加上劃線意思是它的共軛。(10)中指數(shù)函數(shù)里的負(fù)號(hào)就是因?yàn)槿×斯曹椀年P(guān)系。 現(xiàn)在我們同樣可以把原函數(shù)分別投影到(11)中的每個(gè)函數(shù)所在

8、的“坐標(biāo)軸”來求出對(duì)應(yīng)的“坐標(biāo)”，也就是系數(shù)cn： （13） 這里我想強(qiáng)調(diào)一下這個(gè)“正交基”的重要性。在一個(gè)有限維的向量空間，給定任何向量都可以被一組基展開，它可以不必是正交的，這個(gè)時(shí)候展開項(xiàng)中的系數(shù)（也就是沿這組基中任一坐標(biāo)軸的坐標(biāo)）需要求解一個(gè)線性方程組來得到。只有當(dāng)這組基是正交的時(shí)候，這些系數(shù)才能從給定向量往各坐標(biāo)軸上投影得出，也就是(1)式。同樣的，在無限維的函數(shù)空間，我們可以把一個(gè)函數(shù)在某個(gè)“基”中展開，但是只有在“正交基”中，展開項(xiàng)中的系數(shù)才能看成是函數(shù)投影的結(jié)果。最后做一個(gè)總結(jié)，不管是向量 u 還是函數(shù) u，他們都可以被一組正交基vn：n=1,.,N（有限個(gè)向量）或vn：n=1,

9、.,(無限個(gè)函數(shù)）展開如下: （14） 上式中的 cn 代表 u 在 vn 所在的坐標(biāo)軸上投影產(chǎn)生的坐標(biāo)。而(14)式中內(nèi)積的定義視情況而定，在有限維的向量空間（實(shí)數(shù)域），向量 u 和 v 的內(nèi)積是點(diǎn)積uTv；在無限維的函數(shù)空間，函數(shù)u(x)和v(x)的內(nèi)積的通用形式是(12)，如果它們是實(shí)函數(shù)，那么(12)就可以簡(jiǎn)化成(7)的形式。 我們可以看到，用幾何投影的觀點(diǎn)來看待傅里葉級(jí)數(shù)，理解變得更加容易，因?yàn)槲蚁嘈潘腥硕寄芾斫馔队暗母拍?；同時(shí)，傅里葉級(jí)數(shù)所有的公式都可以輕松的記住，想要遺忘都難了。我們?cè)趯W(xué)習(xí)不同學(xué)科的時(shí)候可以經(jīng)常的去做聯(lián)系，嘗試著用不同的角度去看待同一個(gè)問題，我相信這么做是很有好處的。后記（寫于2013年3月28號(hào)）：這篇文章的核心思想其實(shí)是來自MIT的教授 Gilbert Strang 寫的 Introduction to Linear Algebra這本書（第三版）。我在好幾個(gè)月前重新學(xué)了一遍線性代數(shù)，就是看 MIT的開放課程，授課老師是 Gilbert，他用的書就是上面提到這本。我從沒有如此享受過數(shù)學(xué)課。以前學(xué)的數(shù)學(xué)課似乎老師更注重?cái)?shù)學(xué)運(yùn)算和推導(dǎo)，而不是討論數(shù)學(xué)背后的本質(zhì)。Gilbert 的講課方式講究原理，也就是 why”，而不是 how”，同時(shí)也有非常有趣的應(yīng)用。有興趣的同學(xué)可以去聽聽這門課