1、有關(guān)科氏加速度的疑難問題探討摘要：對落體偏東現(xiàn)象中有關(guān)科氏力和科氏加速度的方向如何判斷以及科氏力和科氏加速度的公式如何 表示等疑難問題進(jìn)行探討，對一個(gè)有關(guān)落體偏東的具體問題給出兩種比較簡單的解答方法.關(guān)鍵詞：科里奧利力；科氏加速度；約束軌道;落體偏東對于以角速度3勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤，若質(zhì) 點(diǎn)在沿半徑方向的光滑直槽里相對于圓盤以恒速 S做離心運(yùn)動(dòng)，則質(zhì)點(diǎn)受到槽壁的彈力作用，產(chǎn)生 橫向加速度即科氏加速度，其公式為acx2aXvr, 式中3個(gè)矢量的方向關(guān)系遵循右手螺旋定則.1問題的引出文獻(xiàn)$1%對一個(gè)落體偏東問題給出3種解答 方法，文中提到“下落的物體在向東的科里奧利力 的作用下會有個(gè)向東的速度，這

2、個(gè)速度產(chǎn)生向上 的科里奧利力，力的方向是如何判斷出來的呢？ 此外，在解釋“落體偏東”現(xiàn)象時(shí)，雖然認(rèn)為下落的 物體受到科里奧利力的方向向東，但對叉積c = 應(yīng)用右手螺旋定則進(jìn)行判斷時(shí)，所得結(jié) 果卻是方向向西，這究竟是為什么呢？2問題的解決產(chǎn)生矛盾的根本原因是自由下落的物體不受 地球的剛性約束，或者說沒有約束軌道，而上述科氏 力公式以及對應(yīng)的右手螺旋定則只適用于質(zhì)點(diǎn)在 約束軌道內(nèi)做相對運(yùn)動(dòng)的情況.對于沒有約束軌道 的相對運(yùn)動(dòng)，可用兩種方法來判斷科氏力的方向. 2.1利用假設(shè)法判斷科氏力的方向假設(shè)小球在固定于赤道地面的足夠長的豎直 細(xì)管內(nèi)下落，由于地球的自轉(zhuǎn)，小球受到垂直于約 束軌道的科里奧利力為2

3、nrn Xu.,應(yīng)用右手螺旋 定則可知科里奧利力的方向向西，實(shí)際是細(xì)管側(cè) 壁對小球產(chǎn)生向西的彈力.這表明，自由下落的小 球有向東偏轉(zhuǎn)的趨勢，若沒有豎直細(xì)管的約束，則 下落的小球?qū)⑾驏|偏轉(zhuǎn)，出現(xiàn)落體偏東現(xiàn)象，由 此認(rèn)為自由落體受到科里奧利力的方向向東，但 科氏加速度的方向向西.2.2利用叉積法表示科氏力的方向?qū)τ谠诔嗟郎戏阶杂上侣涞男∏?，向東偏轉(zhuǎn)， 因此認(rèn)為科氏力的方向向東，為了能夠應(yīng)用右手 螺旋定則進(jìn)行判斷，需要把叉積加上負(fù)號，即c =2m X t?6.由此可知，對于科氏力的矢量式，為了能夠應(yīng) 用右手螺旋定則來反映各矢量的方向關(guān)系，需按 兩種情況表示，其一，若相對運(yùn)動(dòng)物體受到轉(zhuǎn)動(dòng)物 體的剛性約

4、束，則科氏力公式為c = 2m! Xvr（其 二，若相對運(yùn)動(dòng)物體不受轉(zhuǎn)動(dòng)物體（地球）的剛性 約束，則科氏力公式為c = 2m! Xvr.例如，對于從赤道地面豎直上拋的小球，若 不受地球的剛性約束，則受到科里奧利力為 2 gXs,應(yīng)用右手螺旋定則并考慮負(fù)號即可 判斷小球受到向西的科里奧利力.若假設(shè)小球在 固定的足夠長的豎直細(xì)管內(nèi)上拋，則受到剛性約 束，因此受到科里奧利力為2 m! X砰，應(yīng)用右手 螺旋定則可知小球受到科里奧利力的方向向東, 實(shí)際是細(xì)管側(cè)壁對豎直上拋小球施加向東的彈 力.由此可知，如果沒有細(xì)管的剛性約束，那么豎 直上拋的小球?qū)⑾蛭髌D(zhuǎn)，則認(rèn)為小球受到向西 的科里奧利力.對于有無約束

5、的豎直上拋運(yùn)動(dòng)， 為什么科里奧利力的方向互為相反呢？這如同 向心力=maj#,是由約束提供的作用力，方 向指向圓心，但物體具有離心的趨勢，因此在非 慣性系中，當(dāng)不考慮約束時(shí)，慣性力為 = m擠#方向背離圓心.與此類似，科里奧利力 2 maXs是由約束軌道提供的彈力，表明物體具 有偏離約束軌道的趨勢，那么當(dāng)沒有約束軌道 時(shí)，物體在非慣性系中受到反向的慣性力，即為科里奧利力（一X%）.雖然科氏力有兩個(gè)公 式,但科氏加速度只有一個(gè)公式，而且二者的方向 不一定相同.3實(shí)例的解答在解決各種實(shí)際問題時(shí)，需根據(jù)相對運(yùn)動(dòng)物 體是否具有約束軌道來確定科氏力公式不同的叉 積形式.下面按兩種情況進(jìn)行舉例分析.3.

6、1相對運(yùn)動(dòng)物體受到轉(zhuǎn)動(dòng)物體的剛性約束例1.如圖1所示，用位于豎直平面內(nèi)的圓周表示地球的 TOC o 1-5 h z 一條經(jīng)線，豎直直徑表示地軸，/上端為北極.已知地球自轉(zhuǎn)角（廠卜睥速度為s半徑為R假設(shè)在北k!J半球有一段鐵路與經(jīng)線重合，在北緯30有一列車由北向南1勻速行駛，相對于地面的速度圖1情境圖大小為由,試求列車在運(yùn)動(dòng)過程中科氏加速度的大 小和方向以及科氏力的方向解析：由于地軸上方為北極，則地球按逆時(shí)針 方向（俯視）自轉(zhuǎn)，由右手螺旋定則可知角速度矢 量的方向豎直向上.在北緯30,地球半徑與地軸 的夾角為！=60,列車相對于經(jīng)線的速度大小為 #=#，沿切線方向，即與水平方向的夾角為！=60,

7、則角速度矢量與相對速度的夾角為6=90十 !.科氏加速度公式為氣= /!Xs，可知科氏加速度的大小為= 2%#6si?6= 2%#cos!=%#.結(jié)合科氏加速度公式和圖1中兩個(gè)矢量的方 向，應(yīng)用右手螺旋定則可知科氏加速度的方向垂 直于圓面向里，即垂直于軌道沿地面向東.由于列 車受到剛性約束，則科氏力與科氏加速度的方向 相同.3.2相對運(yùn)動(dòng)物體不受轉(zhuǎn)動(dòng)物體的剛性約束對于貿(mào)易風(fēng)，由于不受地球的剛性約束，因此 科氏力為Fc = 2m Xvr，在北半球，地面附近的 氣流由北極向赤道推進(jìn)，則地球自轉(zhuǎn)角速度矢量 與氣流相對速度的夾角為鈍角，如圖1所示，應(yīng)用 右手螺旋定則并考慮負(fù)號可知科里奧利力的方向 垂直

8、于圓面向外，即沿地面向西，使氣流向西偏 轉(zhuǎn)，由此形成東北貿(mào)易風(fēng).例2.在赤道上方200 m處，從靜止的直升飛 機(jī)上無初速下落一小球，不計(jì)空氣阻力和風(fēng)力，試 求:小球?qū)⒙涞秸路轿恢闷珫|約多遠(yuǎn)處？解法1：如圖2所示，用圓表示地球赤道，自轉(zhuǎn) 角速度矢量方向垂直于圓面向里，小球從赤道正 上方的。點(diǎn)開始自由下落，到地面的垂直距離為非慣性坐標(biāo)系圖2OA=H，以。點(diǎn)為原點(diǎn)建立 一個(gè)相對于地球靜止的非慣 性坐標(biāo)系.非慣性坐標(biāo)系圖2在豎直方向，小球受到 的科里奧利力與重力相比可 忽略不計(jì)，則小球做自由落 體運(yùn)動(dòng)，在豎直方向的速度 和位移分別為# 122$ 由于自由下落的小球不受地球的剛性約束， 則水平方向的科

9、里奧利力為F = 2m %，是 一種慣性力，已知叉積中的兩個(gè)矢量相互垂直，應(yīng) 用右手螺旋定則并考慮負(fù)號可知力的方向向東， 以向東為正方向，在非慣性系中由牛頓第二定 律有：2 F = 2 b%# 7 = B ： 2， 可得相對加速度為$ =兩次取積分得 = 3%$3.又由7=0，得_ 13_ 2120=3%$ =3%0-地球自轉(zhuǎn)的角速度為%7. 27X10 5 rad/s， H = 200 m，取 e = 9. 78 m/s2，可得 x%6. 2 cm.這種解法是把豎直方向的分運(yùn)動(dòng)近似為自由 落體運(yùn)動(dòng)，由此化繁為簡，若按常規(guī)解法，則需在 水平和豎直方向分別列出微分方程，推導(dǎo)過程非 常繁瑣.解法2

10、：科里奧利力的大小 與相對速度成正比，方向始終 與相對速度垂直，類似于帶電 粒子在勻強(qiáng)磁場中受到的洛倫 茲力，由此可聯(lián)想到帶電小球 在水平方向勻強(qiáng)磁場中自由下 落的運(yùn)動(dòng).小球相對于地球赤 道下落的初速度為。，可等效為 在水平方向的兩個(gè)反向初速度圖3分解小球 初速度#1和#2，且#1=# 2 =#0，如圖3所示圖3分解小球 初速度由于小球不受地球的剛性約束，則豎直方向 的科里奧利力為Fy = 2m口地球自轉(zhuǎn)的角 速度矢量方向垂直于圓面向里，應(yīng)用右手螺旋定 則并考慮負(fù)號可知這兩個(gè)初速度分別產(chǎn)生向上的 科里奧利力31和向下的科里圖4 一個(gè)分運(yùn)動(dòng) 是圓周運(yùn)動(dòng)0圖4 一個(gè)分運(yùn)動(dòng) 是圓周運(yùn)動(dòng)0g2sin(

11、2%) ,奧利力F2.若使向上的 科里奧利力跟重力抵 消，即 F+ = 2b%#+ = mg，則小球的一個(gè)分運(yùn) 動(dòng)是水平向右的勻速直 線運(yùn)動(dòng)，速度為#= #1 = #。.剩下的力為科 里奧利力3/，始終與相 對速度#2垂直，且大小 恒定，因此充當(dāng)向心力，則小球的另一個(gè)分運(yùn)動(dòng)是 在豎直面內(nèi)沿逆時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖4 所示.由3i = 2m%#+ = mg得勻速運(yùn)動(dòng)速度#.=2g ! 由 3/ = 2m%#/ = m 堂得圓周運(yùn)動(dòng)半徑廠= 2%6# =, 角速度 %，= #. = 2%.2% 4%26以初始位置。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立一個(gè)相對于 地球靜止的非慣性坐標(biāo)系如圖4所示，利用運(yùn)動(dòng) 的合成

12、可知小球位移的參數(shù)方程為 = #$ 6sin(9=#o$ 6sin(%$) ,7 = 6 6C0s!= 6 6C0S (%$ ).即為這種解法是利用運(yùn)動(dòng)的合成與分解以及等效 法，所得精確結(jié)果與常規(guī)解法所得結(jié)果完全相同, 殊途同歸，不僅避免了繁瑣的微積分運(yùn)算，而且還 揭示了“落體偏東”的運(yùn)動(dòng)軌跡為一段旋輪線.特 別是利用數(shù)學(xué)中的兩個(gè)近似公式對復(fù)雜的物理結(jié) 果進(jìn)行化簡，所得近似結(jié)果與解法1的結(jié)果完全 相同，數(shù)理結(jié)合，奇妙無比.上述兩種解法都與非慣性系有關(guān)，都用到科 里奧利力.如果在物體釋放點(diǎn)的正下方地面上建 立一個(gè)隨地心平動(dòng)而不隨地球轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性坐標(biāo) 系，那么在求解“落體偏東#的水平距離時(shí)，就不涉 及科里奧利力.!結(jié)語對于因地球自轉(zhuǎn)而引起的落體偏東問題以 及貿(mào)易風(fēng)問題，由于相對運(yùn)動(dòng)物體不受地球的剛 性約束，因此受到的科里奧利力為慣性力，則科 氏力的公式需帶負(fù)號，這樣才能對叉積應(yīng)用右手 螺旋定則來判斷科氏力的方向.此外，也可利用 假設(shè)法來判斷科氏力的方向，既可對沒有約束軌 道的相對運(yùn)動(dòng)假設(shè)有約束軌道，也可對有約