1、1第六章 測量誤差基礎(chǔ)知識第1頁/共71頁1第六章 測量誤差基礎(chǔ)知識第1頁/共71頁26-1 測量誤差的概念一、測量誤差的來源1、儀器精度的局限性2、觀測者感官的局限性3、外界環(huán)境的影響第2頁/共71頁26-1 測量誤差的概念一、測量誤差的來源1、儀器精度的3一.產(chǎn)生測量誤差的原因一.產(chǎn)生測量誤差的原因產(chǎn)生測量誤差的三大因素：儀器原因 儀器精度的局限,軸系殘余誤差,等。人的原因 判斷力和分辨率的限制,經(jīng)驗(yàn),等。外界影響 氣象因素(溫度變化,風(fēng),大氣折光) 結(jié)論：觀測誤差不可避免(粗差除外)有關(guān)名詞：觀測條件: 上述三大因素總稱為觀測條件等精度觀測:在上述條件基本相同的情況下進(jìn)行的各 次觀測，稱

2、為等精度觀測。第3頁/共71頁3一.產(chǎn)生測量誤差的原因一.產(chǎn)生測量誤差的原因產(chǎn)生測量誤差的4二、測量誤差的分類與對策（一）分類系統(tǒng)誤差在相同的觀測條件下，誤差 出現(xiàn)在符號和數(shù)值相同，或按一定的規(guī)律變化。例： 誤差 鋼尺尺長誤差Dk 鋼尺溫度誤差Dt 水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差i 經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差C 處理方法計算改正計算改正 操作時抵消(前后視等距)操作時抵消(盤左盤右取平均) 第4頁/共71頁4二、測量誤差的分類與對策（一）分類系統(tǒng)誤差在相同的觀測5二、測量誤差的分類與對策（一）分類偶然誤差在相同的觀測條件下，誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都不相同，從表面看沒有任何規(guī)律性，但大量的誤差有“統(tǒng)計規(guī)律”粗差特別大

3、的誤差（錯誤）例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準(zhǔn)、對中等誤差， 導(dǎo)致觀測值產(chǎn)生誤差 。第5頁/共71頁5二、測量誤差的分類與對策（一）分類偶然誤差在相同的觀測6（二）處理原則粗差細(xì)心，多余觀測系統(tǒng)誤差找出規(guī)律，加以改正偶然誤差多余觀測，制定限差第6頁/共71頁6（二）處理原則粗差細(xì)心，多余觀測系統(tǒng)誤差找出規(guī)律，7如何處理含有偶然誤差的數(shù)據(jù)？例如：對同一量觀測了n次觀測值為 l1,l2,l3,.ln如何取值？如何評價數(shù)據(jù)的精度？第7頁/共71頁7如何處理含有偶然誤差的數(shù)據(jù)？例如：如何評價數(shù)據(jù)的精度？第78三.偶然誤差的特性 1.偶然誤差的定義： 設(shè)某一量的真值為X，對該量進(jìn)行了n次觀測， 得n個觀測

4、值 ，則產(chǎn)生了n個真誤 差 ：(6-1-1)真誤差真值觀測值第8頁/共71頁8三.偶然誤差的特性 1.偶然誤差的定義： (69例如：對358個三角形在相同的觀測條件下觀測了全部內(nèi)角，三角形內(nèi)角和的誤差i為i= 180 (i +i+ I)其結(jié)果如表6-1，圖6-1,分析三角形內(nèi)角和的誤差I(lǐng)的規(guī)律。第9頁/共71頁9例如：第9頁/共71頁10誤差區(qū)間 負(fù)誤差 正誤差 誤差絕對值d K K/n K K/n K K/n 03 450.126 46 0.128 91 0.254 36 400.112 41 0.115 81 0.226 69 330.092 33 0.092 66 0.184 912 2

5、30.064 21 0.059440.123 1215 170.047 16 0.045330.092 1518 130.036 13 0.036260.073 1821 60.017 5 0.014 110.031 2124 40.011 2 0.00660.017 24以上 0 0 0 0 0 0 181 0.505 177 0.495 358 1.000 表6-1 偶然誤差的統(tǒng)計 第10頁/共71頁10誤差區(qū)間 負(fù)誤差 正誤差 11 -24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+24 X=k/d有限性：偶然誤差應(yīng)小于限值。漸降性：誤差小

6、的出現(xiàn)的概率大對稱性：絕對值相等的正負(fù)誤差概率相等抵償性：當(dāng)觀測次數(shù)無限增大時，偶然誤差的平均數(shù)趨近于零。第11頁/共71頁11 -24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 12偶然誤差的特性有限性：在有限次觀測中，偶然誤差應(yīng)小于限值。漸降性：誤差小的出現(xiàn)的概率大對稱性：絕對值相等的正負(fù)誤差概率相等抵償性：當(dāng)觀測次數(shù)無限增大時，偶然誤差的平均數(shù)趨近于零。第12頁/共71頁12偶然誤差的特性有限性：在有限次觀測中，偶然誤差應(yīng)小于限值136 -2評定精度的標(biāo)準(zhǔn)一、方差和標(biāo)準(zhǔn)差（中誤差）中誤差第13頁/共71頁136 -2評定精度的標(biāo)準(zhǔn)一、方差和標(biāo)準(zhǔn)差（中誤差）中誤差146 -2評定精度的標(biāo)

7、準(zhǔn)二、相對中誤差平均誤差一、中誤差第14頁/共71頁146 -2評定精度的標(biāo)準(zhǔn)二、相對中誤差平均誤差一、中誤差15按觀測值的真誤差計算中誤差第15頁/共71頁15按觀測值的真誤差計算中誤差第15頁/共71頁16如果函數(shù)是連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)概率第16頁/共71頁16如果函數(shù)是連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)概率第17正態(tài)分布第17頁/共71頁17正態(tài)分布第17頁/共71頁18m1較小, 誤差分布比較集中，觀測值精度較高；m2較大，誤差分布比較離散，觀測值精度較低。兩組觀測值中誤差圖形的比較：m1=2.7m2=3.6第18頁/共71頁18m1較小, 誤差分布比較集中，觀測值精度較高；兩組

8、觀測19正態(tài)分布的特征正態(tài)分布密度以 為對稱軸,并在 處達(dá)到最大。當(dāng) 時，f(x) 0，所以f(x)以x軸為漸近線。用求導(dǎo)方法可知，在 處f(x)有兩個拐點(diǎn)。對分布密度在某個區(qū)間內(nèi)的積分就等于隨機(jī)變量在這個區(qū)間內(nèi)取值的概率第19頁/共71頁19正態(tài)分布的特征正態(tài)分布密度以 為對稱軸,20第20頁/共71頁20第20頁/共71頁21區(qū)別錯誤與誤差的閥值隨機(jī)變量X在區(qū)間（x1x2） 之間的概率為則函數(shù)是連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)如果就得正態(tài)分布第21頁/共71頁21區(qū)別錯誤與誤差的閥值隨機(jī)變量X在區(qū)間（x1x2） 之間的22三、極限誤差第22頁/共71頁22三、極限誤差第22頁/共71頁23第

9、23頁/共71頁23第23頁/共71頁24但大多數(shù)被觀測對象的真值不知，任何評定觀測值的精度，即： =？ m=？尋找最接近真值的值x6 -3觀測值的算術(shù)平均值及改正值 第24頁/共71頁24但大多數(shù)被觀測對象的真值不知，任何評定觀測值的精度，即：25集中趨勢的測度（最優(yōu)值）中位數(shù)：設(shè)把n個觀測值按大小排列，這時位于最中間的數(shù)就是“中位數(shù)”。眾數(shù)：在n個數(shù)中，重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)就是“眾數(shù)”。切尾平均數(shù)：去掉 lmax, lmin以后的平均數(shù)。算術(shù)平均數(shù)：滿足最小二乘原則的最優(yōu)解第25頁/共71頁25集中趨勢的測度（最優(yōu)值）中位數(shù)：設(shè)把n個觀測值按大小排列26一、算術(shù)平均值：滿足最小二乘原則的最

10、優(yōu)解第26頁/共71頁26一、算術(shù)平均值：滿足最小二乘原則的最優(yōu)解第26頁/共7127證明（x是最或然值） 將上列等式相加，并除以n,得到 第27頁/共71頁27證明（x是最或然值） 28二、觀測值的改正值若被觀測對象的真值不知，則取平均數(shù) 為最優(yōu)解x改正值的特性定義改正值似真差滿足最小二乘原則的最優(yōu)解最小二乘第28頁/共71頁28二、觀測值的改正值若被觀測對象的真值不知，則取平均數(shù) 296 -4觀測值的精度評定標(biāo)準(zhǔn)差可按下式計算中誤差第29頁/共71頁296 -4觀測值的精度評定標(biāo)準(zhǔn)差可按下式計算中誤差第2930證明將上列左右兩式相減，得第30頁/共71頁30證明將上列左右兩式相減，得第30

11、頁/共71頁31分別取平方第31頁/共71頁31分別取平方第31頁/共71頁32取和對代入前式第32頁/共71頁32取和對代入前式第32頁/共71頁33計算標(biāo)準(zhǔn)差例子 第33頁/共71頁33計算標(biāo)準(zhǔn)差例子 第33頁/共71頁34小結(jié)一、已知真值X，則真誤差一、真值不知，則二、中誤差二、中誤差第34頁/共71頁34小結(jié)一、已知真值X，則真誤差一、真值不知，則二、中誤差二356 -5誤差傳播定律已知：mx1,mx2,mxn求：my=?y=? 第35頁/共71頁356 -5誤差傳播定律已知：mx1,mx2,mxn36觀測值函數(shù)的中誤差 誤差傳播定律一.觀測值的函數(shù)例：高差平均距離實(shí)地距離三角邊和或差

12、函數(shù)線性函數(shù)倍數(shù)函數(shù)一般函數(shù)坐標(biāo)增量一般函數(shù)第36頁/共71頁36觀測值函數(shù)的中誤差一.觀測值的函數(shù)例：高差平均距離實(shí)地距37二、幾種常用函數(shù)的中誤差 （一）和(差)函數(shù)已知：mx,my, 求：mz=?第37頁/共71頁37二、幾種常用函數(shù)的中誤差 （一）和(差)函數(shù)已知：38二、幾種常用函數(shù)的中誤差 （一）和(差)函數(shù)已知：mx,my, 求：mz=?和第38頁/共71頁38二、幾種常用函數(shù)的中誤差 （一）和(差)函數(shù)已知：39二、幾種常用函數(shù)的中誤差 （一）和差函數(shù)已知：mx,my, 求：mz=?和第39頁/共71頁39二、幾種常用函數(shù)的中誤差 （一）和差函數(shù)已知：mx40二、幾種常用函數(shù)的

13、中誤差 （一）和差函數(shù)已知：mx,my, 求：mz=?第40頁/共71頁40二、幾種常用函數(shù)的中誤差 （一）和差函數(shù)已知：mx41二、幾種常用函數(shù)的中誤差 （一）和差函數(shù)已知：mx,my, 求：mz=?和第41頁/共71頁41二、幾種常用函數(shù)的中誤差 （一）和差函數(shù)已知：mx42二、幾種常用函數(shù)的中誤差 （二）倍乘函數(shù)已知：mx,求：mz=?和平方第42頁/共71頁42二、幾種常用函數(shù)的中誤差 （二）倍乘函數(shù)已知：mx43二、幾種常用函數(shù)的中誤差 （二）倍乘函數(shù)已知：mx,求：mz=?第43頁/共71頁43二、幾種常用函數(shù)的中誤差 （二）倍乘函數(shù)已知：mx44解：例 量得 地形圖上兩點(diǎn)間長度

14、=168.5mm0.2mm, 計算該兩點(diǎn)實(shí)地距離S及其中誤差ms：列函數(shù)式中誤差式第44頁/共71頁44解：例 量得 地形圖上兩點(diǎn)間45二、幾種常用函數(shù)的中誤差 （三）線性函數(shù)已知：mxi,求：mz=?第45頁/共71頁45二、幾種常用函數(shù)的中誤差 （三）線性函數(shù)已知：mx46（三）線性函數(shù)特殊xi為獨(dú)立觀測值第46頁/共71頁46（三）線性函數(shù)特殊xi為獨(dú)立觀測值第46頁/共71頁47例6距離誤差例：對某距離用精密量距方法丈量六次，求該距離的算術(shù) 平均值 ； 觀測值的中誤差 ； 算術(shù)平均值的中誤 差 ； 算術(shù)平均值的相對中誤差 ：凡是相對中誤差，都必須用分子為1的分?jǐn)?shù)表示。第47頁/共71頁

15、47例6距離誤差例：對某距離用精密量距方法丈量六次，求該距48二.誤差傳播定律(四)一般函數(shù)的中誤差公式誤差傳播定律設(shè)有函數(shù)xi為獨(dú)立觀測值對上式線性化第48頁/共71頁48二.誤差傳播定律(四)一般函數(shù)的中誤差公式誤差傳播定49中誤差關(guān)系式：小結(jié)第一步：寫出函數(shù)式第二步：寫出全微分式(線性化)第三步：寫出中誤差關(guān)系式注意：只有自變量微分之間相互獨(dú)立才可以進(jìn)一步寫出中誤差關(guān)系式。第49頁/共71頁49中誤差關(guān)系式：小結(jié)第49頁/共71頁50觀測值函數(shù)中誤差公式匯總 觀測值函數(shù)中誤差公式匯總 函數(shù)式 函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù) 和差函數(shù) 線性函數(shù) 算術(shù)平均值 第50頁/共71頁50觀測值函數(shù)中

16、誤差公式匯總 51例已知某矩形長a=500米，寬b=400米, ma=mb=0.02cm，求矩形的面積中誤差mp。三、幾種常用函數(shù)的中誤差 求觀測值函數(shù)中誤差的步驟：(1)列出函數(shù)式；(2)對函數(shù)式線性化(全微分)；(3)套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。 第51頁/共71頁51例已知某矩形長a=500米，寬b=400米, ma=mb52例題已知 有求：錯誤第52頁/共71頁52例題已知錯誤第52頁/共71頁53例題已知 有；求：第53頁/共71頁53例題已知第53頁/共71頁54觀測值：斜距S和豎直角v待定值：水平距離DSvhD6 -6 誤差傳布定律應(yīng)用舉例第54頁/共71頁54觀測值：斜距S

17、和豎直角vSvhD6 -6 誤差傳布定556-6 誤差傳播定律應(yīng)用觀測值：斜距S和豎直角v待定值：高差hSvhD第55頁/共71頁556-6 誤差傳播定律應(yīng)用觀測值：斜距S和豎直角vS56誤差傳播定律應(yīng)用舉例算術(shù)平均值 已知：m1 =m2 =.=mn=m 求：mx第56頁/共71頁56誤差傳播定律應(yīng)用舉例算術(shù)平均值第56頁/共71頁57算例：用三角形閉合差求測角中誤差第57頁/共71頁57算例：用三角形閉合差求測角中誤差第57頁/共71頁58誤差傳播定律的應(yīng)用解：由題意：每個角的測角中誤差：由于DJ6一測回角度中誤差為：由角度測量n測回取平均值的中誤差公式：例：要求三角形最大閉合差 ，問用DJ

18、6經(jīng) 緯儀觀測三角形每個內(nèi)角時須用幾個測回？ 用DJ6經(jīng)緯儀觀測三角形內(nèi)角時，每個內(nèi)角觀測4個測回取平均，可使得三角形閉合差 。第58頁/共71頁58誤差傳播定律的應(yīng)用解：由題意：每個角的測角中誤差：由于D59DMPxyXYO由誤差傳播定律：解：P點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差：例9：已知直線MP的坐標(biāo)方位角=722000， 水平距離D=240m。如已知方位角中誤差 ，距離中誤差 ， 求由此引起的P點(diǎn)的坐標(biāo)中誤差 、 ， 以及P點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差 。第59頁/共71頁59DMPxyXYO由誤差傳播定律：解：P點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差：606 -7加權(quán)平均數(shù)及其中誤差現(xiàn)有三組觀測值，計算其最或然值A(chǔ)組： 123.34, 12

19、3.39, 123.35B組： 123.31, 123.30, 123.39, 123.32C組： 123.34, 123.38, 123.35, 123.39, 123.32各組的平均值 A組： 123.360 B組： 123.333 C組： 123.356 =?第60頁/共71頁606 -7加權(quán)平均數(shù)及其中誤差現(xiàn)有三組觀測值，計算其最或61加權(quán)平均數(shù) 各組的平均及其權(quán) A組： 123.360 權(quán)PA=3 B組： 123.333 PB=4 C組： 123.356 PC=5 ( ) ( ) ( )第61頁/共71頁61加權(quán)平均數(shù) ( 62一、權(quán)與中誤差平均數(shù)的權(quán)pA=3平均數(shù)的中誤差m單位權(quán)中誤差權(quán)與誤差的平方成反比第62頁/共71頁62一、權(quán)與中誤差平均數(shù)的權(quán)pA=3第62頁/共71頁63二、加權(quán)平均數(shù)第63頁/共71頁63二、加權(quán)平均數(shù)第63頁/共71頁64三、加權(quán)平均值的中誤差 第64頁/共71頁64三、加權(quán)平均值的中誤差 第64頁/共71頁65四、單位權(quán)中誤差的計算如果m可以用真誤差j計算，則如果m要用改