1、航天中的圓錐曲線2005年10月17日凌晨，5天前從酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心啟航的神舟六號飛船，在平安飛行 了 115個小時32分后重返神州，緩緩降落在內(nèi)蒙古四子王旗主著陸場的草地上.我國首次 真正意義上有人參與的空間飛行試驗取得了圓滿成功.隨著中國第二次載人航天飛行的圓滿 成功，中國人的太空探索就站在了一個新的起點上，越來越多的世人把目光投向中國的航天 事業(yè).下面就結(jié)合航天中的圓錐曲線的應用加以分析.航天中的橢圓例1. 2005年10月12日9時整，神舟六號載人飛船發(fā)射升空，于9時9分50秒準確 進入預定軌道，開始巡天飛行.該軌道是以地球的中心F 2為一個焦點的橢圓.選取坐標系 如圖所示，橢圓中心在

2、原點.設近地點為A，遠地點為B，已知地球半徑為R.只從數(shù)學角度分析，如果僅知道的近地點A的高度m，能確定飛船飛行的橢圓軌 道的方程嗎？如果還知道遠地點B的高度呢？求在m和n都已知的情況下的飛船飛行的橢圓軌道的方程；若近地點A的高度m = 200公里，遠地點B的高度n = 350公里.已知地球半徑R = 6371公里.求飛船飛行的橢圓軌道的方程.解析：(1)如果僅知道近地點A的高度，是不能確定飛船飛行的橢圓軌道的方程的；如 果還知道遠地點B的高度，則可以很容易地確定飛船飛行的橢圓軌道的方程；(2)設飛船飛行的橢圓軌道的方程為上+= 1( b 0)，近地點A的高度m，遠地點B的高度n，地球半徑為R

3、， 則 AB = 2 a = m + n + 2 R ，m + m + n + 2 R所以 a = ， OF = c = a - AFm + n + 2 Rn 一 m2 m 2. b 2 = a 2 c 2 = (m + R )( n + R )，.飛船飛行的橢圓軌道的方程為+(3)V m = 200 公里，n = 350 公里，R=6371 公里，代入以上(2 )中的方程可得飛船飛行的橢圓軌道的方程為代入以上(2 )中的方程可得飛船飛行的橢圓軌道的方程為44169316=1 -44163691點評：人造地球衛(wèi)星的軌道也是橢圓，人們在設定了一定的軌道參數(shù)之后，就能控制和 預報衛(wèi)星的運行軌道，從

4、而達到遙控和回收的目的.航天中的雙曲線例2 .“神舟”六號載人飛船返回倉順利到達地球后，為了及時將航天員安全救出，地 面指揮中心在返回倉預計到達區(qū)域內(nèi)安排三個救援中心(記為A、B、C)，A在B的正東方 向，相距6千米，C在B的北偏西30。，相距4千米，P為航天員著陸點，某一時刻，A接 受到P的求救信號，由于B、C兩地比A距P遠，因此4秒后，B、C兩個救援中心才同時 接受到這一信號.已知該信號的傳播速度為1千米/秒.求在A處發(fā)現(xiàn)P的方位角；若信號從P點的正上空Q點處發(fā)出，則A、B收到信號時間差變大還是變小？請 說明理由.解析：(1)如圖1，| pc |= | PB I，,點P在線段BC的垂直平分

5、線上，又V | pb | - | pa 1= 4，點P在以A、B為焦點的雙曲線的右支上，以AB中點為坐標原點，直線AB所在直線為x軸建立直角坐標系，則A (3,0)，B (-3,0)，C (-5,2%3)，.雙曲線方程為X2 - 2 = 1(x 0)，又直線BC的垂直平分線方程為：x - v7y + 7 = 0，聯(lián)立以上兩個方程解得：x = 8，二P (8,5有)，.kpA = tan / pAx =、3，即/ pAx = 60。，即P點在A點的北偏東3。處;（圖1）B（圖（圖1）B（圖2）（2）如圖 2，設| PQ |= h，| PB |= x，| PA |= y，.心-些=5 2 + h

6、2fy 2 + h (x 一 y )X + 七，11-V X 2 + h 2 + E y 2 + h 2I PB I I PA Iv x v x 2 + h 2 + ： y 2 + h 2.A、B收到信號時間差變小，B、C兩救援中心收到信號的時間少于4秒.點評：常常采用雙曲線時差定位法來處理國防上的一些問題，在國防、軍事、救災搶險、 航天等方面都有重大的意義.可以利用雙曲線的定義和特征，確定爆炸點或出事地點的位置 等.航天中的拋物線例3.學?？萍夹〗M在計算機上模擬航天器變軌返回試驗.設計方案如圖：航天器運行（按順時針方向）的軌跡方程為X2100+ y 2 （按順時針方向）的軌跡方程為X2100

7、25后返回的軌跡是以y軸為對稱軸、后返回的軌跡是以y軸為對稱軸、(64 )0, 一I 7 J為頂點的拋物線的實線部分，降落點為D （8, 0 ） .觀測點A （4, 0）、B （6, 0）同時跟蹤航天器.（1）求航天器變軌后的運行軌跡所在的曲線方程；（2）試問：當航天器在x軸上方時，觀測點a、B測得離航天器的距離分別為多少時， 應向航天器發(fā)出變軌指令？解析：（1）設曲線方程為y = ax 2 +旦，由題意可知：解析：（1）設曲線方程為y = ax 2 +旦，由題意可知：0 = a - 64647即曲線方程為y = - 1 x 2 +絲；77（2）設變軌點為c （ x, y ），x 2y 2+= 1 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 根據(jù)題意可知J 10025164y = x2 + I 77(1)，(2)整理可得4y 2 7 y 36 = 0，解得y = 4或y = 9 （不合題意，舍去），4.y = 4，得x = 6或x = - 6（不合題意，舍去）.C點的坐標為(6, 4)，則可得 I AC I = 2*5 , I BC I= 4 .4時，應向航天器發(fā)出變軌指令.答：當觀測點A、B測得 AC、 BC 距離分別為4時，應向航天器發(fā)出變軌指令.點評：拋物線是物體運動中最最常見的軌跡問題之一，也是航天中發(fā)射與回收中拋物