1、基本事實(shí)與公理*O內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院趙思林期刊名稱】中學(xué)數(shù)學(xué)年(卷),期】2019(000)002總頁(yè)數(shù)】3*基金項(xiàng)目：本文系教育部“本科教學(xué)工程”四川省地方屬高校本科專業(yè)綜合改革試點(diǎn)項(xiàng)目?jī)?nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)“專業(yè)綜合改革試點(diǎn)”項(xiàng)目(ZG0464 );四川省“西部卓越中學(xué)數(shù)學(xué)教師協(xié)同培養(yǎng)計(jì)劃”項(xiàng)目(ZY16001)；內(nèi)江師范學(xué)院2016年度校級(jí)學(xué)科建設(shè)特色培育項(xiàng)目(T160009，T160010，T160011 )的成果.一、基本事實(shí)、公理化思想與公理的含義基本事實(shí)的含義 辭海對(duì)“基本”的解釋是：根本，根本的；對(duì)“事實(shí)”的解釋是：事情的真實(shí) 情況.由此推之，基本事實(shí)是指基本的

2、事實(shí)，或者說(shuō)是指根本的事實(shí) .顯然，基本 事實(shí)具有可感知性、真實(shí)性、基礎(chǔ)性等特點(diǎn).基本事實(shí)的可感知性是指借助于人 的眼、耳、手等感覺(jué)器官可以感知這個(gè)基本事實(shí)；基本事實(shí)的真實(shí)性表示可以 驗(yàn)證或證明；基本事實(shí)的基礎(chǔ)性是指能反映數(shù)學(xué)某個(gè)子系統(tǒng)最基本的規(guī)律或特 點(diǎn).數(shù)學(xué)基本事實(shí)是數(shù)學(xué)研究中獲得的相對(duì)獨(dú)立的程式化的思考模式 1.把數(shù) 學(xué)基本事實(shí)直接看成“思考模式”未必會(huì)被學(xué)界普遍接受 .研究者認(rèn)為，數(shù)學(xué)基 本事實(shí)是指能反映數(shù)學(xué)某個(gè)子系統(tǒng)最基本的規(guī)律或特點(diǎn)的事實(shí)，數(shù)學(xué)基本事實(shí) 需得到數(shù)學(xué)界的普遍認(rèn)可.公理化思想方法的含義公理化思想方法（又稱公理化方法）最早出現(xiàn)在歐幾里得的幾何原本 .歐幾 里得選取了幾個(gè)不

3、加定義的原始概念（或稱基本概念）和一組不需證明的幾何 命題作為公理（或公設(shè)），使它們成為全部歐幾里得幾何的出發(fā)點(diǎn)和邏輯推理的 前提，然后應(yīng)用亞里士多德提出的三段論推理，推演出一系列幾何定理，從而 把關(guān)于幾何的知識(shí)整理為一個(gè)（比較）嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膸缀螌W(xué)理論體系，這就形成了 幾何原本.公理系統(tǒng)中的基本概念和公理（或公設(shè)），必須反映該學(xué)科中基 本對(duì)象最簡(jiǎn)單、最本質(zhì)的內(nèi)部關(guān)系，它并非是人們憑自己的主觀意志或愿望而 隨意創(chuàng)造的.在歷史上，公理化思想方法的發(fā)展經(jīng)過(guò)了 4 個(gè)時(shí)期：一是歐幾里得 的直觀性公理化時(shí)期；二是非歐幾何的思辨性公理化時(shí)期；三是希爾伯特的形 式主義公理化時(shí)期；四是法國(guó)的布爾巴基的結(jié)構(gòu)主義公理化

4、時(shí)期 2.中學(xué)幾 何包括平面幾何和立體幾何，屬于直觀性公理化時(shí)期的歐幾里得幾何 .中學(xué)幾何 知識(shí)可以借助于人的眼、耳、手等感覺(jué)器官去感知并輔助學(xué)習(xí)，可以動(dòng)手做幾 何模型，但非歐幾何更多的是靠思辨、想象、推理等方式去學(xué)習(xí)或理解.公理的含義 很顯然，公理（或公設(shè)）是幾何原本最具有原創(chuàng)性的核心概念，也是公理 化思想方法精髓的基本概念.辭海對(duì)“公理”的解釋是：“在一個(gè)系統(tǒng)中已為反 復(fù)的實(shí)踐所證實(shí)而被認(rèn)為不需要證明的真理.”這里所說(shuō)的真理是相對(duì)真理而非 絕對(duì)真理.這個(gè)解釋適合于歐幾里得幾何，但對(duì)非歐幾何中的一些公理未必適合， 例如，非歐幾何中的平行公理就沒(méi)法被“反復(fù)的實(shí)踐所證實(shí)”.公理一般需要數(shù) 學(xué)中的

5、一些基本概念來(lái)表達(dá)，而數(shù)學(xué)基本概念是理性思維的產(chǎn)物，因此，公理 也是理性思維的產(chǎn)物.從嚴(yán)格意義上講，公理一般不能證明，它是不證自明的， 它可以作為數(shù)學(xué)證明中的論據(jù).但考慮到中學(xué)生的認(rèn)知水平，為了降低教學(xué)的難 度，節(jié)省教學(xué)時(shí)間，在中學(xué)教材里把一些重要的但其證明的難度較大的定理也 作為公理，即中學(xué)幾何的公理體系是擴(kuò)大了的公理體系，也就是說(shuō)，中學(xué)幾何 的公理體系中的一些公理實(shí)質(zhì)上是定理，這些定理是可以證明的，但其證明的 難度較大或較為麻煩.在中學(xué)，把一些難以證明的定理當(dāng)作公理，體現(xiàn)了“教育 數(shù)學(xué)”理念，從教學(xué)實(shí)踐來(lái)看是可行的、成功的.二、基本事實(shí)是公理嗎？公理是基本事實(shí)嗎？ 基本事實(shí)和公理是兩個(gè)不同

6、概念，它們既有聯(lián)系又有區(qū)別 .在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課 程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）3（以下簡(jiǎn)稱課標(biāo) 2011 版）的第 31、32、33、 37頁(yè)提出了要求學(xué)生掌握的關(guān)于“圖形與幾何”的基本事實(shí)共9 個(gè)，如“基本 事實(shí)：兩點(diǎn)之間線段最短”.3這 9 個(gè)基本事實(shí)在課改之前都叫作公理.普 通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）4（以下簡(jiǎn)稱課標(biāo) 2017 版）也把課 改之前的公理全改為基本事實(shí).有意思的是，課標(biāo) 2017 版在第 28 頁(yè)的腳注 中指出“基本事實(shí) 1-4 也稱公理”，課標(biāo) 2017 版顯然把“基本事實(shí)”和 “公理”當(dāng)成了同一個(gè)概念.既然“基本事實(shí)”和“公理”是同一概念，那么就 沒(méi)有必要用4 個(gè)字

7、的“基本事實(shí)”去替換僅有 2 個(gè)字的“公理”.幾何中的“點(diǎn)”是基本事實(shí)嗎？ 幾何圖形一般可以看成“點(diǎn)”的集合.“點(diǎn)”是幾何中最基本的概念，“點(diǎn)”是 基本事實(shí)嗎？著名數(shù)學(xué)家龐加萊說(shuō)：“許多人都認(rèn)為空間中的點(diǎn)的概念是人們 熟知的，沒(méi)有必要給出什么定義.但是在我看來(lái)，像數(shù)學(xué)中的點(diǎn)那樣沒(méi)有長(zhǎng)短、 大小、厚薄之分的微妙概念，并不是世人想象的那樣直觀明了，而是需要作完 整說(shuō)明的東西.然而，我們并不打算在這里給點(diǎn)下個(gè)定義，因?yàn)槿绻讯x 按順序追序上去，就會(huì)到達(dá)不能給出定義的地步，到了那時(shí)就不得不停下定義 了.那么，我們應(yīng)該在什么時(shí)候停下來(lái)呢？大體是到達(dá)我們的感官能感覺(jué)到的程 度，或者到達(dá)我們能夠產(chǎn)生影像的

8、地步時(shí)就停止.到這時(shí)，定義就失去了作用.” 5龐加萊對(duì)“點(diǎn)”這個(gè)概念，想下一個(gè)定義但最終沒(méi)有給出定義，想把它說(shuō) 清楚但他又感到說(shuō)不清楚.他認(rèn)為，“點(diǎn)”是個(gè)微妙概念，意味著口欲言而不能； “點(diǎn)”不是世人想象的那樣直觀明了，“不直觀”意味著不能被看見或者難以 被看見，進(jìn)一步講，“點(diǎn)”是不能或難以被感知的 .事實(shí)上，不能給“點(diǎn)”下一 個(gè)定義，這是因?yàn)椤包c(diǎn)”作為原始（基本）概念是沒(méi)有定義的 .大家知道，幾何 中的基本概念如“點(diǎn)”“直線”“平面”等是沒(méi)有任何物質(zhì)屬性的 .由于“點(diǎn)” 沒(méi)有大小，“直線”沒(méi)有粗細(xì)，“平面”沒(méi)有厚薄，因此“點(diǎn)”“直線”“平 面”這些基本的幾何研究對(duì)象，用人的眼睛是看不見的，用

9、手也是摸不到的 .再 有，“直線”“平面”都具有無(wú)限延伸或無(wú)限延展的特點(diǎn)，人用有限的眼光 （人眼的視力總是有限的）是不可能看到無(wú)限遠(yuǎn)的，這也決定了“直線”和 “平面”是永遠(yuǎn)看不到盡頭的，這是因?yàn)樗鼈儽旧砭蜎](méi)有盡頭.“點(diǎn)”“直 線”“平面”等這些基本的幾何研究對(duì)象，都不會(huì)發(fā)出任何聲音，用人的耳朵 去聽是聽不出任何聲音的.因此，幾何中的“點(diǎn)”“直線”“平面”等基本概念 靠眼、耳、手等感覺(jué)器官是無(wú)法感知或難以感知的 .即“點(diǎn)”“直線”“平面” 等幾何研究對(duì)象都不是基本事實(shí).由此從嚴(yán)密邏輯性的角度講，“兩點(diǎn)之間線段 最短”不是人們能夠感知到的基本事實(shí)，而是人類在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上理性思 維的結(jié)果.可能有

10、人會(huì)說(shuō)，“點(diǎn)”“直線”“平面”我們可以畫出來(lái) .但應(yīng)注意的是，“點(diǎn)” 沒(méi)有大小、“直線”沒(méi)有粗細(xì)、“平面”沒(méi)有厚薄，“直線”和“平面”還具 有無(wú)限性的特點(diǎn)，它們能真實(shí)地畫出來(lái)嗎？回答是否定的 .我們能夠畫出來(lái)的只 是“點(diǎn)”“直線”“平面”的示意圖而非其本身.基本事實(shí)是公理嗎？ 基本事實(shí)未必是公理.由于公理是描述基本概念之間內(nèi)在基本關(guān)系的真命題，因 此，刻畫“點(diǎn)”“直線”“平面”等幾何對(duì)象的關(guān)系的一些公理被直接認(rèn)定為 真命題.在人們的實(shí)踐和生活中，有很多基本事實(shí)都不能作為數(shù)學(xué)中的公理，比如， “熟了的梨子是甜的”，這顯然是一個(gè)基本事實(shí)，但它永遠(yuǎn)不能作為一條數(shù)學(xué) 公理.非數(shù)學(xué)的其他科學(xué)中的基本事實(shí)

11、也不能直接作為數(shù)學(xué)中的公理，如“硫酸 具有腐蝕性”是化學(xué)中的基本事實(shí)，但此性質(zhì)永遠(yuǎn)都不能作為數(shù)學(xué)中的公理 .這 是因?yàn)閿?shù)學(xué)不會(huì)直接研究梨子、硫酸等，也不能用數(shù)學(xué)的方法去證明梨子是甜 的、硫酸具有腐蝕性.公理是基本事實(shí)嗎？張楚廷教授認(rèn)為，“歐幾里得的幾何原本所體現(xiàn)的公理化思想，不是來(lái)自 于任何自然現(xiàn)象，而是來(lái)自于古希臘圣哲們的邏輯思想，并非來(lái)自于自然和社 會(huì).而邏輯思想來(lái)自人的思想本身，來(lái)自人的心靈”.“是人締造了數(shù)學(xué)”.6 既然歐幾里得幾何不是直接來(lái)自于任何自然現(xiàn)象，也不是直接來(lái)自于人類生活， 那么歐幾里得幾何中的基本概念和公理（公設(shè)）也不是直接來(lái)自于任何自然現(xiàn) 象和人類生活.也就是說(shuō)，歐幾里

12、得幾何中的基本概念和公理（公設(shè)）不是自然 現(xiàn)象和人類生活中的基本事實(shí).因此，歐幾里得幾何中的公理（公設(shè)）未必都是 基本事實(shí).當(dāng)然，有的基本事實(shí)可以看成公理，有的公理可以看成基本事實(shí) .以課標(biāo)2011 版的第 31 頁(yè)的“基本事實(shí)：兩點(diǎn)之間線段最短”3為例，人們普 遍能夠接受“兩點(diǎn)之間線段最短”這個(gè)結(jié)論，因此，把“兩點(diǎn)之間線段最短” 看成基本事實(shí)或者看成公理，都不會(huì)有異議.但也有一些基本事實(shí)不能看成公理， 也有一些公理不能看成基本事實(shí).以課標(biāo) 2011 版的第 32 頁(yè)的“基本事實(shí)： 過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行”2為例，這實(shí)質(zhì)上是歐幾 里得的幾何原本中的平行公理（又叫第五公設(shè)）

13、.在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史中，很 多數(shù)學(xué)家認(rèn)為這不是一條獨(dú)立的公理，總是想盡辦法試圖去證明它，但均以失 敗告終.羅巴切夫斯基、鮑耶、高斯、黎曼等數(shù)學(xué)家研究了失敗的原因，對(duì) “幾何原本中的平行公理可以證明”開始是質(zhì)疑（懷疑） ，接著他們認(rèn)為 幾何原本中的平行公理不能證明，于是就創(chuàng)造性地提出了非歐幾何中的平 行公理，由此就創(chuàng)立了非歐幾何.因此，數(shù)學(xué)中的一些公理一般不能看成人們的 實(shí)踐和生活中的基本事實(shí).三、幾點(diǎn)思考公理化思想方法具有較高的教育價(jià)值 在數(shù)學(xué)學(xué)科中，某一個(gè)分支成熟的標(biāo)志是該分支建構(gòu)了（比較）嚴(yán)格的公理系 統(tǒng).運(yùn)用公理化思想方法建立起來(lái)的系統(tǒng)的知識(shí)體系稱為公理系統(tǒng).一門科學(xué)在其 發(fā)展的初期和中期

14、，必然會(huì)積累大量經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)和不少理論知識(shí)，也就是當(dāng)人們 對(duì)一門科學(xué)認(rèn)知了一定數(shù)量的概念（原理）、規(guī)律、法則（準(zhǔn)則）和算法等之后， 就可以運(yùn)用公理化方法對(duì)該門科學(xué)進(jìn)行系統(tǒng)的、嚴(yán)密的邏輯整理，使該門科學(xué) 能夠構(gòu)成一個(gè)（比較）嚴(yán)格的公理系統(tǒng)，這時(shí)就可以說(shuō)該門科學(xué)嚴(yán)密化了、成 熟了.在科學(xué)史上，牛頓是運(yùn)用公理化方法的天才，他在自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理一 書中，第一次系統(tǒng)地運(yùn)用公理化方法演繹了經(jīng)典力學(xué)的理論體系，成為科學(xué)史 上第一個(gè)把公理化方法運(yùn)用于物理學(xué)的典范.對(duì)“公理”的處理，課標(biāo) 2011 版及配套教材的做法是淡化“公理”的概念， 甚至在課標(biāo) 2011 版根本就看不到“公理”二字.這種做法的本意是想降低

15、初中學(xué)生學(xué)習(xí)平面幾何的難度，其初心是好的，但這樣做的本質(zhì)是淡化公理化 思想方法，進(jìn)一步講，淡化“公理”概念的必然結(jié)果是淡化演繹推理及數(shù)學(xué)證 明的邏輯起點(diǎn) .淡化“公理”的概念和淡化公理化思想方法，容易形成“輕發(fā) 現(xiàn)”“輕科學(xué)”“輕理性”“輕理論”等不良局面，正如張楚廷先生的憂慮： “在我們的文化傳統(tǒng)里，重發(fā)明，輕發(fā)現(xiàn)；重技術(shù)，輕科學(xué)；重感性，輕理性； 重實(shí)用，輕理論.”7基本事實(shí)與公理是兩個(gè)容易混淆的概念 有的基本事實(shí)可以看成公理，有的公理可以看成基本事實(shí) .比如，“兩點(diǎn)之間線 段最短”，既可以看成數(shù)學(xué)中的基本事實(shí)，也是一條公理.由于“基本事實(shí)”與“公理”屬于交叉概念，因此這兩個(gè)概念是容易混淆

16、的.基本事實(shí)與公理的認(rèn)知邏輯不相同 基本事實(shí)是需要驗(yàn)證或證明的.基本事實(shí)的認(rèn)知邏輯主要是人們用眼、耳、手等 去感知事物的本質(zhì)屬性，其感知的結(jié)果能夠得到主流學(xué)術(shù)界的認(rèn)可 .在實(shí)踐、生 活、非數(shù)學(xué)的學(xué)科中，有很多基本事實(shí)不能作為數(shù)學(xué)中的公理 .數(shù)學(xué)中的很多基 本事實(shí)也不能作為公理.公理一般是無(wú)需驗(yàn)證的.一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓眢w系中的公理一般是不能證明的.公理是 描述概念或概念之間關(guān)系的真命題.公理是建立在數(shù)學(xué)基本概念之上的.公理（或 公理體系）的認(rèn)知邏輯是，通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、結(jié)構(gòu)、關(guān)系、規(guī)律 和信息等的抽象概括而得到數(shù)學(xué)基本概念，接著通過(guò)對(duì)基本概念之間的內(nèi)在關(guān)系的探索與發(fā)現(xiàn)得到公理，最后運(yùn)用邏輯

17、規(guī)則優(yōu)選出一些基本概念和一些公理 就構(gòu)成公理體系由此可以歸結(jié)出建構(gòu)公理體系的一般模式，即“客觀事物f基 本事實(shí)j基本概念j公理j公理體系”.從而可以看到，基本概念是連接客觀事 物和公理的橋梁，公理是連接數(shù)學(xué)基本概念和公理體系的橋梁，數(shù)學(xué)教學(xué)的核 心任務(wù)在于幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)并建立這兩座橋梁 這個(gè)一般模式，體現(xiàn)了發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的 理念與方法如果把建構(gòu)公理體系的一般模式再往前延伸，就能得到完整的數(shù)學(xué) 認(rèn)知模式，即“客觀事物j基本事實(shí)j基本概念j公理j公理體系j定理（公 式）j應(yīng)用（用數(shù)學(xué)）”.4建議把中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的基本事實(shí)全部改為公理 把數(shù)學(xué)教材中的“基本事實(shí)”改為“公理”有幾大好處：一是“公理”能準(zhǔn)確 地

18、體現(xiàn)公理化思想方法，而“基本事實(shí)”不一定能體現(xiàn)公理化思想方法；二是 學(xué)生通過(guò)對(duì)“公理”的學(xué)習(xí)，可以了解公理化思想方法；三是學(xué)生通過(guò)對(duì)“公 理”的學(xué)習(xí)，可以認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)理性思維的意義和價(jià)值；四是在中學(xué)滲透公理化思 想，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有益；五是中學(xué)數(shù)學(xué)教師都對(duì)“公理”很熟悉，在教 學(xué)時(shí)不會(huì)產(chǎn)生知識(shí)理解上的偏差；六是“公理”比“基本事實(shí)”既簡(jiǎn)單、又“節(jié)約”、還準(zhǔn)確，“公理”比“基本事實(shí)”少寫、少讀兩個(gè)字，其表達(dá)和書 寫都更簡(jiǎn)潔研究者認(rèn)為，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和中學(xué)教材都刻意回避“公理”的概念， 是不夠嚴(yán)謹(jǐn)、不夠穩(wěn)妥的，并且對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的理性思維是不利的 基于此，我們 建議把數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和數(shù)學(xué)教材中的基本事實(shí)全部