1、專題 15角含半角模型破題策略 等直角三角形角含半角如圖，在 中，AC90點 D， 在 BC 上45 （1） ADE（2）ABD EC證明（）得BADEAB，所以ADE eq oac(,CD) eq oac(, )A（2）方法一（旋轉(zhuǎn)法）：如圖 ，將ABD 繞點 逆時針旋轉(zhuǎn) 90得 eq oac(,到)ACF，結(jié) EFA FBD EC則EAFEAD45AD，所以FAE （ ）所以 DE 而 CF，F(xiàn)CEACE90，所以 BD CEDE方法二（翻折法）：如圖 2，點 B 關(guān)于 的對稱點 F連結(jié) AF，DFDEF因為EACEAF 又因為BAD，則FAECAE，AF， 所以CAESAS） 所以 EF

2、 1而 DF， DFEAFD AFE90，所以 BD EC EF DE【拓展如在 ABC 中BAC90 在 BC 上 在 BC 的 延長線上，且DAE45則 D 可以通過旋轉(zhuǎn)、翻折的方法來證明，如圖：FAEFB D E D CE將等腰直角三角形變成任意的等腰三角形：如圖， ABC 中ABAC點 ， 在 BC 上 則以 BD 為邊長的三角形有一個內(nèi)角度數(shù)為 180CABD EC可以通過旋轉(zhuǎn)、翻折的方法將 ， 轉(zhuǎn)到一個三角形中，如圖：AFBD ECDFE22 正形角含半角如圖 1，在正方形 ABCD 中點 ， 分在邊 BC， 上45連結(jié) EF則： HEEEFD CFDFD圖 1圖 2圖 3（1）（

3、2）如圖 2，過點 A 于點 ， AGAD（3）如圖 3，連結(jié) 交 AE 于點 ，連結(jié) 則 FH （1）如圖 4，將 點 A 逆時旋轉(zhuǎn) 90到ADI 明E F圖DI則IAFEAF45AE，所以AIF（SAS，所以 EFIFDIDF（2）因為AEFAIF，ADIF所以 AGD（3）由HAFHDF可 ， 四點共圓，從而18090，即 FHAE【拓展】如圖，在正方形 ABCD 中，點 分別在邊 CB，DC 的延長線上，EAF 45，連結(jié) ， EBAF D可以通過旋轉(zhuǎn)的方法來證.如:3ABF G D如圖，在一組鄰邊相等、對角互補的四邊形 ABCD 中AB=AD，+C=180 ，點 E 分在 BC 上=

4、BAEBAD，連結(jié) EF，則 EF=BE+DF.CF可以通過旋轉(zhuǎn)的方法來證.如:BAECFDG例講例 如圖 1，點 E、 分別正方形 的邊 、CD 上，45.（1） 試斷 BE、EF、 之的數(shù)量關(guān)系（2） 如 2，在四邊形 ABCD 中90AD180， 、 F 分別 、 上則當(dāng)EAF 與BAD 足 關(guān)系時，仍有 EF.（3）如圖 3在某公園的同一平面上，四條通道圍成四邊形 ABCD.已知 80m，60120，150，道路 BC， 上別有景點E，且 DF40 3 ）m現(xiàn)要在 、 之修一條筆直的道路，求這條道路 EF 的長（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：1.41，31.73）4A AFDFB圖1CB E圖

5、2CF圖解： ）“正方形內(nèi)含半角模型”可得 EFFD （2）BAD2，理由如下：如圖 4，延長 至點 ，使得 結(jié) AG.易證ADGSAS）.所以 AE，即 EFBEDF.從而證得AEF（ ）所以GAF 1 2AHDFAFB圖4CBEC（3）如圖 5，將 點 A 逆時旋轉(zhuǎn) 1 至ADG連結(jié) 由題意可得BAE60所以 和ADG 為等腰直角三角.過點 A 作 AH 于 H則AD40m， AD3m.而 DF40（31）m.所以GAF45. 可得GAF（SAS所以 80m+40（3l109. 2m.例 2 如，正方形 ABCD 的長為 、 分平分正方形的兩外角，且滿足 N 45連結(jié) MCNC（1）與AB

6、M 相似的三角形是 BMDN （用含有 的數(shù)式表示）； （2）求MCN 的數(shù)；5A（3）請你猜想線段 、DN 和 MN 之的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論. BCM解：（1）NDA， 2 .（2）由（1）可得BM ABAD ，所以BM BC DN易證NDC45所以DNC則BCMDNC，所以MCN =360一 一 270 （+DCN） 270（180DNC） 135（3） BMDNMN，證明如下：如圖，將 繞點 A 順針旋轉(zhuǎn) 90得到ABE，結(jié) EM. 易得 AE. MAE45EBM90所以 eq oac(,A) eq oac(, )AMN.（SAS）.則 MEMN在 eq oac(,Rt)BME 中

7、，BM 2 BE EM 所以 DN.DNEM倒 3 如，在四邊形 中，ADBC，90，AB，DAC45， 為 CD 上一點，且BAE45.若 4求 的積6 圖1解：如圖 過點 A 作 CB 的垂線，交 CB 延長線于點 .由DAC=45ADC90可 得 AD所以四邊形 為正方形從而 AF 4令 BC，則 4m，在 RtAFB ，有 16（4m 一m）所以 AB5，3如圖 2將 繞點 A 逆針旋轉(zhuǎn) 90易證AEB令 DE，則 4 ，BE3在 eq oac(,Rt) 中，有 1+（4n）（3），得 .所以 BG.從而 SABEABG AF BG . F B C進訓(xùn)圖21.如圖，等邊 的邊長為 1

8、是ABC 一點且120BDCD， 60求AMN 的長7NMD 的周長是 2【提示】如圖，延長 至 ，使得 ，結(jié) .先 BMD，證MDN 即可NMED2圖正形 ABCD 中連結(jié) F 是 BC 上的點 eq oac(,，)CEF 的周長是正方形 周長的一半AEAF 分別與 BD 交于 N，試判斷線段 和 MN 之間的數(shù)量關(guān)系，并證 明DFM 解BM【提】由CEF 周是正方形 ABCD 周的一半，想到“正方形角半角”，從而旋轉(zhuǎn)構(gòu)造輔助線解決問題（如圖 1）證AEF， BAD4，然后，再由“等腰直角三角形含半角”（如圖 2即可證得8DH GDNNFFMM E圖C 圖2C3如圖，在ABC ，90點 D 在 AB ，BC 于點 ，且 BC，點 在邊 AC 上，連結(jié) BF 交 DE 于點 G若DBF45，3求