1、垂徑定理垂直于弦的直徑垂徑定理垂直于弦的直徑圓的相關(guān)概念圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧,簡稱弧.直徑將圓分成兩部分,每一部分都叫做半圓(如弧ABC).連接圓上任意兩點(diǎn)間的線段叫做弦(如弦AB).O經(jīng)過圓心的弦叫做直徑(如直徑AC).AB以A,B兩點(diǎn)為端點(diǎn)的弧.記作 ,讀作“弧AB”.AB小于半圓的弧叫做劣弧,如記作 (用兩個(gè)字母).AmB大于半圓的弧叫做優(yōu)弧,如記作 (用三個(gè)字母).ABCmD圓的相關(guān)概念圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧,簡稱弧.直徑將圓分圓是軸對稱圖形.圓的對稱軸是任意一條經(jīng)過圓心的直線,它有無數(shù)條對稱軸.O可利用折疊的方法即可解決上述問題.圓是軸對稱圖形.圓的對稱軸是任意一條經(jīng)過

2、圓心的直線,它有無數(shù)2趙州石拱橋 1300多年前,我國隋朝建造的趙州石拱橋(如圖)的橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離,也叫弓形高)為7.2m,求橋拱的半徑(精確到0.1m).趙州石拱橋 1300多年前,我國隋朝建造的趙州石拱橋(如圖如圖，AB是O的一條弦，做直徑CD，使CDAB，垂足為E（1）圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和弧？為什么？?思考OABCDE活 動(dòng) 一（1）是軸對稱圖形直徑CD所在的直線是它的對稱軸（2） 線段： AE=BE弧:AC=BC,AD=BD把圓沿著直徑CD折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半

3、圓重合，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，AE與BE重合，AC , AD分別與BC 、BD重合如圖，AB是O的一條弦，做直徑CD，使CDAB，垂足為E即直徑CD垂直于弦AB，平分弦AB,并且平分AB及ACBOABCDE垂徑定理： 垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧即直徑CD垂直于弦AB，平分OABCDE垂徑定理：垂徑定理如圖, 理由是:連接OA,OB,OABCDM則OA=OB.在RtOAM和RtOBM中,OA=OB，OM=OM，RtOAMRtOBM.AM=BM.點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于CD對稱.O關(guān)于直徑CD對稱,當(dāng)圓沿著直徑CD對折時(shí),點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,AC和BC重合,AD和BD重合.AC =BC,AD =BD

4、.垂徑定理如圖, 理由是:連接OA,OB,OABCDM則OCAEBO.D總結(jié)：CD為O的直徑CDAB 條件結(jié)論AE=BEAC=BCAD=BDCAEBO.D總結(jié)：CD為O的直徑條件結(jié)論AE=BEOABDCEABCDEOABDCEOABCEOCDAB 練習(xí)1OBAED在下列圖形，符合垂徑定理的條件嗎？OEOABDCEABCDEOABDCEOABCEOCDAB 練ABCDEABDC條件CD為直徑結(jié)論AC=BCAD=BDCDABCDABAE=BE平分弦 的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧（不是直徑）垂徑定理的推論1:CDAB嗎？(E)ABCDEABDC條件CD為直徑結(jié)論AC=BCCDAB,垂徑定理

5、的逆定理AB是O的一條弦,且AM=BM.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系?與同伴說說你的想法和理由.過點(diǎn)M作直徑CD.O右圖是軸對稱圖形嗎?如果是,其對稱軸是什么?CD由 CD是直徑 AM=BM可推得AC=BC,AD=BD. MAB平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平 分弦所對的兩條弧.不是直徑CDAB,垂徑定理的逆定理AB是O的一條弦,且AM=B“知二推三” (1)垂直于弦 (2)過圓心 (3)平分弦 (4)平分弦所對的優(yōu)弧 (5)平分弦所對的劣弧注意:當(dāng)具備了(1)(3)時(shí),應(yīng)對另一 條弦增加”不是直徑”的限制.“知二推三”E例1 如圖，已知在O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3

6、cm，求O的半徑。講解AB.O垂徑定理的應(yīng)用E例1 如圖，已知在O中，弦AB的長為8cm，圓心O變式： 如圖，已知在O中，弦AB的長為8cm，CD是O的直徑，CDB垂足為E，DE2cm,求O的半徑。EAB.OCD變式： 如圖，已知在O中，弦AB的長為8cm，CD是 8cm1半徑為4cm的O中，弦AB=4cm, 那么圓心O到弦AB的距離是 。2O的直徑為10cm，圓心O到弦AB的 距離為3cm，則弦AB的長是 。3半徑為2cm的圓中，過半徑中點(diǎn)且 垂直于這條半徑的弦長是 。 練習(xí) 1ABOEABOEOABE 8cm1半徑為4cm的O中，弦AB=4cm, 練習(xí) 11.如圖,在O中,弦AB的長為8c

7、m,圓心到AB的距離為3cm,則O的半徑為 . 練習(xí) 2：ABOC5cm342.弓形的弦長AB為24cm，弓形的高CD為8cm，則這弓形所在圓的半徑為. 13cm(1)題(2)題1281.如圖,在O中,弦AB的長為8cm,圓心到AB的距離為3方法歸納:1.垂徑定理經(jīng)常和勾股定理結(jié)合使用。2.解決有關(guān)弦的問題時(shí)，經(jīng)常（1）連結(jié)半徑；（2）過圓心作一條與弦垂直的線段等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件。方法歸納:1.垂徑定理經(jīng)常和勾股定理結(jié)合使用。 例1：趙州橋的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為37.4米，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為7.2米，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？問題？OABDC

8、r 例1：趙州橋的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長練習(xí)：在中，、AC為互相垂直且相等的兩條弦，于，于求證：四邊形是正方形DOABCE練習(xí)：在中，、AC為互相垂直且相等的兩條弦， 已知：O中弦ABCD。求證：ACBD證明：作直徑MNAB。ABCD，MNCD。則AMBM，CMDM（垂直平分弦的直徑平分弦所對的弦）AMCM BM DMACBD .MCDABON講解如果圓的兩條弦互相平行，那么這兩條弦所夾的弧相等嗎？圓的兩條平行弦所夾的弧相等 已知：O中弦ABCD。證明：作直徑M垂徑定理的推論2 如果圓的兩條弦互相平行,那么這兩條弦所夾的弧相等嗎?老師提示: 這兩條弦在圓中位置有兩種情況:OA

9、BCD1.兩條弦在圓心的同側(cè)OABCD2.兩條弦在圓心的兩側(cè)垂徑定理的推論 圓的兩條平行弦所夾的弧相等.MM垂徑定理的推論2 如果圓的兩條弦互相平行,那么這兩條弦所夾的1.在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示.若油面寬AB = 600mm，求油的最大深度. ED 600CD知識(shí)延伸1.在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所2、如圖4，在O中，AB為O的弦，C、D是直線AB上兩點(diǎn)，且ACBD求證：OCD為等腰三角形。E2、如圖4，在O中，AB為O的弦，C、D是直線AB上兩點(diǎn)3、如圖，兩個(gè)圓都以點(diǎn)O為圓心，小圓的弦CD與大圓的弦AB在同一條直線上。你認(rèn)為AC

10、與BD的大小有什么關(guān)系？為什么？G3、如圖，兩個(gè)圓都以點(diǎn)O為圓心，小圓的弦CD與大圓的弦AB在已知P為內(nèi)一點(diǎn)，且OP2cm，如果的半徑是，則過P點(diǎn)的最長的弦等于.最短的弦等于_。oo隨堂訓(xùn)練OAPBNM已知P為內(nèi)一點(diǎn)，且OP2cm，如果的半徑是，則過P點(diǎn)的最長已知:O中弦ABCD且AB=9cm,CD=12cm, O的直徑為15cm,則弦AB,CD間的距離為( ) A.1.5cm B.10.5cm; C.1.5cm或10.5cm D.都不對;CABCDO已知:O中弦ABCD且AB=9cm,CD=12cm, 小結(jié): 解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑等輔助線，為

11、應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO小結(jié): 解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的垂 常用輔助線:垂直于弦的直徑 常用輔助線:請圍繞以下兩個(gè)方面小結(jié)本節(jié)課：1、從知識(shí)上學(xué)習(xí)了什么？、從方法上學(xué)習(xí)了什么？課堂小結(jié)圓的軸對稱性；垂徑定理及其推論（）垂徑定理和勾股定理結(jié)合。（）在圓中解決與弦有關(guān)的問題時(shí)常作的輔助線 過圓心作垂直于弦的線段； 連接半徑。請圍繞以下兩個(gè)方面小結(jié)本節(jié)課：課堂小結(jié)圓的軸對稱性；垂徑定理雙基訓(xùn)練 5. 如圖,將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心，則折痕AB的長為( )A.2cm B. cm C. cm D. cmC6.已知點(diǎn)P是半徑為5的O內(nèi)

12、的一定點(diǎn)，且OP=4，則過P點(diǎn)的所有弦中，弦長可能取的整數(shù)值為（ ）A.5，4，3 B.10，9，8，7，6，5，4，3 C.10，9，8，7，6 D.10，9，8COBA雙基訓(xùn)練 5. 如圖,將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰12.已知直徑AB被弦CD分成AE=4,EB=8,CD和AB成300角,則弦CD的弦心距OF=_;CD=_.1EOABCDF12.已知直徑AB被弦CD分成AE=4,1EOABCDF在a,d,r,h中，已知其中任意兩個(gè)量,可以求出其它兩個(gè)量.d + h = r13.已知：如圖，直徑CDAB，垂足為E .若半徑R = 2 ，AB = , 求OE、DE 的長. 若半徑R

13、= 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的長.由 、兩題的啟發(fā)，你還能編出什么其他問題？在a,d,r,h中，已知其中任意兩個(gè)量,可以求出其它兩個(gè)量.已知：AB和CD是O內(nèi)的兩條平行弦，AB=6cm，CD=8cm，O的半徑為5cm，思考題：（1）請根據(jù)題意畫出符合條件的圖形（2）求出AB、與CD間的距離。（1）（2）已知：AB和CD是O內(nèi)的兩條平行弦，AB=6cm，CD=試一試P9312挑戰(zhàn)自我填一填1、判斷： 垂直于弦的直線平分這條弦,并且平分弦所對 的兩條弧. （ ）平分弦所對的一條弧的直徑一定平分這條弦所 對的另一條弧. （ ）經(jīng)過弦的中點(diǎn)的直徑一定垂直于弦. （ ）圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行. 弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的弧. （ ）試一試P9312挑戰(zhàn)自我填一填1、判斷：3、已知：如圖，O 中， AB為 弦，C 為 弧AB 的中點(diǎn)，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求O 的半徑OA.3、已知：如圖，O 中， AB為 弦，C 為 4、如圖為一圓弧形拱橋，半徑OA = 10m，拱高為4m，求拱