1、 5.6-3 二重積分的計算 本次課介紹：1. 極坐標系 二、積分區(qū)域無界的廣義二重積分2. 用極坐標計算二重積分 一. 極坐標系下二重積分的計算1. 廣義二重積分的概念1 . 極坐標系. 確定平面上一點的位置, 向方向走r 里.也可用方向和M(x,y)r這種用距離和方向確定點的位置的方法，就是極常用直角坐標,距離來確定: 坐標的基本思想。 1). 在平面上取定一點O 叫極點 設M 為平面內(nèi)一點. r = | OM | 叫M 點的極徑, 注意: 在O點處, r =0, 不確定. 再確定長度單位, 計算角度由Ox 轉(zhuǎn)到OM的角 叫極角, ( r, ) 叫M 點的極坐標, 記為M (r, ).0

2、xMr(r, )從極點引射線 Ox, 這樣就建立了極坐標系.叫極軸, 的正方向, 在極坐標系中:給定r, , 唯一確定一點M;給定一點M, r 確定, 不唯一( 相差2的整數(shù)倍 ).即 ( r, ) 與 ( r, +2k ) 表示同一點. 由此可見, 2). 極坐標與直角坐標的關(guān)系. 取直角坐標系的原點與極點重合, M(x,y)rxy點M與極坐標 ( r, ) 的對應不是一對一的, 但若將極角限制在 0 2 或 - 內(nèi), 除極點外, 點與極坐標的對應是一對一的.Ox 軸的正半軸與極軸重合, 則直角坐標與極坐標之間有關(guān)系:3). 曲線的極坐標方程. 例1. x2 + y2 = 2x將 x = r

3、cos, y = rsin代入: r2cos2 + r2sin2 = 2 rcos 極坐標方程為 r = 2cos 將x=rcos, y=rsin 代入曲線的直角坐標方程 F(x,y)=0, 可得曲線的極坐標方程。問：下列方程表示的曲線是什么？ 其極坐標方程是什么x2 + y2 = 2yx = 2y = 2 = 常數(shù)表示什么曲線？ 2. 用極坐標計算二重積分. 積分區(qū)域是圓,往往要簡單得多.圓環(huán),扇形. 被積函數(shù)形為 f(x2+y2)的積分采用極坐標計算, 當r 0, 0, 近似地為 r r 面積微元應為: d = r dr d 被積函數(shù)為 f ( r cos , r sin ). 于是 在這

4、種分割下, 小區(qū)域的面積 其中是直角坐標系下的積分區(qū)域D經(jīng)極坐標變換后而得到的極坐標系下的積分區(qū)域。若能再將D表示為 = (r, ) | , r1( ) r r2( ) (*) 二重積分便可化為累次積分: 將D寫成(*), 有三種情況: . D邊界不包圍極點 . D的邊界過極點 . D 的邊界包圍極點. D邊界不包圍極點： = (r, ) | , r1()r r2() 此時r1 ()r2 ()r2()r1() . D 的邊界包圍O = (r, ) | 0 2, 0 r r( ) = (r, ) | 0 2, r1( ) r r2( ) 0r1( )r2( )0r( )極坐標下二重積分的計算步驟

5、: 1. 畫D, 邊界用極坐標表示2. D用極坐標表示為3. 化為累次 = (r, ) | , r1( ) r r2( ) 例5.6.9 D:1x2+y24, 在第I 部分. 解: D如圖 例5.6.10解:畫出積分區(qū)域D, 如圖在極坐標下, 區(qū)域D可表示為二、積分區(qū)域無界的廣義二重積分如果二重積分的積分區(qū)域D是無界的(如全平面、半平面、有界區(qū)域的外部等 )，則與一元函數(shù)類似，可以定義積分區(qū)域無界的廣義二重積分。設D是平面上一無界區(qū)域， 函用任意光滑曲線在D中劃出有界區(qū)域D ，不論 的形狀如何，也不論的擴展過程怎樣,極限總?cè)∠嗤闹礗, 存在 ,二重積分且當連續(xù)變動, 則稱 I 為函數(shù) f 在無界記為數(shù)f(x,y)在D上有定義，區(qū)域D上的廣義重積分.D無限擴展而趨于區(qū)域D，此時也稱f(x,y)在D上的積分收斂或在D上廣義可積，否則稱積分發(fā)散。由定義可知， 其步驟仍然是：截斷，照常算，算完了，取極限。如果 f(x,y) 在無界區(qū)域D上廣義可積，則可以選取一種特殊的區(qū)域擴展方式，來計算出相應的廣義二重積分的值。例5.6.12有 總 結(jié) 1. 極坐標與直角坐標的關(guān)系. 2. 將 x=rcos, y=rsin 代入曲線的直角坐標方程一、極坐標系 F=(x,y)=0, 可得曲線的極坐標方程。 作 業(yè) 19. (