1、PAGE PAGE 18第二節(jié) 函數(shù)模型及應(yīng)用學(xué)點：探究與梳理自主探究:探究問題：（1）如果張紅購買了每千克1元的蔬菜千克，需要支付元，把表示為的函數(shù)；（2）正方形的邊長為，面積為，把表為的函數(shù)；（3）某保護區(qū)有1個單位面積的濕地，由于保護區(qū)的努力濕地每年以5%的增長率增長，經(jīng)過年后濕地的面積為，把表示為的函數(shù).分別用表格、圖象表示上述函數(shù)；指出它們屬于哪種函數(shù)模型；比較它們的增長差異；另外還有哪幾種函數(shù)模型；探究問題：某市有甲、乙兩家乒乓球俱樂部，兩家設(shè)備和服務(wù)都很好，但收費方式不同，甲每張球臺每小時5元，乙按月計費，一個月中30小時以內(nèi)（含30小時）每張球臺90元，超過30小時的部分每張球

2、臺每小時2元，小張準備下個月從這兩家中的一家租一張球臺開展活動，其活動時間不少于15小時，也不超過40小時.設(shè)在甲租一張球臺開展活動小時的收費為元，在乙租一張球臺開展活動小時的收費為元，試求和.探究問題：某市某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品，根據(jù)需求預(yù)測：進入21世紀以來，前8年在正常情況下，該產(chǎn)品產(chǎn)量將平穩(wěn)增長，已知2000年為第一年，前4年年產(chǎn)量（萬件）如下表表示：12344.005.587.008.44（1）畫出20002003年該企業(yè)年產(chǎn)量的散點圖；建立一個能基本反映（誤差小于0.1）這一時期該企業(yè)年產(chǎn)量發(fā)展變化的函數(shù)模型，并求之。（2）2006年（即）因受到某外國對我國該產(chǎn)量反傾銷的影響，

3、年產(chǎn)量將減少30%，試根據(jù)所建立的函數(shù)模型，確定2006年的年產(chǎn)量應(yīng)該約為多少？重點把握研究實際問題時，常需要施以以下一系列過程。（1）閱讀理解，認真審題，分析出已知什么，求什么，涉及到哪些知識。（2）建立實際問題中的變量之間的函數(shù)關(guān)系，從而將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題。（3）運用所學(xué)知識研究函數(shù)問題，得到函數(shù)問題的解。（4）將函數(shù)問題的解翻譯成實際問題的解，從而解決實際問題。.解題時要分辨清楚量變的本質(zhì)，以防出錯.例如. 某企業(yè)的產(chǎn)品成本，前兩年每年遞增20%，經(jīng)過引進先進的技術(shù)設(shè)備，并實施科學(xué)管理，后兩年的產(chǎn)品成本每年遞減20%，則該企業(yè)的產(chǎn)品現(xiàn)在的成本與原來相比（ ）A不增不減B約增8%C約

4、減5%D約減8%分析：此題容易誤選A,認為增加與減少比率相同，從而使結(jié)果不變,實際應(yīng)是，故應(yīng)選D.解答實際問題時要注意其實際意義.例如.某公司在甲，乙兩地銷售一種品牌車，利潤（單位：萬元）分別為和，其中為銷售量（單位：輛）.若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為（ ）A45.606B45.6C46.8D46.806分析：設(shè)甲地銷售輛，則乙地銷售輛.總利潤當(dāng)時，獲得最大利潤45.606萬元.該解答中不為整數(shù)，在實際問題中是不可能的，因此當(dāng)時，獲得最大利潤萬元.故選B題例：解析與點撥例1為了發(fā)展電信事業(yè)方便用戶，電信公司對移動電話采用不同的收費方式，其中所使用的“如意卡”與“便民卡”

5、在某市范圍內(nèi)每月（30天）的通話時間（分）與通話費（元）的關(guān)系如圖所示.（1）分別求出通話費與通話時間之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）請幫助用戶計算，在一個月內(nèi)使用哪種卡便宜.解析：（1）由圖象可設(shè)，把點分別代入得 （2）令即則當(dāng)時，兩種卡收費一致；當(dāng)時，即使民卡便宜；當(dāng)時，即如意卡便宜；點撥：函數(shù)的圖象是表示函數(shù)的三種方法之一，正確識圖、用圖、譯圖是解決函數(shù)應(yīng)用題的基本技能和要求，本題運用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，然后利用函數(shù)解析式解決實際問題。借助函數(shù)圖象表達題目中的信息，讀懂圖象是關(guān)鍵。例2 截止到2004年底，我國人口約13億，如果今后能將人口平均增長率控制在1%，那么經(jīng)過20年后，我國人口約

6、為多少（精確到億）？解析：設(shè)經(jīng)過年后，我國人口數(shù)為（億）.2004年底，我國人口約為13億；經(jīng)過1年（即2005年），人口數(shù)為13+131%13（1+1%）（億）；經(jīng)過2年（即2006年），人口數(shù)為（億）；經(jīng)過3年（即2007年）人口數(shù)為（億）所以，經(jīng)過年，人口數(shù)為（億）.當(dāng)時，（億）.所以，經(jīng)過20年后，我國人口數(shù)約為16億.點撥：經(jīng)過隨年限的變化，總結(jié)出人口數(shù)與的關(guān)系是指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，反過來，求增長率，又是關(guān)于冪函數(shù)的問題變式訓(xùn)練：截止到2004年底，我國人口約13億，那么經(jīng)過20年后，保證我國人口數(shù)不超過16億，那么人口平均增長率應(yīng)控制在什么范圍（1%）？例3 燕子每年秋天都要從北方飛向

7、南方過冬，研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數(shù)，單位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量.（1）計算：燕子靜止時的耗氧量是多少個單位？（2）當(dāng)一只燕子的耗氧量是80個單位時，它的飛行速度是多少？解析：（1）由題知，當(dāng)燕子靜止時，它的速度，代入題給公式可得：解得即燕子靜止時的耗氧量是10個單位.（2）將耗氧量Q80代入題給公式得：即當(dāng)一只燕子的耗氧量是80個單位時，它的飛行速度為15m/s.點撥：直接以對數(shù)函數(shù)為模型的應(yīng)用問題不是很多.此類問題一般是先給出對數(shù)函數(shù)模型，利用對數(shù)運算性質(zhì)求解.例4某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元，已知

8、總收益滿足函數(shù)：，其中是儀器的月產(chǎn)量.（1）將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)（2）當(dāng)月產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？（總收益總成本+利潤）解析：（1）設(shè)每月產(chǎn)量為臺，則總成本為20000+100,從而（2）當(dāng)時，當(dāng)時，有最大值25000；當(dāng)時，是減函數(shù)，當(dāng)時，的最大值為25000.每月生產(chǎn)300臺儀器時，利潤最大，最大利潤為25000元。點撥：在函數(shù)應(yīng)用題中，已知的等量關(guān)系是解題的依據(jù)，像此題中的利潤總收益總成本，又如“銷售額銷售價格銷售數(shù)量”等.像幾何中的面積、體積公式，物理學(xué)中的一些公式等，也常用來構(gòu)造函數(shù)關(guān)系.例5 某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品分別為1萬件、1.2萬

9、件、1.3萬件.為了估計以后每個月的產(chǎn)量，以這三個月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù)，用一個函數(shù)來模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量與月份的關(guān)系.模擬函數(shù)可以選擇二次函數(shù)或函數(shù)（其中為常數(shù)），已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件，試問用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？并說明理由.解析：設(shè)兩個函數(shù)依題意，有解得（萬件）.依題意，也有解得 （萬件）.經(jīng)比較可知，（萬件），比（萬件）更接近于4月份的產(chǎn)量1.37萬件.選用作為模擬函數(shù)較好.點撥：本題考查擬合函數(shù)模型問題，先由某些條件確定函數(shù)解析式，再驗證其它結(jié)論是否更接近，不同的函數(shù)模型能夠刻畫現(xiàn)實世界不同的變化規(guī)律，函數(shù)模型可以處理生產(chǎn)，生活，科技中很多實際問題.學(xué)業(yè)水平測試鞏固基

10、礎(chǔ)1.某人從甲地去乙地，一開始跑步前進，后來步行，圖中橫軸表示走的時間，縱軸表示甲、乙兩地的距離，則較符合該走法的圖是（ ）2.（ ）ABCD無法比較的大小3.工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量與月份滿足關(guān)系，現(xiàn)已知該廠今年1月份、2月份生產(chǎn)該產(chǎn)品分別為1萬件、1.5萬件.則此工廠3月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為 萬件.4.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2000萬元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10萬元.又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù)，則總利潤的最大值是 .5.某種病毒經(jīng)30分鐘繁殖為原來的2倍，且知病毒的繁殖規(guī)律為（其中為常數(shù)，表示時間，單位：小時，表示病毒個數(shù)），則 ，經(jīng)過5小時，1個病毒能繁殖為 個。6.某

11、商店經(jīng)銷一種洗衣粉，年銷售總量為6000包，每包進價為2.8元，銷售價為3.4元，全年分若干次進貨，每次進貨均為包，已知每次進貨運輸費為62.5元，全年保管費為1.5元，為使利潤最大，則 .能力提升7.2008年末，某商店為了吸引顧客，采取“買一百送二十，連環(huán)送”的酬賓方式，即顧客在店內(nèi)花錢滿100元（這100元可以是現(xiàn)金，也可以是獎券，或二者合計），就送20元獎勵券；滿200元就送40元獎勵券，以此類推，一位顧客在此商店購物，他所獲得的實際優(yōu)惠實際優(yōu)惠按（ ）A一定高于10%B一定低于20%C可以達到20%D可以超過20%8.在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度v(m/s)和燃料的質(zhì)量M

12、(kg)、火箭（除燃料外）的質(zhì)量m(kg)的關(guān)系是當(dāng)燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量比 .火箭的最大速度可達12km/s?9.如圖所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面積與時間（月）的關(guān)系：，有以下敘述：這個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2；第5個月時，浮萍面積就會超過30m2；浮萍從4m2蔓延到12需要經(jīng)過1.5個月；浮萍每月增加的面積都相等；若浮萍蔓延到2,3,6所經(jīng)過的時間分別為，則其中正確的是 .10.某工廠在甲、乙兩地的兩個分廠各生產(chǎn)某種機器12臺和6臺，現(xiàn)銷售給A地10臺，B地8臺，已知從甲地調(diào)運1臺至A地、B地的運費分別為400元和800元，從乙地調(diào)運1臺至A地、B地的運費分別為300元和500元.（1）設(shè)從乙地調(diào)

13、運臺至地，求總運費關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）若總運費不超過 9000元，問共有幾種調(diào)運方案；（3）求出總運費最低的調(diào)運方案及最低運費。11.通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間，講課開始時，學(xué)生的注意力迅速集中；中間有一段不太長的時間，學(xué)生的注意力保持較理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散，分析結(jié)果和實驗表明，用表示學(xué)生掌握和接受概念的能力，表示提出概念和講授概念的時間（單位：分），可有以下的關(guān)系式：（1）開講后多少分鐘，學(xué)生的接受能力最強？能維持多少時間？（2）如果每隔5分鐘測量一次學(xué)生的接受能力，再計算平均值，它能高于45嗎？拓展創(chuàng)新12

14、.某個體經(jīng)營者把開始六個月試銷A、B兩種商品的逐月投資與所獲純利潤列成下表：投資A種商品金額（萬元）123456獲純利潤（萬元）0.651.391.8521.841.40投資B種商品金額（萬元）123456獲純利潤（萬元）0.250.490.7611.261.51該經(jīng)營者準備下月投入12萬元經(jīng)營這兩種產(chǎn)品，但不知投入A，B兩種商品各多少萬元才合算.請你幫助制定一個資金投入方案，使得該經(jīng)營者能獲得最大利潤，并按你的方案求出該經(jīng)營者下月可獲得的最大純利潤（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）.13.為了預(yù)防流感，某學(xué)校對教室用藥熏消毒法進行消毒，已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（小時

15、）成正比；藥物釋放完比后，與的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)），如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：（1）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（小時）之間的函數(shù)關(guān)系為 ；（2）據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學(xué)生方可進教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過 小時后，學(xué)生能能回到教室.自主發(fā)展不同函數(shù)模型能夠刻畫現(xiàn)實世界不同的變化規(guī)律。例如：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)就是常用的描述現(xiàn)實世界中不同增長規(guī)律的函數(shù)模型，充分理解這三種函數(shù)模型的增長差異，體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義，同時用函數(shù)模型解決實際問題的過程中，往往涉及復(fù)雜的

16、數(shù)據(jù)處理，在處理復(fù)雜數(shù)據(jù)的過程中，需要大量使用信息技術(shù)，在函數(shù)應(yīng)用的學(xué)習(xí)中注意充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用。在應(yīng)用題的各種題型中，有這樣一類題型：信息由表格數(shù)據(jù)的形式給出，要求對數(shù)據(jù)進行合理的轉(zhuǎn)化處理，建立數(shù)學(xué)模型，解答有關(guān)的實際問題。解答此類題型主要有如下三種方法：（1）直接法：若由題中條件能直接確定需要用的數(shù)學(xué)模型，或題中直接給出了需要用的數(shù)學(xué)模型，則可直接代入表中的數(shù)據(jù)，問題即可獲解；（2）列式比較法：若題所涉及的是最優(yōu)化方案問題，則可根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)先列式，然后進行比較；（3）描點觀察法：若根據(jù)題設(shè)條件不能直接確定需要用哪種數(shù)學(xué)模型，則可根據(jù)表中的數(shù)據(jù)在直角坐標系中進行描點，作出散點圖，然后

17、觀察這些點的位置變化情況，確定所需要用的數(shù)學(xué)模型，問題即可順利解決。第三章第二節(jié)參考答案學(xué)業(yè)水平測試 1.C 2.B 3.1.75 4.2500 5. 1024 6.500 7.B 8. 9.10.（1）依題意得（2）由解得， 共有三種調(diào)運方案（3）由一次函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)時，總運費最低，（元），即從乙地調(diào)6臺給B地，甲地調(diào)10臺給A地，調(diào)2臺給B地的調(diào)運方案的總運費最低，最低運費為8600元.11.（1）時，故當(dāng)時，單調(diào)遞增，最大值為顯然，當(dāng)時，單調(diào)遞減，因此，開講后10分鐘，學(xué)生達到最強的接受能力（值為59），并維持6分鐘.（2）所以故知平均值M不能高于45.12.以投資額為橫坐標，純利潤

18、為縱坐標，在平面直角坐標系中畫出散點圖（如圖（1）和（2）觀察散點圖可以看出，種商品（圖（1）的所獲純利潤與投資額之間的變化規(guī)律可以用二次函數(shù)模型進行模擬，取點（4，2）為最高點，則，再把點（1，0.65）代入得：，解得，所以種商品所獲純利潤與投資額之間的變化規(guī)律是線性的，可以用一次函數(shù)模型進行模擬.設(shè)取點和（4,1），代入得解得所以即前六個月所獲純利潤關(guān)于月投資種商品的金額的函數(shù)關(guān)系式是；前六個月所獲純利潤關(guān)于月投資種商品的金額的函數(shù)關(guān)系式是設(shè)下月投入兩種商品的資金分別為（萬元），總利潤為W（萬元），那么所以當(dāng)（萬元）時，取得最大值，約為4.1萬元，此時（萬元）.即該經(jīng)營者下月把12萬元中的

19、3.2萬元投資A種商品，8.8萬元投資B種商品，可獲得最大利潤約為4.1萬元.13.（1）設(shè)，由圖象知，過點（0.1,1）,則由過點（0.1,1）得（2）由得故至少需經(jīng)過0.6小時.高一數(shù)學(xué)測試題一 選擇題：本大題共l0小題，每小題5分，滿分50分在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的1設(shè)集合x0,B=x|-1x3,則AB=（ ）A-1,0 B-3,3 C0,3 D-3,-12.下列圖像表示函數(shù)圖像的是（ ）A B C D3. 函數(shù)的定義域為（ ）A(5，) B5，C(5，0) D (2，0)4. 已知，則的大小關(guān)系是（ ）A B C D 5.函數(shù)的實數(shù)解落在的區(qū)間是（ ） 6.已知

20、則線段的垂直平分線的方程是（ ） 7. 下列條件中,能判斷兩個平面平行的是( )A 一個平面內(nèi)的一條直線平行于另一個平面;B 一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面C 一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面D 一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面 8. 如圖，在RtABC中，ABC=90，P為ABC所在平面外一點PA平面ABC，則四面體P-ABC中共有（ ）個直角三角形。 A 4 B 3 C 2 D 19.如果軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是，那么圓柱的體積等于（） A B C D 10 .在圓上，與直線的距離最小的點的坐標為（ ） 二 填空題本大題共4小題，每小題5分，滿分20分11.設(shè)，則的中點到點的距離為 .12. 如果一個幾何體的三視圖如右圖所示（單位長度：cm）， 則此幾何體的表面積是 .13.設(shè)函數(shù)在R上是減函數(shù)，則的范圍是 .14.已知點到直線距離為，則= .三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟15. （本小題滿分10分）求經(jīng)過兩條直線和的交點，并且與直線垂直的直線方程（一般式）.16. （本小題滿分14分）如圖，的中點.（1）求證：；（2）求證：； 17. （本小題滿分14分）已知函數(shù)（14分）（1）求的定義域；（2）判斷的奇偶性并證明；18. （本小題滿分1